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Literatur
F. Riesz, Über subharmonische Funktionen und ihre Rolle in der Funktionentheorie und in der Potentialtheorie,Acta Univ. Franc. Jos., Szeged, t. 2 (1925), p. 87–100.
F. Hartogs, Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen etc.,Math. Annalen, t. 62, p. 1–88.
Cf. p. exE. Picard, Traité d'Analyse, t. II (2. édition, 1905), p. 95 et suiv. Cf. aussiO. Perron, Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu=0,Math. Zeitschrift, t. 18 (1923); p. 42–54;R. Remak, Über potentialkonvexe Funktionen,Math. Zeitschrift, t. 20 (1924), p. 126–130;T. Radó etF. Riesz, Über die erste Randwertaufgabe für Δu=0,Math. Zeitschrift, t. 22 (1925), p. 41–44. La méthode dont il s'agit dans ces travaux et qui est voisine de la méthode de balayage, dépend essentiellement de l'idée de fonction subharmonique.
J. L. W. V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes,Acta math., t. 30 (1906), p. 175–193.
En réalité, pour légitimer cette dénomination, on aurait à prouver que la fonctionU * est plus petite ou égale à toute fonction harmonique qui surpasse la fonctionu à l'intérieur deD′, indépendamment de l'allure de ces fonctions sur la frontière deD′. Dans bien des cas, ce fait se déduit aisément de nos résultats ultérieurs, mais je n'ai pas encore réussi à le démontrer dans toute sa généralité.
F. etR. Nevanlinna, Über die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgebung einer singulären Stelle oder Linie,Acta Soc. sc. Fennicae, t. 50, n:o 5 (1922), p. 3–40;A. Ostrowski, Über die Bedeutung der Jensenschen Formel für einige Fragen der komplexen Funktionentheorie,Acta Univ. Franc. Jos. Szeged, t. 1 (1922), p. 80–87);R. Nevanlinna, Zur Theorie der meromorphen Funktionen,Acta math., t. 46 (1925), p. 1–99, où l'on trouve encore d'autres indications bibliographiques.
G. H. Hardy, On the mean value of the modulus of an analytic function, Proc. London Math. Soc., 2. série, t. 14 (1915), p. 269–277.
F. Riesz, Sur les valeurs moyennes du module des fonctions harmoniques et des fonctions analytiques,Acta Univ. Franc.-Jos. Szeged, t. 1 (1922), p. 27–32.
J. E. Littlewood, On inequalities in the theory of functions,Proc. London Math. Soc., 2. série, t. 22 (1923),Records, November 8th, 1923; t. 23 (1925), p. 481–519.
F. Riesz, Sur une inégalité de M. Littlewood dans la théorie des fonctions,Proc. London Math. Soc., 2. série, t. 23 (1924),Records, March 13th, 1924.
Indiquons en quelques mots une généralisation plus évidente, à laquelle on arrive par représentation conforme en partant de notre première généralisation du théorème de M. Hardy. Considérons une aire simplement connexe, formons la fonction de Green par rapport à un point intérieurO et désignons parC λ la ligne de niveau sur laquelle cette fonction prend constamment la valeur λ. Supposons que l'aire comprise entre\(C_{\lambda _1 } \) et\(C_{\lambda _2 } \) appartienne à notre domaineD et formons, pour toute valeur de λ comprise entre,λ 1 etλ 2, la meilleure majorante harmonique correspondant à notre fonction subharmoniqueu(x, y) et au domaine simplement connexe limité parC λ . Soitu(λ) la valeur que prend cette fonction au pointO. Alors u(λ)sera une fonction convexe de la variable λ. Ce théorème s'étend au cas de plusieurs variables; dans ce cas, comme on ne peut plus se servir de la représentation conforme, on le démontre en partant de la formule de Green.
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Riesz, F. Sur les Fonctions Subharmoniques et Leur Rapport à la Théorie du Potentiel. Acta Math. 48, 329–343 (1926). https://doi.org/10.1007/BF02565338
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02565338