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Literatur
Von unendlichen Gruppen soll völlig abgesehen werden, «Gruppe» heisst «endliche Gruppe».
Wir nennen eine Untergruppe ℌ von einer GruppeH zweitmaximal, wenn es eine Untergruppeh mit ℌ ⊂h ⊂ gibt, so dass ℌ maximal inh, letzteres wieder maximal inH enthalten ist. Das schliesst selbstverständlich nicht aus, dass sich ℌ undH auch durch längere Untergruppenketten ℌ ⊂h 1 ⊂ . . . ⊂ ⊂h e ⊂H (e ≧ 2) verbinden lassen. Wenn wir über die zweitmaximalen Untergruppen einer GruppeH eine Aussage machen, so soll stets mit einverstanden sein, dass sie auch existieren, d. h.H weder eino zyklische Gruppe von Primzahlordnung nochH (Einheitsgruppe) ist; offenbar sind diese die einzigen Gruppen ohne zweitmaximale Üntergruppen.
Meines Erachtens ist obige Vermutung bisher nur sehr wenig «begründet» worden. Solche «Gründe» gibt es nämlich zwei. Erstens, man konnte bisher keine (nichtzyklishe) einfache Gruppe von ungerader Ordnung auffinden, man bedenke aber hierzu, dass man an Möglichkeiten von Gruppenkonstruktionen (mit vorgegebenen Eigenschaften) überhaupt sehr arm ist, und so auch alle bisher gefundenen einfachen Gruppen weniger durch eine «Konstruktion» als durch einen glücklichen Zufall geliefert wurden, wobei (vielleicht als zweiter Zufall) die 2 unter den Primfaktoren der Gruppenordnung auftrat. Zweitens, man kennt einige einschränkende Bedingungen, damit eine zusammengesetzte Zahl die Ordnung einer einfachen Gruppe sein kann—die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren ist grösser als der kleinste Primfaktor, dieser ist mindestens dreifach, die Anzahl aller Primfaktoren ist mindestens 8—alle diese Bedingungen lassen aber immer noch eine weite Möglichkeit zur Existenz einer einfachen Gruppe von ungerader Ordnung zu.
Eine Symmetrie von anderer Art steckt in den bekannten einfachen Gruppen im allgemeinen.
Ich denke, dass eine volle Klarheit über die Struktur vonH 60 ohne obigen Satz nunmehr nicht vorstellbar ist.
G. A. Miller and H. C. Moreno, Non-abelien groups in which every subgroup is abelian, Transactions Amer. Math. Soc. 4 (1903), 398–404.
O. Schmidt, Über Gruppen, deren sämtliche Teiler spezielle Gruppen sind (russisch mit deutscher Zusammenfassung). Receuil Math. de la Soc. Math. d. Moscou 31 (1924), 367–372.
L. Rédei, Das «schiefe Produkt» in der Gruppentheorie mit Anwendungen auf die endlichen nichtkommutativen Gruppen mit lauter kommutativen echten Untergruppen und die Ordnungszahlen, zu denen nur kommutative Gruppen gehören, Commentarii Mat. Helv. 20 (1947), 225–263.
Nach diesem lässt sich der Inhalt der Teile 1o, 2o des Satzes folgenderweise näher besprechen. Wir legen uns alle Gruppen mit lauter Abelschen zweitmaximalen Untergruppen vor. Diese lassen sich anders so charakterisieren, dass als maximale Untergruppen nur Abelsche Gruppen und dieH I,H II,H III,H 8 zugelassen wurden. Nun sprechen 1o, 2o aus, dass eine solche Gruppe dann und nur dann einfach ist, wenn unter allen, hier vorgezählten Gruppen keine Abelschen und keineH II,H III sondern nur dieH I und auch unter diesen nur dieH ° als maximale Untergruppen wirklich auftreten. (Vgl. die oben anschliessend und in § 3 folgende Beschreibung vonH ° bzw. allerH*.)
Es ist klar, dass stets O(H°(p,q)) ≠ O(H°(q,p,)) ist, und so sind dieH° schon durch O((H°) eindeutig bestimmt.
Die Eleganz von (2) haben wir so erreicht, dass wir die ElementeP α mit den α(∈k(p) e) (statt etwa mit 1, 2, …) «numeriert» haben.
Die zu denq−1 verschiedenen ω in (3) gehörendenH° (p,q) sind isomorph.
Das Einselement bezeichnen wir sowohl in Gruppen als auch ink(p) e mit 1, was aber zu keinem Missverständnis führen wird.
Eine Abelsche Gruppe nennen wir üblicherweise elementar, wenn ihre Invarianten gleiche Primzahlen sind. Zyklisch ist eine solche nur dann, wenn sie von Primzahlordnung ist.
Davon ist I. nichts anderes, als die definierende Eigenschaft vonF. Die 2.–13. haben wir in einer Reihenfolge zusammengestellt, in der sie sich auch leicht nacheinander beweisen lassen werden.
Fremd sind zwei Gruppen, wenn sie ausser 1 kein gemeinsames Element haben.
a b|c bezeichneta b‖c, ab+1‖c.
Dagegen folgen aus (13) für dieF sofort die ersten zwei von den am Ende der Fussnote3 erwähnten drei notwendigen Bedingungen (insbesondere die erste hiervon in der verschärften Form (12)).
Der Satz von Frobenius lautet: Ist eine Untergruppe einer Gruppe ihr eigener Normalisator und sind die konjugierten Untergruppen paarweise fremd, so bilden die ausserhalb dieser Untergruppen liegenden Elemente mit 1 zusammen eine (echte) normale Untergruppe der gegebenen Gruppe. (S. z. B.: Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 3. Aufl., 1937, Satz 180, S. 202).
Das wird selbstverständlich so gemeint, dassH Idurch die in (26) vorkommenden Elemente erzeugt wird.
«{}» bezeichnet die durch die eingeklammerten Elemente erzeugte Gruppe.
In der Arbeit8 habe ich dieH* l-stufig nichtkommutative Gruppen», kurz «Gruppen 1-ter Stufe» genannt und sie dort im Satz 4 (S. 234) angegeben. Dabei habe ich eine etwas abweichende Bezeichnung verwendet, so dass ich für die dortigenG I(p, q, u), GII(p, u, v), GIII(p, u, v) in vorliegender ArbeitH I(q, p, u),H II(p, u, v) geschrieben habe. (Insbesondere sind also beiG I bzw.H I diep, q umgetauscht worden.) Es ist noch zu bemerken, dass ich in der Arbeit8 dieH I,H II,H III in drei weiteren Formen (Sätze 5, 6, 7, S. 241–244) angegeben habe. Obige Form vonH I weicht nur unwesentlich von der Form ab, in der ichH I im Satz 5 (S. 241 in der Arbeit8) angegeben habe, wie man das leicht einsehen kann. Dagegen entnehme manH II,H III am besten aus Satz 7 (S. 244 in der Arbeit8). Vgl. noch Satz 8 (S. 257–259 in der Arbeit8). Es soll bemerkt werden, dass alle GruppenH* sich mit grosser begrifflicher Einfachheit als schiefe Produkte angeben lassen (vgl. Satz 4 in der Arbeit8), oben wollten wir uns aber lieber einer «expliziten» Definition der GruppenH* bedienen. Auch bemerke ich, dass ich bald an einer anderen Stelle den Begriff des schiefen Produktes verallgemeinern werde.
t≧3 folgt auch aus (12).
Die andere Möglichkeit {A i,B j{ =H ° (2, p)fällt aus, denn die einzige echte normale Untergruppe dieser Gruppe ist einS 2 also (wegenc≧2) nichtzyklisch, wobei doch alle Diedergruppen mindestens eine zyklische echte normale Untergruppe enthalten.
Wir wollen bemerken, dass π sehr wohl unter denp 1, …,p t vorkommen kann, denn 2′=π, π′=2 schliessen einander nicht aus.
Weil nämlich {A iBj} die einzige echte normale Untergruppe von {A i, Bj} ist.
Selbstverständlich hat diesesA mit den Bezeichnungen im §3 nichts zu tun.
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Ein Vortrag des Verfassers gehalten am 26. April 1948 im Seminar von Prof. T. Nagell an der Universität in Uppsala.
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Rédei, L. Ein Satz über die endlichen einfachen Gruppen. Acta Math. 84, 129–153 (1951). https://doi.org/10.1007/BF02414850
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