Sunto
Si dimostra per la prima volta compiutamente con soli mezzi algebrico-geometrici il teorema sullacompletezza della serie caratteristica di un sistema continuo completo di curve tracciate sopra una superficie algebrica, e se ne deduce un nuovoprincipio di spezzamento concernente i punti di collegamento di una curva riducibile, limite di una curva irriducibile variabile sopra una superficie algebrica, dal quale discende unsignificato algebrico-topologico pel genere geometrico della superficie.
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Literatur
Ved.B. Segre,La geometria in Italia, dal Cremona ai giorni nostri, questi « Annali », serie IV, t. 11 (1933), p. 1.
Cfr. in proposito (tranne che pel contenuto dell'ultimo capoverso del n. 2)O. Zariski,Algebraic Surfaces, « Ergebn. der Math. », t. III, 5 (Berlin, Springer, 1935), pp. 82–88.
F. Enriques,Sulla proprietà caratteristica delle superficie algebriche irregolari, « Rend. Acc. delle Scienze di Bologna », nuova serie, t, 9 (1904–5), p. 5.
F. Severi,Sulla teoria degl'integrali semplici di 1 a specie appartenenti ad una superficie algebrica (Nota V), « Rend. R. Acc. Naz. dei Lincei », serie V, t. 30 (1921), nota a piè di p. 297.
F. Severi,Intorno alla costruzione dei sistemi completi non lineari che appartengono ad una superficie irregolare, « Rend. del Circolo mat. di Palermo », t. 20 (1905), p. 93.
H. Poincaré,Sur les courbes tracées sur les surfaces algébriques, « Ann. École norm. sup. », serie III, t. 27 (1910), p. 55;H. Poincaré,Sur les courbes tracées sur une surface algébrique, « Sitzungsber. Berlin. math. Ges. », t. 10 (1911).
S. Lefschetz,L'Analysis situs et la Géométrie algébrique, « Mém. des Sciences math. », n. 40 (Paris, Gauthier-Villars, 1924), § VI.
B. Segre,Sulla completezza della serie caratteristica di un sistema continuo di curve irriducibili tracciate su di una superficie algebrica, « Rend. del Circolo mat. di Palermo », t. 55 (1931), p. 443.
Cfr.:F. Enriques,Sulla classificazione delle superficie algebriche particolarmente di genere zero, « Rend. Seminario mat. R. Univ. Roma », serie III, t. 1 (1931–33), p. 7, § 6;
F. Enriques,La proprietà caratteristica delle superficie algebriche irregolari e le curve infinitamente vicine, « Rend. R. Acc. Naz. dei Lincei », serie VI, t. 23 (1936)1, p. 459;
F. Enriques,Curve infinitamente vicine sopra una superficie algebrica, « Rend. Seminario mat. R. Univ. Roma », serie IV, t. 1 (1936–37), p. 1, con un'Addizione a p. 119;
F. Enriques,Curve infinitamente vicine sopra una superficie algebrica, « Rend. R. Acc. Naz. dei Lincei », serie VI, t. 25 (1937)2, p. 193. Ina) la questione trovasi solo impostata; eb) non è che un riassunto dic).
F. Severi,Un nuovo campo di ricerche nella geometria sopra una superficie e sopra una varietà algebrica, « Mem. R. Acc. d'Italia », t. 3 (1932), Mem. N. 5.
Cfr. oppureF. Enriques-O. Chisini,Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche, t. III (Bologna, Zanichelli, 1924), pp. 404–405.
F. Severi,Vorlesungen über algebraische Geometrie, (Leipzig, Teubner, 1921), Anhang F, pp. 319–321.
B. Segre,Intorno ad un teorema di Hodge sulla teoria della base per le curve di una superficie algebrica, questi « Annali », serie IV, t. 16 (1937), p. 157, n. 6.
La prima di queste due formule è ovvia; la seconda è caso particolare di una nota formula diValentiner eNoether, per una dimostrazione algebrico-geometrica generale della quale ved. p. es.É. Picard-G. Simart,Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes, t. II (Paris, Gauthier-Villars, 1906), pp. 105–107.
Ciò può notoriamente farsi in molti modi, restando nel consueto dominio della geometria algebrica. Un altro modo semplice ed elegante, di carattere più strettamente algebrico, trovasi inW.-L. Chow eB. L. van der Waerden,Ueber zugeordnete Formen und algebraische Systeme von algebraischen Mannigfaltigkeiten, « Math. Ann. », t. 113 (1937), p. 692, § 1.
Questa proprietà — che può ovviamente venir dimostrata con tutto il rigore mediante argomentazieni algebrico-geometriche — trovasi pure stabilita, con mezzi puramente algebrici, daB. L. van der Waerden,Algebraische Korrespondenzen und rationale Abbildungen (Zur algebraische Geometrie, VI), « Math. Ann. », t. 110 (1935), p. 134, § 2.
Ved. loc. cit. in (5), tenendo anche presente quanto è detto nei loc. cit. in (4) ed in (12).
Cfr. la nota a piè di p. 59 del lavoroa) cit. in (9). Inc) la suddetta difficoltà vien superata (nel n.3) mediante delicate considerazioni infinitesimali, poggianti sulla rappresentazione diF sopra un piano multiplo; ma, anche per la curvaC′ a cui in tal guisa si perviene, i rilievi che seguono continuano a sussistere.
Relativamente a questa nozione, ved.F. Severi eB. Segre,L'inviluppo di un sistema più volte infinito di curve piane, questi « Annali », serie IV, t. 8 (1930), p. 173, n. 1.
Cfr., n. 2.
Cfr. p. es.L. Bianchi,Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzioni e delle equazioni algebriche secondo Galois (Pisa, Spoerri, 1900), § 13. — [Aggiunta fatta durante la correzione delle bozze]. Quest'argomentazione trovasi già inF. Enriques,Sul gruppo di monodromia delle funzioni algebriche, appartenenti ad una data superficie di Riemann, « Rend. R. Acc. Naz. dei Lincei », serie V, t. 13 (1904), p. 382.
Per la dimostrazione del quale ved.B. Segre,Sui moduli delle superficie algebriche irregolari. « Rend. R. Acc. Naz. dei Lincei », serie VI, t. 19 (1934)1, p. 488, n. 1.
Ved.B. Segre, n. 6.
Cfr.F. Severi,Sul teorema di Riemann-Roch e sulle serie continue di curve appartenenti ad una superficie algebrica, « Atti R. Acc. delle Scienze di Torino », t. 40 (1905), p. 766.
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Segre, B. Un teorema fondamentale della geometria sulle superficie algebriche ed il principio di spezzamento. Annali di Matematica 17, 107–126 (1938). https://doi.org/10.1007/BF02410697
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02410697