Gravity waves in the atmosphere

Summary

Mathematical discussion is restricted to gravity waves of period short enough for the earth's rotation to be neglected, propagated horizontally through air whose horizontal velocity and static stability vary with height in the layers near the ground. The differential equation (15) is derived, describing how the vertical velocity of the wave motion varies with height for waves, of length 2 π/k, at rest relative to the coordinate system. Boundary conditions are then applied—at the ground where the motion is horizontal, and above where the kinetic energy is finite—to give the relationship betweenk and the velocity of the wave relative to the air above (−W).

This relationship is illustrated for all possible stable waves in fig. 2 for four different airstreams whose profiles of stability and velocity are set out in fig. 1. Remarkably different results are obtained; conclusions about the wave-properties of an airstream therefore depend very much on the model chosen.

Two intervening chapters discuss the circumstances under which gravity waves are possible. Some of the conclusions are applicable to long waves also. Unstable waves are a very unusual occurrence, and very special circumstances are necessary to produce them, if they occur at all; they cannot lead to any phenomenon in which one wavelength predominates. Observable stable waves are not propagated over the ground but are at rest relative to their cause, except in the case of compression waves which are accompanied by no phenomena of the weather and travel with about the speed of sound. The most important stable waves are waves in the lee of mountains.

Zusammenfassung

Die mathematische Erörterung beschränkt sich auf Gravitationswellen, deren Periode kurz genug ist, um die Erdrotation unberücksichtigt zu lassen, und zwar speziell Wellen, die sich horizontal durch die Luft ausbreiten, deren horizontale Geschwindigkeit und statische Stabilität in den bodennahen Schichten von der Höhe abhängig sind. Es wird die Differentialgleichung (15) abgeleitet, die beschreibt, wie die Vertikalgeschwindigkeit der Wellenbewegung mit der Höhe bei Wellen variiert, die 2 π/k lang und relativ zum Koordinationssystem unbewegt sind. Ferner werden Grenzbedingungen aufgestellt, wonach die Bewegung an der Erdoberfläche horizontal und darüber die kinetische Energie begrenzt ist, um die Beziehung zwischenk und der Wellengeschwindigkeit —W relativ zur oberhalb liegenden Luft anzugeben.

Diese Beziehung wird in Abb. 2 für alle möglichen stabilen Wellen für vier verschiedene Luftströme veranschaulicht, deren Stabilitäts- und Geschwindigkeitsprofile in Abb. 1 dargestellt sind. Dabei ergeben sich auffallend verschiedenartige Resultate; Folgerungen über die Welleneigenschaften eines Luftstromes hängen somit stark von dem gewählten Modell ab.

In zwei Zwischenkapiteln werden die Bedingungen besprochen, unter denen Gravitationswellen möglich sind. Mehrere Folgerungen daraus sind auch für lange Wellen gültig. Instabile Wellen kommen nur äußerst selten vor, da sie überhaupt nur durch ganz spezielle Bedingungen hervorgerufen werden; dabei können sie zu keiner Erscheinung führen, bei der eine einzelne Wellenlänge überwiegt. Stabile Wellen, die sich über der Erdoberfläche ausbreiten, können nicht beobachtet werden, da sie relativ zu ihrem Ursprung unbewegt sind, mit Ausnahme von Kompressionswellen, die sich ungefähr mit Schallgeschwindigkeit bewegen und keine Witterungserscheinungen verursachen. Die bedeutendsten stabilen Wellen sind auf der Leeseite von Gebirgen zu finden.

Résumé

La discussion mathématique se borne aux ondes de gravité de période assez courte pour qu'on puisse faire abstraction de la rotation de la terre et qui se propagent horizontalement dans l'air dont la vitesse horizontale et la stabilité statique varient avec l'altitude dans les couches voisines de la surface terrestre. On obtient l'équation différentielle (15) qui décrit la façon dont la vitesse verticale du mouvement des ondes varie suivant l'altitude dans le cas d'ondes d'une longueur de 2 π/k en repos relativement au système des coordonnées. On tient compte des conditions aux limites — sur le sol d'une part où le mouvement est horizontal, et en haut d'autre part où l'énergie cinétique a une valeur finie — pour donner une relation entrek et la vitesse de l'onde (−W) relativement à l'atmosphère supérieure. Ces relations sont illustrées pour toutes les ondes stables possibles par la fig. 2 pour quatre courants d'air différents dont les profils de stabilité et de vitesse sont représentés dans la fig. 1. On obtient des résultats très variés. Aussi les conclusions que l'on peut tirer à propos des ondes formées dans un courant dépendentelles beaucoup du modèle choisi.

Deux chapitres concernent les conditions dans lesquelles les ondes de gravité peuvent se produire. Quelques-unes des conclusions auxquelles on aboutit s'appliquent également aux ondes longues. Les ondes instables ne se produisent que très rarement et résultent de circonstances tout à fait spéciales; elles ne mènent à aucun phénomène où prédomine une seule longueur d'onde. Les ondes stables que l'on peut observer ne se propagent pas relativement à la terre; au contraire, sauf les ondes de compression qui ne sont accompagnées d'aucun phénomène visible du temps et se propagent à peu près à la vitesse du son, elles sont en repos relativement à leur cause. Les ondes stables les plus importantes sont celles qui naissent à l'abri des montagnes.