Pseudo-random numbers

Summary

Pseudo-random numbers are usually generated by multiplicative methods. For binary computers the sequencesy _i+1эa y _i (mod 2^k) are common and the derived numbersx _i=y _i/2^k are taken as samples from the uniform distribution in (0, 1). In this paper 4a ≈2^k ξ is proposed as a guide line for the choice of the multiplicatora where ξ is the golden section number$\frac{1}{2}(\sqrt 5 - 1)$. Such values of the factor a have the property that an approximate knowledge ofy _i will not yield information about the successory _i+1. Bounds for the autocorrelations of the entire sequences are derived. These are of the same order of magnitude asGreenberger's bounds in the case$a \approx \sqrt {2^k }$. However, the precise evaluation of the serial correlations fork≤100 indicates that the factors 4a ≈2^k ξ are superior. One million numbers of a special sequence were tested statistically. The included ALGOL and FORTRAN subroutines will enable programmers to make practical use of this paper.

Zusammenfassung

Man erzeugt meist Zufallszahlen auf multiplikativem Wege: Ausgehend von einer ganzen Zahly _o konstruiert man eine Folge ganzer Zahlen {y _i} durchy _i+1эa y _i (mod 2^k). Die Brüchex _i=y _i /2^k sind die gewünschten Zufallszahlen im Intervall (0,1). Die Autoren schlagen 4a ≈2^k ξ für die Wahl des Faktors vor. Dabei ist$\xi = \frac{1}{2}(\sqrt 5 - 1)$ die Zahl des Goldenen Schnittes. Dieser Faktor erzwingt statistische Fast-Unabhängigkeit zwischenx _i undx _i+1. Darüberhinaus werden Abschätzungen für die Autokorrelation von zwei Zufallszahlen hergeleitet, die die gleiche Größenordnung haben, wieGreenbergers Abschätzung für die Wahl$a \approx \sqrt {2^k }$. Die exakten Werte der Autokorrelation fürk≤100 zeigen, daß der Faktor 4a ≈2^k ξ vorzuziehen ist. Eine Million Zufallszahlen einer speziellen Serie wurden statistischen Tests unterworfen. Die ALGOL- und FORTRAN-Programme sind für den praktischen Gebrauch dieser Arbeit bestimmt.