Summary
We introduce the concept of compactly lipschitzian functions taking values in a topological vector space F. We show that if F is finite dimensional the Lipschitz functions are compactly lipschitizian. We define the notions of generalized directional derivatives and subdifferentials for such functionsf taking values in an ordered topological vector space. It is shown that this notion of subdifferential coincides with the one of F. H. Clarke whenf is Lispchits and F=ℝ. Some formulas for this subdifferential concerning the cases of finite sum, composition, pointwise supremum and continuous sum are studied.
Article PDF
Similar content being viewed by others
References
J. P.Aubin,Micro-cours «Gradients généralisés de Clarke», Centre de Recherches Mathématiques, no. 703, Université de Montréal, 1977.
A. Auslender,Minimisation sans contraintes de fonctions localement lipschitziennes: Application à la programmation mi-convexe, mi-différentiable, C. R. Acad. Sci. Paris,284 (1977) pp. 959–961.
M. S. Bazaraa -J. J. Goode,Necessary optimality criteria in Mathematical programming in normed linear spaces, J. Optimization Theory Appl.,11 (1973), pp. 235–244.
N. Bourbaki,Variétés Différentiables et Analytiques, Fascicule de résultats, Hermann, Paris, 1967.
C. Castaing -M. Valadier,Convex Analysis and Measurable Multifunctions, Lectures Notes in Mathematics 580, Springer-Verlag, Berlin, 1977.
F. H. Clarke,Generalized gradients and applications, Trans. Amer. Math. Soc.,205 (1975), pp. 247–262.
F. H. Clarke,A new approach to Lagrange multipliers, Math. of Operations Res.,2 (1976), pp. 165–174.
F. H. Clarke,Generalized gradients of Lipschitz functionals, MRC Technical report, Univ. of Wisconsin, Madison, August 1976.
F. H. Clarke,On the inverse function theorem, Pacific J. Math.,64 (1976), pp. 97–102.
A. A. Goldstein,Optimisation of Lipschitz continuous functions, Math. Progr.,13 (1977), pp. 14–22.
H. H. Halkin,Mathematical programming without differentiability, in «Proceedings of MRC Symposium on the calculus of variations and optimal control, Sept. 1975» (D. L. Russell, Ed.), Academic Press, New York, 1976.
J. B. Hiriart-Urruty,Conditions nécessaires d'optimalité en programmation non différentiable, C. R. Acad. Sci. Paris,283 (1976), pp. 843–845.
J. B. Hiriat-Urruty,Gradients généralisés de fonctions composées. Applications, C. R. Acad. Sci. Paris,285 (1977), pp. 781–874.
J. B.Hiriart-Urruty,Contributions à la programmation mathématique: cas déterministe et stochastique, Thèse, Université de Clermont II, 1977.
A. D. Ioffe -L. Levin,Subbifferentials of convex functions, Trans. Moscow. Math. Soc.,26 (1972), pp. 1–72.
G. Jameson,Ordered Linear Spaces, Lectures Notes in Mathematics 141, Springer-Verlag, Berlin, 1970.
I. Kawai,Locally convex lattices, J. Math. Soc. Japan,9 (1957), pp. 281–314.
J. L. Kelley,General topology, Graduate texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1975.
S. S. Kutaleladze,Subdifferentials of convex operators, J. Math. Sibirski,13 (1977), pp. 1057–1064 (in russian).
G. Lebourg,Valeur moyenne pour gradient généralisé, C. R. Acad. Sc. Paris,281 (1975), pp. 795–797.
C. Malivert -J. P. Penot -M. Thera,Un prolongement du théorème de Hahn-Banach, C. R. Acad. Sci. Paris,286 (1978), pp. 165–168.
P. Michel,Problèmes des inégalités. Applications à la programmation et au contrôle optimal, Bull. Soc. Math. France,101 (1973), pp. 413–439.
P. Michel,Problèmes des inégalités. Application à la programmation différentielle dans les espaces de Banach, C. R. Acad. Sci. Paris,275 (1972), pp. 345–348.
P. Michel,Problème d'optimisation défini par des fonctions qui sont sommes de fonctions convexes et de fonctions dérivables, J. Math. Pures et Appl.,53 (1974), pp. 321–330.
R. Mifflin,Semismooth and semi-convex functions in constrained optimization, SIAM. J. Control,15 (1977), pp. 959–972.
J. J. Moreau,Fonctionnelles convexes, Séminaire sur les équations aux dérivées partielles, Collège de France, Paris, 1966–1967.
N. Neumann,On the Strassen desintegration theorem, Arch. Math.,29 (1977), pp. 413–420.
R.Pallu De La Barrière,Fonctions sous-linéarisables et principe de Pontryagin, Colloque sur le contrôle optimal, Bordeaux, 1973, Publications Mathématiques de l'Université de Bordeaux I, 1973–1974, (3), pp. 65–72.
J. P. Penot,Sous-différentiels de fonctions numériques non convexes, C. R. Acad. Sci. Paris,278 (1974), pp. 1553–1555.
J. P. Penot,Calcul sous-différentiel et optimisation, J. Functional Analysis,27 (1978), pp. 248–276.
J. P.Penot,Extrémisation et Optimisation, Cours d'analyse fonctionnelle appliquée, Pau, 1973–1974, multigraphié.
A. L. Peressini,Ordered topological vector spaces, Harper's series in Modern Mathematics, Harper and Row, New York, 1967.
B. H. Pourciau,Analysis and optimization of Lipschite continous mappings, J. Optimization theory Appl.,22 (1977), pp. 311–351.
C. Raffin,Sur les programmes convexes définis dans des espaces vectoriels topologiques, Ann. Inst. Fourier,20 (1970), pp. 457–491.
R. T. Rockafellar,Convex Analysis, Princeton Math. Series no. 28, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1970.
M. Robinson,Regularity and stability for convex multivalued functions, Math. of Operations Research,1 (1976), pp, 130–143.
J. Saint-Pierre,Une extension du théorème de Strassen, C. R. Acad. Sci. Paris,279 (1974), pp. 5–8.
J.Saint-Pierre,Théorème de Strassen et intégration de sous-différentiels pour des fonctions à valeurs dans un espace vectoriel ordonné, Séminaire d'analyse convexe, Exposé no.7, Montpellier, 1974.
H. H. Schaeffer,Topological vector spaces, Macmillan, New York, 1966.
L. Thibault,Quelques propriétés des sous-différentiels de fonctions réelles localement lipschitziennes définies sur un espace de Banach séparable, C. R. Acad. Sci. Paris,282 (1976), pp. 507–510.
L.Thibault,Quelques propriétés des sous-différentiels de fonctions localement lipschitziennes, Séminaire d'analyse convexe, Exposé no. 16, Montpellier, 1975.
L. Thibault,Problème de Bolza dans un espace de Banach séparable, C. R. Acad. Sci. Paris,282 (1976), pp. 1303–1306.
M. Valadier,Sous-différentiabilité de fonctions convexes à valeurs dans un espace vectoriel ordonné, Math. Scand.,30 (1972), pp. 65–72.
J. Warga,Derivate containers, inverse functions and controllability, in «Proceedings of MRC Symposium on the calculus of variations and optimal control, Sept. 1975» (D. L. Russell, Ed.), Academic Press, New York, 1976.
J. Zowe,Subdifferentiability of convex functions with values in an ordered vector space, Math. Scand.,34 (1974), pp. 69–83.
J. Zowe,A duality theorem for a convex programming problem in order complete vector lattices, J. Math. Anal. Appl.,50 (1975), pp. 273–287.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Thibault, L. Subdifferentials of compactly lipschitzian vector-valued functions. Annali di Matematica pura ed applicata 125, 157–192 (1980). https://doi.org/10.1007/BF01789411
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01789411