On the work theorems in nonlinear network theory

Summary

A pin joint network consisting of straight bars which are connected frictionless at the nodes is considered at large deformations. Such constructions have been analyzed numerically in [1] and [2] on the basis of an equilibrium iteration process starting with kinematic admissible quantities. On the other hand in [3] a kinematic iteration process is used starting with static admissible quantities. In this paper we show that both procedures correspond to complementary variational principles. Especially there is demonstrated that — besides the principle of virtual displacements—a general work theorem and a principle of virtual forces exist, if the lengths of the bars and the position vectors of the nodes (both in the deformed state) are introduced as kinematic variables rather than the elongations of the bars and the displacement vectors of the nodes respectively. On this basis various principles of stationary potentials are derived for a (possibly nonlinear) elastic network which coincide formally with the corresponding principles of the geometric linear theory [4]. Extremum qualities are discussed also. Some numerical examples are given.

Übersicht

Es wird ein aus geraden, an den Knotenpunkten reibungsfrei verbundenen Stäben zusammengesetztes Netzwerk bei großen Deformationen untersucht. Derartige Konstruktionen wurden in [1] und [2] auf der Basis der Gleichgewichtsiteration mit kinematisch zulässigen Größen untersucht. Andererseits wurde in [3] ein kinematischer Iterationsprozeß mit statisch zulässigen Größen verwendet. In der vorliegenden Arbeit wird nachgewiesen, daß beiden Vorgehensweisen komplementäre Variationsprinzipien zugeordnet werden können. Insbesondere zeigt sich, daß — neben dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen—ein allgemeiner Arbeitssatz und ein Prinzip der virtuellen Kräfte existieren, wenn als kinematische Größen anstelle der Stabverlängerungen und der Knotenverschiebungen die Stablängen und die Ortsvektoren der Knoten (beide im deformierten Zustand) eingeführt werden. Auf dieser Grundlage ergeben sich für ein (möglicherweise nichtlinear) elastisches Netzwerk verschiedene Stationaritätsprinzipien, die formal mit jenen der geometrisch linearen Theorie [4] übereinstimmen. Schließlich werden Extremumseigenschaften diskutiert und einige numerische Ergebnisse mitgeteilt.