Abstract
Mathematics instruction contains two conflicting demands: on the one hand, the demand for economical efficiency and for well-developed “motorways” and, on the other hand, the demand that pupils should investigate and discover for themselves and have the freedom to “pave” their own ways. It is argued that tasks with a certain richness and quality offer some steps towards a constructive handling of this dilemma. The author tries to develop some properties of powerful tasks and to sketch the structure and philosophy of one concrete system of powerful tasks for the concept of angle. The main part of this paper presents seven examples of powerful tasks: five from the system of tasks and two with regard to pupils' working with 2-D-graphic systems. The construction of powerful tasks is viewed as a valuable contribution to bringing the theory and practice of mathematics education closer together.
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References
Aebli, H.: 1980/1981.Denken: Das ordnen des Tuns, Vol. 1 and 2, Klett, Stuttgart.
Altrichter, H. and Posch, P.: 1990,Lehrer erforschen ihren Unterricht. Eine Einführung in die Methoden der Aktionsforschung, Klinkhardt, Heilbrunn.
Bauersfeld, H.: 1983, “Subjektive Erfahrungsbereiche als Grundlage einer Interaktionstheorie des Mathematiklernens und -lehrens”, in H. Bauersfeld, et al.,Lernen und Lehren von Mathematik, Aulis, Köln.
Bell, A.: 1991, “Research and the design of teaching”,Proceedings of PME 15 1, XXX.
Bender, P. and Schreiber, A.: 1980, “The principle of operative concept formation in geometry teaching”,Educational Studies in Mathematics 11, 59–90.
Bender, P. and Schreiber, A.: 1985,Operative Genese der Geometrie, Hölder-Pichler-Tempsky, Wien and B. G. Teubner, Stuttgart.
Bromme, R., Seeger, F., and Steinbring, H. (eds.): 1990,Aufgaben als Anforderungen an Lehrer und Schüller, IDM Band 14, Aulis Verlag Deubner, Köln.
Bromme, R.: 1986, “Die alltägliche Unterrichtsvorbereitung des (Mathematik) Lehrers im Spiegel empirischer Untersuchungen”,Journal für Mathematik-Didaktik 7(1), 3–22.
Christiansen, B. and Walther, G.: 1986, “Task and activity”, in B. Christiansen, and M. Howson, (eds.),Perspectives on Mathematics Education, Reidel, Dordrecht, 243–307.
Clark, C. and Yinger, R.: 1987, “Teacher planning”, in J. Calderneed, (ed.),Exploring Teachers' Thinking, London, 84–103.
Dörfler, W.: 1987, “Formen und Mittel des Verallgemeinerns in der Mathematik”,Beiträge zum Mathematikunterricht, 30–37.
Dörfler, W.: 1989, “Protocols of actions as a cognitive tool for knowledge construction”,Proceedings of PME 14 1, 212–219.
Harten, G. and Steinbring, H.: 1985, “Aufgabensysteme im Stochastikunterricht”,Occasional paper 71, IDM Bielefeld, Germany.
Fischbein, E.: 1987,Intuition in Science and Mathematics: An Educational Approach, Reidel, Dordrecht.
Fischer, R. and Malle, G.: 1985,Mensch und Mathematik. Eine Einführung in didaktisches Denken und Handeln, Bibliographisches Institut, Mannheim-Wien-Zürich.
Freudenthal, H.: 1983,Didactical phenomenology of mathematical structures, Reidel, Dordrecht-Boston-Lancaster.
Kadunz, G.: 1991,Felix. Ein interaktives Zeichenprogramm zur experimentellen Mathematik, unpublished paper, University of Klagenfurt.
Kadunz, G., Kautschitsch, H., Krainer, K., and Stocker, H.: 1990,Einsatz von Graphikpaketen im Geometrieunterricht, unpublished paper, University of Klagenfurt.
Krainer, K.: 1987, “Grand Prix von Integralopolis”,mathematica didactica 10(3/4), 161–182.
Krainer, K.: 1990,Lebendige Geometrie. Überlegungen zu einem integrativen Verständis von Geometrieunterricht anhand des Winkelbegriffes, Verlag Peter Lang, Frankfurt/Main-Bern-New York-Paris.
Krainer, K.: 1991a, “Consequences of a low level of acting and reflecting in geometry learning — findings of interviews on the concept of angle”,Proceedings of PME 15 2, 254–261.
Krainer, K.: 1991b, “Aufgaben als elementare Bausteine didaktischen Denkens und Handelns”,Beiträge zum Mathematikunterricht, 297–300.
Laborde, J. M. and Strässer, R.: 1990, “Cabri-Géomètre: A microworld of geometry for guided discovery learning”,Zentralblatt f ür Didaktik der Mathematik, 90/5, 171–177.
Lakatos, I.: 1979,Beweise und Widerlegungen, Vieweg, Braunschweig-Wiesbaden.
Lenné, H.: 1969,Analyse der Mathematikdidaktik in Deutschland, Klett, Stuttgart.
McLeod, D. and Adams, V. (eds.): 1989,Affect and Mathematical Problem Solving, Springer, New York.
Nohda, N.: 1991, “Paradigm of the ‘open-approach’ method in mathematics teaching: Focus on mathematical problem solving”,Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 91/2, 32–37.
Pehkonen, E.: 1991, “Developments in the understanding of problem solving”,Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 91/2, 46–50.
Piaget, J. and Inhelder, B.: 1971,Die Entwicklung des räumlichen Denkens beim Kinde, Klett, Stuttgart.
Piaget, J., Inhelder, B. and Szeminska, A.: 1974,Die natürliche Geometrie des Kindes, Klett, Stuttgart.
Polya, G.: 1945,How to solve it?, University Press, Princeton, NJ.
Polya, G.: 1966/1967,Vom Lösen mathematischer Aufgaben, Vol. 1 and 2, Birkhäuser, Basel-Stuttgart.
Schoenfeld, A.: 1985,Mathematical problem solving, Academic Press, Orlando.
Walther, G.: 1985, “Zur Rolle von Aufgaben im Mathematikunterricht”,Beiträge zum Mathematikunterricht, 28–42.
Winter, H.: 1989,Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Einblicke in die Ideengeschichte und ihre Bedeutung für die Pädagogik, Vieweg, Braunschweig.
Wittmann, E.: 1978,Grundfragen des Mathematikunterrichts, Vieweg, Braunschweig.
Wittmann, E.: 1984, “Teaching units as the integrating core of mathematics education”,Educational Studies in Mathematics 15, 25–36.
Wittmann, E.: 1987,Elementargeometrie und Wirklichkeit, Vieweg, Braunschweig.
ZDM/Fachinformationszentrum Karlsruhe (eds.): 1991, “Problem solving in mathematics”,Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 91/1 (part 1) and 91/2 (part 2).
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Krainer, K. Powerful tasks: A contribution to a high level of acting and reflecting in mathematics instruction. Educ Stud Math 24, 65–93 (1993). https://doi.org/10.1007/BF01273295
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01273295