A second order theory for large deflections of slender beams

Abstract

The classical theory of finite deformations for slender beams was mainly developed by Euler and Kirchhoff and assumes linear-elastic constitutive behaviour. But finite deformations lead a priori to a problem of nonlinear elasticity. Introducing dimensionless quantities, one realizes the importance of two small parameters which characterize the slenderness of the beam and the relation between the loading and the stiffness of the material. The asymptotic approximation of first order with respect to these two parameters confirm in the case of the “elastica” the Kirchhoff equations. For the second order approximation we restrict the discussion to the case, where the centerline of the beam bends as a plane curve in first order. Under this assumption, we derive general equations of second order and discuss some special cases. We show that local stress and strain fields of second order are always influenced by physical nonlinearities. For the second order global deformation of the centerline, the role of the physical nonlinearities depends on the shape of the cross section and its symmetry. The importance of the nonlinear effects is illustrated in some numerical examples. These applications show that physical nonlinearities have a greater influence than the geometrical nonlinearities of the problem. Thus, in higher approximations than the first, restriction to Hooke's law is not permissible in general.

Zusammenfassung

Die im wesentlichen auf Euler und Kirchhoff zurückgehende Theorie großer Deformationen des schlanken Balkens beruht auf einem linearelastischen Stoffgesetz. Große Deformationen ergeben jedoch a priori ein Problem der nichtlinearen Elastizitätstheorie. Führt man dimensionslose Größen ein, so erkennt man die Bedeutung zweier kleiner Parameter, welche die Schlankheit des Balkens und das Verhältnis zwischen Belastung am Balken und Steifigkeit des Materials beschreiben. Die asymptotische Approximation erster Ordnung nach diesen Parametern bestätigt für den Fall der Elastica die Kirchhoffschen Gleichungen. Für die Behandlung der zweiten Ordnung beschränkt sich die Arbeit auf die in erster Näherung ebene elastische Linie. In diesem Rahmen werden allgemeine Gleichungen zweiter Ordnung hergeleitet und zusammen mit einigen Spezialfällen diskutiert. Es stellt sich heraus, daß, bei der Bestimmung der lokalen Spannungs- und Verzerrungsfelder in zweiter Approximation, Elastizitätskonstanten zweiter Ordnung stets eine Rolle spielen. Für die globale Deformation der Balkenmittellinie bestimmt die Querschnittsform und deren Symmetrieeigenschaften, ob nichtlineare Elastizitäten zu berücksichtigen sind oder nicht. Das Ausmaß der nichtlinearen Effekte wird anhand einiger numerischer Beispiele dokumentiert. Diese zeigen, daß der Einfluß stofflicher Nichtlinearität stärker ins Gewicht fällt als jener, der aus der geometrischen Nichtlinearität des Problems herrührt, im allgemeinen bei der Behandlung höherer Approximationen also nicht mehr mit dem Hookeschen Gesetz gerechnet werden darf.