Abstract
Otto Neugebauer’s student identification photograph from Ludwig-Maximilian University in Munich, 1922 (Courtesy of the Archiv der Ludwig-Maximilians-Universität, Munich)
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Notes
- 1.
Information from Neugebauer’s Tagebuch (The Shelby White and Leon Levy Archives Center, Institute for Advanced Studies: Otto Neugebauer papers/Box 13). I would like to thank the IAS Archivist, Christine Di Bella, for her generous help.
- 2.
Austrian, like German, universities operate on a two-semester system: “Winter Semester” and “Summer Semester”. Traditionally, (with the corresponding month for Germany in parentheses) the first runs from the beginning of October to the end of February (March) while the second begins in March (April) and ends in September. Actual teaching time is generally:
-
Winter Semester: beginning of October (mid-October)—end of January (February)
-
Summer Semester: beginning of March (mid-April)—end of June (July)
-
- 3.
The information about Neugebauer at Graz I owe to the kindness of Prof. Dr. Alois Kernbauer at the University Archives, Institut für Geschichte at the Karl-Franzens-Universität in Graz. For the Graz careers of Brell, Radaković and Weitzenböck see (Aigner 1985). Neugebauer’s two public lectures are preserved in (The Shelby White and Leon Levy Archives Center, Institute for Advanced Studies: Otto Neugebauer papers/Box 13 “Vortrag über A.R.T. und Weyl”); the citation is from page 34.
- 4.
Otto Neugebauer papers, Box 1345, Courtesy of The Shelby White and Leon Levy Archives Center, Institute for Advanced Study, Princeton, NJ, USA.
- 5.
For Hilbert’s view on the role of axiomatization in physics and mathematics, see (Corry 2004).
Fig. 2 
(a) “Tabelle III” from Neugebauer’s notes for his lecture on Weyl’s unified theory, 1921 (Courtesy of the Shelby White and Leon Levy Archives Center, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey)
- 6.
Now the Montanuniversität Leoben for Mining and Metallurgy.
- 7.
Radaković’s research interests centered on classical mechanics and its applications to ballistics and meteorology.
- 8.
I should like to thank Dr. phil. Claudius Stein for information about Neugebauer’s semester at Munich.
- 9.
- 10.
Sommerfeld’s book, first published in 1919, was to see eight thoroughly revised editions over the years. It was translated into English, Russian and French and used extensively as a textbook through the 1920s. Pauli’s 237-page article on “Relativitätstheorie” (Pauli 1921), issued that same year as an independent monograph, was also to see a large number of reprints and translations and continues even today to serve as a textbook.
- 11.
The reference is to Einstein’s first unified theory of 1919. For a discussion of this theory, and of Pauli’s reaction to it and to that of Weyl, see (Goldstein and Ritter 2003: Section 2).
- 12.
Keiner der bisherigen Theorien des Elektrons, auch nicht der Einsteinschen… ist es bisher gelungen, das Problem der elektrischen Elementarquante befriedigend zu lösen, und es liegt nahe, nach einem tieferen Grund dieses Mißerfolges zu suchen. (Pauli apud Weyl 1920: 650)
- 13.
Lebenslauf, 22/9/1925, UAG Kur. P.A. Neugebauer, Otto, Band I, Hs N. I would like to express my deepest gratitude to Dr. Ulrich Hunger, at the Universitätsarchiv Göttingen for his most kind assistance.
- 14.
Bescheinigung, 23/4/1926, UAG Kur. P.A. Neugebauer, Otto, Band 1/II, Bescheinigung 23. April 1926.
- 15.
For Landau see (Schappacher 1987).
- 16.
Interestingly enough, the Ludwig-Maximilians University in Munich was one of the few German universities to have offered courses in both Ancient Egyptian language and in Akkadian (Babylonian). The former, for specialists, were given by Friedrich von Bissing, then in his last semester in Munich and who had primarily archaeological interests. The Akkadian courses were given by Fritz Hommel who, in 1921–1922 offered a seminar on Old Babylonian texts. (LMU 1921). But we can find no trace of any interest expressed by Neugebauer in these areas before Göttingen.
- 17.
This was a revised version of the book, translated into German by the noted Heidelberg Orientalist Hermann Ranke in 1910 (Breasted 1910).
- 18.
We cite from the original English. No change was made to this section in the German edition.
- 19.
… [S]tehe ich nicht an, die Einführung des ägyptischen Kalenders am 19. Juli 4241 v. Chr. als das erste sichere Datum der Weltgeschichte zu bezeichnen. (Meyer 1904: 45). We shall return to this question in section “Eduard Meyer and the Sothic period”.
- 20.
Erman, though he never worked himself on Egyptian mathematics, had as students a good number of those who did: Sethe in Germany, Breasted in America, Boris Aleksandrovich Turaev and Vasilij Vasil’evich Struve in the Soviet Union,…. (Erman 1929: 283).
- 21.
- 22.
- 23.
Though the Moscow papyrus had not yet been published in 1923, photographs of the complete papyrus were in Sethe’s possession at Göttingen as part of his work on the Berlin Egyptian Dictionary.
- 24.
The problem is number 26 of the Rhind papyrus, using the standard numbering, first established in its first edition (Eisenlohr 1877). The translation is my own.
- 25.
The techniques mentioned in most popularizations of Egyptian mathematics are erroneously limited to halving and doubling only. For a more accurate presentation see (Ritter 1995: 50–60).
- 26.
For a discussion of the uses of tables see (Imhausen and Ritter 2004: 95) and the references indicated there. We possess two copies of this table: one occupying almost all of the recto of the Rhind Papyrus (running from the double of 1/5 to the double of 1/101), the other illustrated here, being one of the Lahun fragments (doubling from 1/3 to 1/21).
- 27.
The term is Salomon Bochner’s in (Bochner 1952).
- 28.
Bohr’s original definition of an almost periodic function: A (complex-valued) continuous function f on R is called almost periodic if for any ε > 0, every interval on R of length greater than a given I (ε) contains at least one point τ (ε) such that | f (x + τ) − f (x) | ≤ ε for all x. That is to say, an almost periodic function is one which, on a sufficiently long interval, comes arbitrarily close again to any of its already attained values.
- 29.
Still publishing, but since 1953 under the title of Mathematica Scandinavica and under the editorship of all five of the Mathematical Societies in Scandinavia.
- 30.
Da Tidsskriftets Afdeling B modtog den nye Udgave af »Ahmes Regnebog« til Anmeldelse, opholdt sig her i Byen den unge tyske Matematiker Hr. O. Neugebauer der har beskæftiget sig indgaaende med den gamle ægyptiske Kultur, og som var saa elskværdig at imødekomme min Opfordring om at skrive en Anmeldelse til Tidsskriftet. Da den gamle ægyptiske Regnebog jo imidlertid frembyder saa stor Interesse for enhver matematisk interesseret, har Tidsskriftets Redaktioner foretrukket at lade Anmeldelsen trykke i Afdeling A for derved at gøre den tilgængelig en større Læsekreds. (apud Neugebauer 1925: 66 note *).
- 31.
“Egyptian mathematics was a simple affair …”, mindestens für uns, wenn wir den mathematischen Kern ihrer Probleme betrachten. Dem steht aber ein auf den ersten Blick erschreckend umständlicher und schwerfälliger Rechenapparat gegenüber. Während das zu Grunde gelegte Zahlensystem ein rein dezimales ist (ohne Stellenwert der Zeichen) ist die bei der Multiplikation mit ganzen Zahlen zur Anwendung kommende Methode eine d y a d i s c h e….
The initial English citation is from the book under review (Peet 1923a: Preface). The reference to “dyadic” here is the doubling technique used in explicit calculations.
- 32.
In ihrer streng sachlichen Art, in der Vermeidung aller künstlichen Hypothesen und dem sicheren Verständnis für historische Möglichkeiten ist sie geeignet dem Leser ein vorzüglicher Führer zu sein.
- 33.
For this system see (Ritter 2001: 121).
- 34.
Neugebauer makes an error here, the setjat is a square khet, not a square cubit (meḥ).
- 35.
…bei der Berechnung von Flächengrössen zeigt sich die deutliche Empfindung für die ursprüngliche Bedeutung einer Operation. Um die Fläche eines Quadrates von 9 Ellen Seitenlänge zu bestimmen werden 9 QuadratelIen neunmal genommen, also viel korrekter als ein mechanisches rechnen mit ”Dimensionen“.
- 36.
Das wichtigste prinzipielle Ergebnis der vorliegenden Arbeit ist die Einsicht in die ausschließlich additive Grundlage der ägyptischen Mathematik, welche der gesamten weiteren Entwicklung ihr spezifisches Gepräge gibt.
- 37.
Wer die Geschichte der Mathematik kennt und ein offenes Auge für den typischen Charakter einer Zeit hat, kann den Einfluss nicht übersehen, den Zeitcharakter und Volkseigenthümlichkeit auf die Entwicklung der mathematischen Wissenschaft ausgeübt haben. Wäre es mir erlaubt, diese Thatsache hier ausführlich zu begründen, so würden Sie, hochverehrte Herren, in dem Zustande der Mathematik in jeder Epoche den Reflex aller der Eigenthümlichkeiten erkennen, welche jene Zeit charakterisiren. Es ist eben Mathematik auch eine Wissenschaft, die von M e n s c h e n betrieben wird, und jede Zeit, sowie jedes Volk hat nur E i n e n Geist.
Though Neugebauer cites only the last sentence, he clearly has in mind the whole paragraph.
- 38.
Nicht nur die griechische Wissenschaft ist dem Zauber erlegen, den eine tausendjährige Vergangenheit über alles ägyptische Denken gebreitet hatte; auch die moderne Wissenschaft hat erst allmählich lernen müssen, „vorurteilslos‟ an die Dinge heranzutreten und sie so zu verstehen, wie sie geworden sind. Neben die Forderung, nicht alle Phasen eines Prozesses wie Gleichzeitiges und für unser Verständnis Gleichwertiges zu betrachten, tritt die andere, sich. soweit als irgend möglich davor zu hüten, uns geläufige moderne Begriffe und Anschauungen auf antike Verhältnisse kritiklos zu übertragen.
- 39.
Man hat der Historie das Amt, die Vergangenheit zu richten, die Mitwelt zum Nutzen zukünftiger Jahre zu belehren, beigemessen; so hoher Ämter unterwindet sich gegenwärtiger Versuch nicht: er will bloß zeigen, wie es eigentlich gewesen.
- 40.
For mathematics at Göttingen see (Rowe 2004).
- 41.
For the arithmetization program in mathematics see (Petri and Schappacher 2007) and (Jahnke and Otte 1981).
- 42.
Auch die Mathematik der letzten Jahrhunderte hat eine große Wandlung erfahren; ihre „Arithmetisierung“ hat große Fortschritte gemacht und die Untersuchungen über ihre logischen Grundlagen sind in ein entscheidendes Stadium getreten. Beide Richtungen haben den Blick dafür geschärft, den begrifflichen Kern mathematischer Sätze und Operationen herauszuschälen. Es ist klar, daß auch die Geschichte gerade der Anfänge der Mathematik danach streben muß, das Verhältnis zu erkennen, in dem die Begriffe, die in der gegebenen geschichtlichen Entwicklung die ursprünglichen sind, zu jenen Begriffen stehen, die nach modernen Anschauungen diesen Platz in rein logischer Hinsicht einnehmen müssten.
- 43.
…ich brauche etwa nur auf die willkürlichen Konstruktionen von M. Cantor oder Hultsch hinzuweisen. Kritik und Sorgfalt der Historiker der Mathematik haben es in diesem Punkte nicht vermocht, mit der gleichzeitigen philologischen Arbeit Schritt zu halten.
This dismissal of the work of two of the leading historians of mathematics of the period (e.g., Cantor 1894 and Hultsch 1895) is not just the typical iconoclastic enthusiasm of the young doctoral student but remained a constant in Neugebauer’s attitude to those who held views he considered insufficient or outdated. See section “The Neugebauer style” below. It has to be placed in the context of a general polemic against Cantor’s cultural history, see (Lützen and Purkert 1993).
- 44.
…rein sprachliche und psychologische Überlegungen … zeigten, daß sich der ursprüngliche Zahlbegriff nicht auf den der „natürlichen“ g a n z e n Zahlen beschränkt, sondern als gleichberechtigte Elemente eben die „natürlichen“ Brüche mit umfaßt, während die „algorithmischen“ Brüche erst als zwangsläufiges Resultat einer wirklichen Rechentechnik erscheinen („Division“).…
Die sprachlich-psychologische Motivierung reicht natürlich tiefer als die sozusagen empirische aus dem Rechenformalismus erschlossene…
- 45.
For fractions, this corresponds more or less to the general distinction introduced in (Benoit et al. 1992: 11) between “special-status fractions” and “quantièmes”, but there it is applied to other cultures as well and based on a distinction in the written forms of the elements of the two classes (special signs for the special-status fraction vs. systematic constructability for the quantièmes).
- 46.
UAG Math. Nat. Prüf. Neugebauer, Otto: 19 April 1926.
- 47.
Die bei den von Kollegen S e t h e in Berlin und Kollegen K e e s erstatteten Gutachten zeigen, dass die beiliegende Arbeit von Herrn N e u g e b a u e r vom Standpunkte der Ägyptologie aus einen ganz entschiedenen Fortschritt in der Enträtselung einer wichtigen Frage bedeutet und als Leistung hohe Anerkennung verdient.
- 48.
In mathematischer Hinsicht handelt es sich natürlich nicht um tiefe oder schwierige arithmetische Probleme, vielmehr kann man die gelöste Aufgabe mit der Entwirrung eines komplizierten Spektrums und der Aufdeckung der darin enthaltenen zahlentheoretischen Gesetzmässigkeiten vergleichen.
The reference here is to the then current semi-empirical methods of analyzing atomic spectra by using the “old” Bohr-Sommerfeld quantum theory to derive numerical relations among the various lines of atomic spectra. The Göttingen physics department, with Max Born and his student Friedrich Hund, was then at the forefront of just such an approach; see (Hund 1927).
- 49.
Es ist nicht das erste Mal, dass ein Mathematiker wesentliches für die Ägyptologie geleistet hat; die Anfänge der wissenschaftlichen Ägyptologie sind ja bekanntlich eng mit den Namen einiger grosser französischer Mathematiker verbunden. Es freut mich ganz besonders, dass heute wieder ein mir als reifer Mathematiker bekannter Gelehrter die Tradition aufnimmt.
“French mathematicians” refers to those mathematicians and engineers who participated in Napoleon’s Egyptian Expedition or in the edition of the monumental Description de l’Égypte which codified its scientific results: Gaspard Monge, Jean-Joseph Fourier, Edmé François Jomard, and Pierre Simon Girard.
- 50.
For the example of such an annexation in the case of Minkowski and special relativity, see (Walter 1999).
- 51.
UAG Kur. P.A. Neugebauer, Otto: Band 1/II, Bescheinigung 23. April 1926.
- 52.
See (Bečvářová and Netuka 2010: 16).
- 53.
This consisted of two parts, series A to publish editions of ancient texts—the first volume was Struve’s edition of the Moscow papyrus (Struve 1930)—and series B for research articles in the subject.
- 54.
Now called Zentralblatt MATH, this was created to replace the venerable but ailing Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik. For the history of these two journals see (Reinhard Siegmund-Schultze 1993).
- 55.
- 56.
Ich muß zum Abschluß dreier Werke gedenken, die von bestimmendem Einfluß auf die eigentlichen Grundlagen meiner Anschauungen geworden sind …. Das erste S e t h e s „Von Zahlen und Zahlworten“…, das mir überhaupt erst die Möglichkeit einer nicht auf bloße „Intuition“ gegründeten geschichtlichen Betrachtungsweise des Zahl- und Bruchbegriffs erschlossen hat.
- 57.
Dann H. S c h ä f e r s „Von ägyptischer Kunst besonders der Zeichenkunst“…, vor allem durch seine prinzipiellen Einsichten über die ägyptische Auffassung der „perspektivischen“ Darstellungsweise und schließlich L é v y-B r u h l s „Fonctions mentales dans les sociétés inférieures“…, das S c h ä f e r s Werk in ganz allgemeiner Hinsicht ergänzt.
The earliest, and best, English-language review of the version of Schäfer’s book used by Neugebauer (Schäfer 1919) is to be found in (Davies 1921), with a detailed summary of the first edition. Only a much later, considerably revised (first by the author, then by the editor and the translator) version was translated into English in 1974 under the title Principles of Egyptian Art. Lévy-Bruhl’s now very perjorative-sounding French title (Fonctions mentales dans les sociétés inférieures) is here rendered into English by that under which the authorized English-language version of the book was published in 1925.
- 58.
As Erman later recalled about them: “And within the individual generations [of my students] harmony and friendship ruled, and I can only picture many of my students in their youth, like…Sethe and Schäfer, as pairs.” [Auch innerhalb der einzelnen Generationen herrschte Eintracht und Freundschaft, und manche meiner Schüler wie…Sethe und Schäfer kann ich mir in ihrer Jugend nur als Paare denken.] (Erman 1929: 283).
- 59.
Einen Satz L é v y—B r u h l s möchte ich geradezu als Leitmotiv für die Einstellung zur vorgriechischen, insbesondere ägyptischen Mathematik, hinstellen: „Leur mentalité se prête mal aux opérations qui nous sont familières; mais, par des procédés qui lui sont propres, elle sait obtenir, jusqu’à un certain point, les mêmes résultats“.
The citation from Lévy-Bruhl is to be found at (Lévy-Bruhl 1922: 205), in the chapter entitled “The pre-logical mentality and its relation to numeration”.
- 60.
Neugebauer specifically opposes the interpretation of these problems as examples of a ‘false position’ method, common in earlier work (Neugebauer 1930a: 309).
- 61.
UAG Kur. P.A. Neugebauer, Otto: Band III, Document 11.
- 62.
Note from Schnoering at the Ministry to Kurator Valentiner. UAG Kur. P.A. Neugebauer, Otto:
Band I, Document II 16.
- 63.
Letter from Kurator Valentiner to Neugebauer. UAG Kur. P.A. Neugebauer, Otto, Band I, Document II 17.
- 64.
“Über vorgriechische Mathematik”, course notes in The Shelby White and Leon Levy Archives Center, Institute for Advanced Studies: Otto Neugebauer papers.
- 65.
Demotic refers to both a very late stage (seventh century bc to fifth century ad) of the ancient Egyptian language, and to its corresponding written form, an extremely cursive form of hieratic.
- 66.
Succinctly reedited in (Neugebauer and Parker 1969: Text vol. p. 220–225, Plate vol. p. 65).
- 67.
The original of the text dates back to the fourth century bc (Parker 1950: 24–29).
- 68.
See now (Neugebauer and Parker 1960: 36–94, pls. 36–42).
- 69.
Swerdlow (Swerdlow 1993: 147) argues plausibly that Neugebauer no longer felt that its original program of presenting Egypt and especially Mesopotamia as simply prolegomena to Greek science was in any way adequate or pertinent.
- 70.
Unlike his work on Egyptian and Babylonian mathematics or on Babylonian astronomy, Neugebauer never published alone a major article or monograph on Egyptian astronomy; all are cosigned with an Egyptologist, Volten, Lange, Parker. It is unclear if and to what extent he ever learned Demotic in which the majority of the astronomical texts were written.
- 71.
For Feller (born Vilibald Srećko Feller) see (Birnbaum et al. 1970).
- 72.
Ich möchte hervorheben, daß der Kern dieser Arbeit in gemeinsamer Diskussion mit Dr. W. Feller, Stockholm, entstanden ist. Ebenso habe ich Herrn Dr. Feller für die Literaturnachweise über den Nil sowie für Durchsicht von Manuskript und Korrekturen zu danken.
- 73.
Lasciate ogni speranza voi ch’intrate!, “Abandon all hope, you who enter!” is the final line of the inscription Dante places at the entrance to Hell in his Divina Commedia (canto 3, line 9).
- 74.
Latin for “Egyptian chronology liberated”.
- 75.
Wir können dem … Mathematiker O. Neugebauer gar nicht dankbar genug sein für eine umfänglich kleine, inhaltlich bedeutungsschwere Arbeit, in der er mit zwingenden Schlüssen von verblüffender Einfachheit die astronomischen Grundlagen des ganzen einst von Ed. Meyer mit gewaltigem Scharfsinn erdachten Gebäudes der ägyptischen Chronologie aufhebt.
- 76.
That no “clearing of the ground’ is ever truly established once and for all is made clear by the fact that some celebrations of the centennial of Meyer’s publication in 2004 trot out the full hypothesis, initial date and all, e.g., (Zulian 2004), where, interestingly, Neugebauer is completely ignored.
- 77.
Though T. Eric Peet had majored in mathematics as an Oxford undergraduate, he had never practiced it, having turned to archeology immediately after graduation.
- 78.
- 79.
Most of these have been reprinted in (Folkerts 1988).
- 80.
A detailed discussion of these “fractions” and their current status can be found in (Ritter 2003).
- 81.
In his edition of the Rhind papyrus, Peet had already expressed skepticism about Möller’s hieroglyphic equivalents for these capacity measures (Peet 1923a: 25–26).
- 82.
For more detail on this question see (Ritter 2003).
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Ritter, J. (2016). Otto Neugebauer and Ancient Egypt. In: Jones, A., Proust, C., Steele, J. (eds) A Mathematician's Journeys. Archimedes, vol 45. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-25865-2_4
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