Abstract
We aim at clarifying to what extent the work of the German mathematician Ernst Schröder (1841–1902) on the algebra of logic is taken into consideration and rehashed in the work of the early Husserl, focusing on Husserl’s 1891 Review of the first volume of Schröder’s monumental Vorlesungen über die Algebra der Logik (Exakte Logik) and on Husserl’s text Der Folgerungskalkül und die Inhaltslogik written in the same year. We will try to show how and why Husserl, while praising Schröder’s calculus, strongly criticizes Schröder’s attempt at a philosophical clarification and justification of it.
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Notes
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
- 5.
Husserl 1891c. Henceforth cited as FK.
- 6.
EL I, iii-iv; RevS 3–4.
- 7.
EL I, 1–125; RevS 4–23.
- 8.
EL I, 126–167; RevS 23–29.
- 9.
RevS 30–31 on Schröder’s 2st Lecture (EL I, 168,184,188); RevS 31–34 on Schröder’s 3rd Lecture (EL I, 196,199,202,204,207,211); RevS 34–37 on Schröder’s 4th Lecture (EL I, 241–242,245–248); RevS 37 on Schröder’s 5th Lecture (EL I, 254–281); RevS 37–38 on Schröder’s 6th Lecture (EL I, 282–298); RevS 38–39 on Schröder’s 7th Lecture (EL I, 299–341); RevS 39–40 on Schröder’s Lectures 8–11 (EL I, 342–477); RevS 40–42 on Schröder’s 12th Lecture (EL I, 378–520); RevS 42–43 on Schröder’s 13th Lecture (EL I, 521–558); RevS 43 on Schröder’s 14th Lecture (EL I, 558–592).
- 10.
EL I, iii; RevS 3.
- 11.
EL I, 4; RevS 4.
- 12.
EL I, 118ff.; RevS 3.
- 13.
See, for instance, RevS 4, 17, 19.
- 14.
Frege 1895.
- 15.
- 16.
EL I, 132.
- 17.
EL I, 131. Husserl will adopt Schröder’s symbol “€” in his own lecture course on logic held at the University of Halle in Summer 1896 (known as Logikvorlesung 1896, in: Husserl 2001; henceforth cited as LV’96), while presenting a “Theory of conceptual and propositional inferences” (LV’96 254–264). Cp. Centrone 2010a, 128–145.
- 18.
EL I, 157.
- 19.
EL I, 160.
- 20.
A similar axiomatic characterization, as acknowledged by Schröder, is found in Peirce 1880, 24.
- 21.
EL I, 210.
- 22.
- 23.
Raised in Peirce 1880.
- 24.
In a lattice, each of the two identities entails the other one. Indeed, Schröder is fully aware of the duality between multiplication and addition, and makes extensive and systematic use of this fact throughout his treatise.
- 25.
EL I, 280.
- 26.
EL I, 617 ff.
- 27.
According to Boole, the operation + of addition is defined only when the addends are disjoint.
- 28.
EL I, 300.
- 29.
EL I, 310.
- 30.
“Die Logik, im weiteren Sinne des Wortes, beschäftigt sich mit all’ den Regeln, durch deren Befolgung die Erkenntnis der Wahrheit gefördert wird.… Sie sucht die Frage zu beantworten: wie gewinnen wir Erkenntnisse, auf welchem Wege gelangen wir zur Wahrheit?” (EL I, 1).
- 31.
Cp. e.g. EL I, 126.
- 32.
The full text reads as follows: “Mithin, da Erfassen der Wahrheit ein Akt des Denkens ist, dürfen wir als Gegenstand der Logik überhaupt bezeichnen: das Denken, sofern es das Erkennen zum Endzweck hat” (EL I, 1).
- 33.
Husserl 1900, henceforth cited as PR. English translation cited as PRe.
- 34.
Cp. PR vi; PRe 42.
- 35.
PR vi; PRe 42.
- 36.
PR vii; PRe 42.
- 37.
PR vi; PRe 42.
- 38.
See for instance RevS 6: “Deductive Logic has as its object … the logical activities employed in all deductive sciences. The latter make up the essence of its methods. (Die deduktive Logik geht … auf die logischen Betätigungen, die in allen deduktiven Wissenschaften zur Geltung kommen und das Wesen ihrer Methoden ausmachen.)” Cp. also PR. 12–26, PRe 60–70.
- 39.
“Die deduktiven Wissenschaften schließen nicht allein: Sie operieren auch, sie konstruieren und rechnen” (RevS 6).
- 40.
“[M]ann kann sich kaum mehr über die eigenen Ziele täuschen, das der Verf. Es hier tut” (RevS 5).
- 41.
RevS 5.
- 42.
RevS 5.
- 43.
RevS 5.
- 44.
“Daher die Möglichkeit im konkreten Falle, die Termini durch allgemeine Zeichen zu ersetzen, nach dem korrespondierenden allgemeinen Schema zu schließen und erst dann die Zeichen durch ihre besondere Bedeutung zu ersetzen. Was immer aus irgendeinem System gegebener Prämissen auf Grund ihrer bloßen ‘Form’ gefolgert werden kann, fällt in diesen Bereich—aber auch nicht mehr” (RevS 6).
- 45.
Cp. PoA 258–267; PdA 244–252.
- 46.
Husserl 1901, henceforth cited as LU followed by I, II, … or VI; English translation cited as LI. Here LU VI, §45, 144; LI VI, 785–786.
- 47.
Cp. Willard 1984, 26.
- 48.
See Leibniz 1684, 586.
- 49.
EL I, 38, 40. Cp. RevS 9.
- 50.
Cp. Trendelenburg 1856, 45.
- 51.
RevS 7. Cp. PoA 273; PdA 258.
- 52.
“Das ganze Verfahren erspart und ersetzt mannigfaltige reine Deduktionen, ist aber selbst keine solche. Die Theorie aller dieser Geistesbetätigungen, welche, obschon selbst keine folgernden, der Deduktion wissenschaftlicher Wahrheiten dienen, gehört offenbar in die deduktive Logik, aber sie gehört nicht in das Gebiet der reinen Folgerungen. Es war ein Hauptirrtum der alten formalen Logik, daß sie, auf dieses enge Gebiet sich einschränkend, dennoch glaubte, die Ziele der Logik zu erreichen. Die algorithmische Logik, in der Tat ihr direkter Abkömmling, hat diesen Irrtum übernommen …” (RevS 7).
- 53.
Cp. RevS 7–9. Cp. FK 45, fn.
- 54.
EL I, 42.
- 55.
“Aber Prinzipien der Benennung—und darum allein dreht sich alles Weitere—sind noch keineswegs die Prinzipien derjenigen eigentümlichen Bezeichnungen, die sich zu Algorithmen zusammenschließen.” (RevS 10).
- 56.
Husserl’s terminology in LU I, §20, 68; LI, 304.
- 57.
EL I, 40–41.
- 58.
EL I, 44–45. Cp. PoA 249–250; PdA 235–237.
- 59.
Cp. e.g. Leibniz 1666, 5.
- 60.
Leibniz would not speak tout court of “expressed concept”. See, for instance, Leibniz 1677b.
- 61.
PoA 205–206; 247–240; PdA 193–194; 237–239. Hereto also cp. Husserl, Zum Begriff der Operation (On the Concept of Operation), in: PoA 385–408; PdA 408–429. Here: PoA 395; PdA 418.
- 62.
EL I, 48; 49.
- 63.
EL I, 44–45.
- 64.
- 65.
EL I, 46.
- 66.
RevS 11.
- 67.
EL I, 49.
- 68.
RevS 11.
- 69.
About this issue, cp. the later Husserl in LU I, §12, 47; LI, 288.
- 70.
RevS 12.
- 71.
- 72.
Mill 1846, 31. Note that Mill writes here “signifies”, but in the light of what he is going to say next he had better written “it purports to denote.”
- 73.
Loc. cit.
- 74.
Loc. cit.
- 75.
Mill 1846, 33.
- 76.
Mill 1846, 34.
- 77.
“Aus der Vorstellung eines konkreten Dinges vermögen wir … gewisse Elemente abzusondern.… Solche Teilvorstellungen … nennen wir “Merkmale” desselben (nota, mark …). Gelingt solche Isolierung vollkommen, so heißt das Merkmal ein Teil (pars, part) des Dinges und wird sich auch seinerseits wieder als ein konkreter Gegenstand in’s Auge fassen lassen.… Gelingt jene Isolierung (Absonderung, …) nicht vollkommen, so nennen wir das vorgestellte Ding etwas Abstraktes, seinen (Eigen-)Namen ein nomen abstractum” (EL I, 57–58). Cp. RevS 12.
- 78.
Mill 1846, 33.
- 79.
Mill 1846, 33. Cp. RevS 12.
- 80.
“[D]ie Millsche Klassifikation der Namen in mitbezeichnenden und nicht mitbezeichnende [wird] bei Schröder gar über mitgespielt. Soweit sie nicht übereinkomme mit derjenigen in Gemeinnamen und Eigennamen, sei sie “belanglos” und “lose sich in eitel Dunst auf” (EL I, 62).—Was den Verf., von dem wir doch voraussetzen dürfen, daß er Mills Logik gelesen hat, zu so starken Behauptungen veranlaßt hat, ist mir unerfindlich. Gibt doch Mill ausdrücklich (Buch I., Kap. 2, §5) Beispiele von Einzelnamen …, die nicht mitbezeichnend sind. Schröder unterlegt überdies dem Millschen ‘not-connotative’ den Sinn von ‘nicht-bezeichnend’ als ob die nicht-mitbezeichnenden Namen sinnlose wären, und als ob Mill seine trefflichen und präzisen Erklärungen hierzu nie geschrieben hätte!” (RevS 12).
- 81.
RevS 17.
- 82.
“die gemeinsamen Merkmale der mit dem Gemeinnamen bezeichneten Dinge …, auf welche bei seiner Bildung reflektiert wurde” (EL I, 83). Cp. RevS 17.
- 83.
“die sämtlichen gemeinsamen Merkmale überhaupt, welche als solche erkannt werden könnten, die es aber vielleicht niemals vollständig auszudenken möglich” (EL I, 83 ff.). Cp. RevS 17; FK, 171; 172. Note the difference with Husserl’s understanding of “ideal content of a concept” in his LV’96, 70–71.
- 84.
“Klasse der unter dem Gemeinnamen (distributive) zusammengefassten Individuen.” (EL I, 83).
- 85.
Wittegenstein 1953, §§ 65–67. Cp. Mill 1843, Book 1, Ch. 8.
- 86.
In Wittgenstein’s words, “hinweisende Erklärung.” See Wittgenstein 2001, §§2, 8.
- 87.
Cp. EL I, 84.
- 88.
“[d]ie Umfangsangabe erscheint … als das unvollkommenere der beiden Mittel, einen Begriff zu bestimmen” (loc. cit.).
- 89.
“‘Erscheint’, heißt es; denn die Unvollkommenheiten der Inhaltsangabe sollen noch größere und unüberwindliche sein, daher die Umfangsangabe allein der Logik zugrunde gelegt werden müsse” (RevS 16).
- 90.
“Es lassen die Merkmale, welche den unter den Begriff fallenden Individuen gemeinsam sind, und welche in ihrer Verbindung den idealen Inhalt ausmachen, sich überhaupt nie vollständig aufzählen” (RevS 16; cp. EL I, 86).
- 91.
RevS 16–17; 18.
- 92.
“Die beste Widerlegung der Schröderschen Argumentation bildet die folgende Tatsache: Genau in demselben Sinne, als die sog. Umfangslogik eine gültige Theorie ist, kann auch eine “Logik idealer Inhalte” aufgebaut werden, mit einer Technik, die sogar identisch ist mit derjenigen der ersteren. Ja noch mehr, auch die von beiden beherrschten logischen Aufgaben sind identisch dieselben. Ich beweise dies an anderem Orte” (RevS 18).
- 93.
FK 169.
- 94.
Loc. cit.
- 95.
Frege 1976, 92–94 (English edition: 61–64).
- 96.
- 97.
RevS 31.
- 98.
What Schröder is actually doing is, we would now say, to add existential postulates of the form ∀x∀y∃z φ(x,y,z)—in the case of addition and multiplication, and analogously for “0”, “1.” Then it is shown that the resulting system proves ∀x∀y∃!z φ(x,y,z), and so one can expand the language with a binary function letter f and add φ(x,y,f(x,y)) to the axioms. The resulting system is a conservative extension of the original one.
- 99.
“Mit ausdrücklicher Ablehnung der Existenzfrage sollen von da ab ‘die Symbole 0 und 1 … mit zu den Gebieten der Mannigfaltigkeit gezählt werden’.… Der Verf. dokumentiert sich hier als Glied jener Schule formalistischer Arithmetiker, die da meinen, die vielberedete Definitionsfreiheit gäbe das Recht, inmitten einer deduktiven Disziplin x-beliebige Begriffe ‘schöpferisch einführen’ zu können, sofern man nur Sorge trage, daß die Definitionen widerspruchslose seien. Aber neben den Widerspruch ist logisch noch ein anderes zu vermeiden: der Widerstreit” (RevS 31). “Da jene ‘schöpferische’ Definition der 0 ihr im System des Kalküls, wie oben dargelegt worden, noch kein Existenzrecht gibt; …—mit welchem Rechte darf sie dennoch adjungiert werden? Ich finde auch nicht den Schatten eines Beweises hierfür. Die 0 des identischen Kalküls bietet dasselbe Problem wie die √−1 des arithmetischen” (RevS 33).
- 100.
This was the subject of the lecture (known as Doppelvortrag) presented by Husserl to the Mathematische Gesellschaft in Göttingen in the winter semester of 1901/02. For an analysis of this text (and related ones) see Ch. 3 of Centrone 2010a.
- 101.
Frege 1976, 62.
- 102.
EL I, 245–246.
- 103.
“Diese im ersten Moment verblüffende Argumentation ist eine sophistische. Bilden wir die Klasse K, deren Elemente selbst Klassen sind, und zwar diejenigen, die = 1 sind; dann enthält K selbstredend die Klasse 1 als Element, da 1 = 1. Enthält dieses K aber auch die Klasse 0 als Element? Ganz und gar nicht. Allerdings enthält es, wie jede andere Klasse, die 0, aber als subordinierte Klasse und nicht als Element” (RevS 36).
- 104.
In his Review of Husserl’s Philosophy of Aritmetic (Frege 1894), Frege criticizes Husserl i.a. for not having distinguished between subsumption and subordination. Husserl seems to benefit from this criticism in his LV’96, 163 ff. (Hereto cp. Centrone 2010b, 332–334). The fact that the distinction is, in some way, already present in RevS suggests however that Husserl had come to it independently from Frege’s remarks.
- 105.
Frege 1895, 456–457.
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Centrone, S., Minari, P. (2017). Husserl and Schröder. In: Centrone, S. (eds) Essays on Husserl's Logic and Philosophy of Mathematics. Synthese Library, vol 384. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-024-1132-4_6
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