Vektorräume

Zusammenfassung

Der Vektorraum ist einer der zentralen Begriffe der Linearen Algebra. Da wir viele Anwendungen, insbesondere aus der Diskreten Mathematik, im Auge haben, betrachten wir nicht nur reelle Vektorräume, sondern solche über beliebigen Körpern. Dies erfordert, daß wir näher auf algebraische Grundstrukturen eingehen. Wir beginnen mit dem Gruppenbegriff. In erster Linie führen wir dabei eine Sprache ein, die später prägnante Formulierungen erlaubt. Es folgt der Ring- und Körperbegriff. Als Anwendung des Rings der ganz rationalen Zahlen modulo n besprechen wir das RSA-Verfahren aus der Kryptographie, das eine Datenübertragung gegen unerlaubten Zugriff seitens Dritter sichert. Den reellen Zahlkörper setzen wir im folgenden stets als bekannt voraus. Seine feineren Eigenschaften, die in der Analysis behandelt werden, spielen zunächst keine Rolle. Eingehend behandeln wir jedoch den komplexen Zahlkörper und beweisen einfachste Eigenschaften von endlichen Körpern.