Die Fundamentalsätze der komplexen Analysis

Zusammenfassung

Holomorphe Funktionen unterscheiden sich grundlegend von reell differenzierbaren Funktionen:sie sind beliebig oft (reell und komplex) differenzierbar (II.3, 7), sogar in Potenzreihen entwickelbar (II.4), ihr gesamtes Verhalten wird bereits durch ihre Werte auf beliebig kleinen offenen Mengen festgelegt (II.4, 7), und sie genügen starken Konvergenzsätzen und Abschätzungen (II.5). Alle diese fundamentalen Eigenschaften ergeben sich aus dem Cauchyschen Integralsatz und den zugehörigen Integralformeln (II.1–3). – Meromorphe Funktionen erweitern die Klasse holomorpher Funktionen (II.6); ihr Studium führt auf isolierte Singularitäten und zu Verallgemeinerungen der Potenzreihen durch Einbeziehung negativer Potenzen (Laurentreihen). – Im Falle mehrerer komplexer Veränderlicher schließlich tritt zu den bereits aus der Theorie einer Veränderlichen bekannten Phänomenen eine fundamental neue Erscheinung hinzu: die gleichzeitige holomorphe Fortsetzung aus einem Gebiet in ein größeres Gebiet hinein (II.7). Auch hier ist die Cauchysche Integralformel (in einer Variablen!) das entscheidende Werkzeug.