Zusammenfassung
Ziel dieses Kapitels ist es, Grundzüge einer speziellen Art der Schätzung der Nettorisikoprämie vorzustellen, die unter dem Namen Credibility-Theorie Eingang in die Versicherungsmathematik gefunden hat. Bevor wir diese Theorie vom mathematischen Standpunkt aus betrachten, wollen wir an einem Beispiel aus der Kraftfahrtversicherung die grundlegende Fragestellung der Credibility-Theorie erläutern.
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Notes
- 1.
Im Allgemeinen ist nach Berechnung der gemischten Indizes noch eine Renormierung notwendig.
- 2.
Vgl. Definition 2.2.5.
- 3.
Korollar B.1.18.
- 4.
Während Werte für \(\alpha \) und \(\varepsilon _0\) vorgegeben werden, lassen sich Schätzer für \(\sigma \) und \(\mu \) aus den Messwerten ermitteln.
- 5.
Genauer wird hier das Volumenmaß, die Jahreseinheiten, betrachtet. Für die grundsätzliche Überlegungen reicht aber die Vorstellung, dass es sich um die Anzahl versicherter Pkw handelt.
- 6.
Dem Bonus-Malus-System in der Kraftfahrzeugversicherung liegt ebenfalls dieser Gedanke zu Grunde: Ein günstiger Schadenverlauf in der Vergangenheit führt für ein Risiko zu einer günstigeren Prognose des zukünftigen Schadenverlaufs und in der Folge zu einer reduzierten Prämie. Umgekehrt führt ein ungünstiger Schadenverlauf zu einer ungünstigeren Prognose mit der Konsequenz einer erhöhten Prämie.
- 7.
Siehe z. B. Mack (2002), 2.5.2, oder auch andere Bücher
- 8.
Die \(\chi ^2\)-Abweichung wird wie die Größe beim \(\chi ^2\)-Test ermittelt. So ergibt sich z. B. für die zweite Zeile der Tabelle: \((2651 - 2943)^2 / 2943 = 85264 / 2943 \approx 29{,}0\).
- 9.
Mack verwendet in seinem Buch nicht den ML-Schätzer, sondern ein anderes Verfahren zur Schätzung des Parameters \(\theta \) und erzielt damit etwas bessere Anpassungswerte. Die Grundaussage bleibt aber auch bei dieser Anpassung erhalten.
- 10.
Vgl. Georgii (2015, S. 64 f.), Satz 3.8
- 11.
Bauer (1992, S. 157), Satz 23.6.
- 12.
Georgii (2015, S. 46), Definition der negativen Binomialverteilung; S. 122, Beispiel 4.35 mit Erwartungswert und Varianz.
- 13.
Lexikon der Statistik (2004), Stichwort: Bayes-Schätzer, S. 14.
- 14.
Auf \(\mathbb R \times \mathbb N\) betrachten wir die Produkt-\(\sigma \)-Algebra \(\mathcal{B} \otimes \mathcal{P} (\Omega )\). Siehe z. B. Georgii (2015, S. 12 f.)
- 15.
Vgl. Behnen und Neuhaus (2003, S. 246), Bemerkung 21.1.
- 16.
Vgl. Behnen und Neuhaus (2003, S. 262), Bemerkung 22.12.
- 17.
Bauer (1992, S. 157), Satz 23.6.
- 18.
Vgl. Pestman (1998, S. 98), Definition II.8.1.
- 19.
Pestman (1998, S. 99), Proposition II.8.1. Die Proposition ist sowohl für stetige als auch für diskrete Dichten formuliert.
- 20.
Vgl. Pestman (1998, S. 99).
- 21.
Vgl. z. B. Bühlmann und Gisler (2005)
- 22.
Vgl. Georgii (2015, S. 47).
- 23.
Siehe z. B. Mack (2002, S. 200 f.).
- 24.
Vgl. Mack (2002, S. 200.)
- 25.
Vgl. Mack (2002, S. 200).
- 26.
Bühlmann und Gisler (2005, S. 22).
- 27.
Bühlmann und Gisler (2005, S. 10), Definition 1.3.
- 28.
Bühlmann und Gisler (2005), S. 56 f.
- 29.
Bühlmann und Gisler (2005, S. 64).
- 30.
Bühlmann und Gisler (2005), Kapitel 4.
- 31.
Rautmann 1998
- 32.
Bühlmann und Gisler (2005), Kapitel 5.
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Bruchlos, K., Kockmann, J. (2022). Credibility. In: Schadenversicherung: Kalkulation der Nettorisikoprämie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-65852-9_12
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-65852-9
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