Hamilton’sches Prinzip

Zusammenfassung

Wir stellen uns in diesem Kapitel die Frage, ob sich allgemeine physikalische Problemstellungen durch die Bestimmung eines stationären Punktes eines geeigneten Funktionals beschreiben lassen. Die Bejahung dieser Frage ist die Essenz des Hamilton’schen Prinzips, auf dessen Grundlage der sogenannte Lagrange-Formalismus beruht. Im Rahmen des Hamilton’schen Prinzips wird jedem physikalischen System eine sogenannte Lagrange-Funktion zugeordnet und, mithilfe der Lagrange-Funktion, eine als Wirkung bekannte Größe. Das Hamilton’sche Prinzip besagt, dass das zeitliche Verhalten des jeweils betrachteten physikalischen Systems durch einen stationären Punkt der Wirkung gegeben ist. Die dazugehörige Euler-Lagrange-Gleichung ergibt die Bewegungsgleichung des physikalischen Systems. Im Lagrange-Formalismus lassen sich in eleganter Weise Zwangsbedingungen erfassen. Auch ist es im Lagrange-Formalismus ein Leichtes, eine Bewegungsgleichung herzuleiten, wenn ein Wechsel der verwendeten Koordinaten vorgenommen wird.

Aufgaben

2.1

• (a) Es sei die Funktion

  $$\begin{aligned} f(x, y, z) = a x + b y + c z + d \end{aligned}$$

  der drei Komponenten x, y und z des Ortsvektors $\vec {x}$ in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben. Bilden Sie $\vec {\nabla }f$ und drücken Sie f dadurch aus.

• (b) Für die Funktion f aus (a) wird durch die Zwangsbedingung

  $$\begin{aligned} f(\vec {x}) = 0 \end{aligned}$$

  eine zweidimensionale Ebene im dreidimensionalen Raum definiert. Verwenden Sie Ihr Ergebnis aus (a), um zu zeigen, dass $\vec {\nabla }f$ an jedem Punkt der durch die Zwangsbedingung definierten Ebene senkrecht zu dieser Ebene ist.

• (c) Sei f(x, y, z) irgendeine Funktion (mit den in der Physik üblichen Differenzierbarkeitsannahmen). Zeigen Sie, dass sich die Zwangsbedingung $f = 0$ in der unmittelbaren Umgebung eines Punktes, der auf der entsprechenden Fläche liege, auf die in (a) und (b) untersuchte Situation zurückführen lässt.

• (d) Zeigen Sie, dass eine Zwangskraft, die mit der Zwangsbedingung $f = 0$ für ein beliebiges f(x, y, z) einhergeht, an einem Teilchen keine Arbeit verrichtet.

2.2

Es sei die Fläche

$$\begin{aligned} f(x, y, z)= & {} x^2 + y^2 + z \\= & {} 0 \end{aligned}$$

im dreidimensionalen Raum gegeben.

• (a) Wählen Sie geeignete generalisierte Koordinaten und verwenden Sie eine dieser Koordinaten, um Wege auf dieser Fläche zu parametrisieren. Geben Sie damit sowohl die infinitesimale Bogenlänge $\text {d}s$ auf der Fläche an als auch einen Ausdruck für die Gesamtlänge eines Weges auf der Fläche, zwischen zwei Punkten auf der Fläche.

• (b) Zeigen Sie, dass die Geodäte für zwei Punkte auf der Fläche durch ein erstes Integral bestimmt ist. Geben Sie das erste Integral an und zeigen Sie, dass es sich in eine separable Differenzialgleichung überführen lässt.

2.3

Es sei $f({\boldsymbol{q}}, t)$ eine Funktion der N generalisierten Koordinaten eines physikalischen Systems. Diese Funktion darf explizit von der Zeit abhängen, soll aber von $\dot{\boldsymbol{q}}$ unabhängig sein.

• (a) Zeigen Sie, dass die N Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen für die betrachteten Freiheitsgrade invariant sind unter der Transformation

  $$\begin{aligned} L \rightarrow L^{\prime } = L + \frac{\text {d}}{\text {d}t} f({\boldsymbol{q}}, t). \end{aligned}$$

  Anders ausgedrückt: Egal, ob Sie die ursprüngliche Lagrange-Funktion L oder die neue Lagrange-Funktion $L^{\prime }$ verwenden, erhalten Sie die gleichen physikalischen Bewegungsgleichungen.

• (b) Zeigen Sie, wie die in (a) genannte Transformation aus dem Hamilton’schen Prinzip folgt.