Instabile Kerne, Radioaktivität

Zusammenfassung

Da zu jeder Kernladungszahl im Allgemeinen mehrere Isotope vorkommen, gibt es insgesamt mehr als tausend verschiedene Kerne. Dabei unterscheiden wir stabile Kerne, die sich nicht von selbst in andere Kerne umwandeln, und instabile Kerne, die nach einer endlichen Lebensdauer durch Aussendung von alpha-Teilchen, Elektronen oder Positronen oder auch durch Spaltung in andere Kerne übergehen. Beispiele für instabile Kerne sind die natürlich vorkommenden radioaktiven Elemente Radium, Uran sowie die künstlich erzeugten Transurane und viele weitere instabile Isotope. Abbildung 3.1 zeigt einen Ausschnitt aus der Karlsruher Nuklidkarte, in der alle stabilen und instabilen Kerne mit ihren Halbwertszeiten, hauptsächlichen Zerfallsarten und den Energien der ausgesandten Partikel eingetragen sind [3.1].

Wir wollen jetzt Kriterien für die Stabilität eines Kernes behandeln, d. h. nach Gesetzmäßigkeiten suchen, die angeben, wann ein Kern instabil ist und wie er dann zerfällt.

Appendices

Zusammenfassung

• Kerne können zerfallen, wenn die Masse des Mutterkerns größer ist als die Summe der Massen der Zerfallsprodukte

  $$M\left(\mathrm{{}_{Z}^{A}X}\right)\geq M_{1}\left(\mathrm{{}_{Z^{\prime}}^{A^{\prime}}Y}\right)+M_{2}$$

  und wenn der Zerfall nicht durch eine Potential-Barriere oder durch Symmetrieregeln verhindert wird.

• Die möglichen Zerfallsarten sind $\upalpha$-, $\upbeta^{-}$- bzw. $\upbeta^{+}$-Emission, K-Einfang oder Kernspaltung.

• Stabile Kerne haben bei vorgegebener Nukleonenzahl A einen relativ engen Bereich für das Verhältnis N ∕ Z von Neutronen- zu Protonenzahl. Wird N zu groß, entsteht ein gegen $\upbeta^{-}$-Strahlung instabiler Kern, wird N zu klein, wird $\upbeta^{+}$-Emission beobachtet.

• Kerne mit geradem N und Z (g-g-Kerne) sind besonders stabil, dagegen gibt es nur vier stabile u-u-Kerne, nämlich solche mit Z ≤ 7. Alle u-u-Kerne mit Z > 7 sind instabil.

• Die Zahl der instabilen Kerne eines Elementes nimmt zeitlich exponentiell ab nach dem Gesetz $N(t)=N(0)\cdot\mathrm{e}^{-\lambda t}$. Nach der mittleren Lebensdauer τ = 1 ∕ λ ist nur noch 1 ∕ e der zur Zeit t = 0 vorhandenen Kerne übrig.

• Die Aktivität $A(t)=\lambda\cdot N(t)$ einer radioaktiven Substanz ist nach der Halbwertszeit $t_{1/2}=\tau\cdot\ln 2=\ln 2/\lambda$ auf die Hälfte abgeklungen. Die Aktivität wird in der Einheit Becquerel $(1\,\mathrm{Becquerel}=1\,\mathrm{Zerfall/s})$ angegeben. Die Zerfallskonstanten λ und somit die Halbwertszeiten $t_{1/2}$ variieren für die verschiedenen instabilen Kerne über viele Größenordnungen.

• Die natürlichen radioaktiven Elemente lassen sich in vier Zerfallsreihen anordnen, wobei ein Mutterelement, das der Reihe den Namen gibt, sukzessive durch $\upalpha$- oder $\upbeta$-Zerfall in andere Elemente zerfällt. Das Endelement ist bei allen Reihen ein stabiles Blei-Isotop.

• Natürliche $\upalpha$-Strahler kommen nur bei schweren Elementen mit A > 205 vor. Beim $\upalpha$-Zerfall bildet sich im Kern aus zwei Protonen und zwei Neutronen ein $\upalpha$-Teilchen, das wegen seiner großen Bindungsenergie eine erhöhte kinetische Energie hat und trotz Coulomb-Barriere durch Tunneleffekt den Kern verlassen kann.Da die Tunnelwahrscheinlichkeit mit steigender Energie des $\upalpha$-Teilchens stark zunimmt, senden kurzlebige $\upalpha$-Strahler $\upalpha$-Teilchen mit größerer Energie aus als langlebige. Weil die Energiezustände im Kern diskrete Werte annehmen, sind die Energiespektren der $\upalpha$-Strahlung diskret.

• Beim $\upbeta$-Zerfall beobachtet man eine kontinuierliche Energieverteilung der Elektronen. Energie-Impuls- und Drehimpulserhaltung fordern einen Drei-Körper-Zerfall:

  $$\begin{aligned}\displaystyle\mathrm{{}_{Z}^{A}X}&\displaystyle\overset{\upbeta^{-}}{\rightarrow}\mathrm{{}_{Z+1}^{A}Y}+\mathrm{e}+\bar{\upnu}\;,\\ \displaystyle\mathrm{{}_{Z^{\prime}}^{A^{\prime}}X^{\prime}}&\displaystyle\overset{\upbeta^{+}}{\rightarrow}\mathrm{{}_{Z^{\prime}-1}^{A^{\prime}}Y^{\prime}}+\mathrm{e}^{+}+\upnu\end{aligned}$$

  und damit die Existenz eines bis dahin nicht beobachteten Teilchens, des Neutrinos. Die Neutrinos sind Leptonen. Sie haben eine Ruhemasse $m_{\upnu}<4\cdot 10^{-6}\,m_{\text{e}}=2\,{\mathrm{e\kern-0.5ptV}}/c^{2}$ und nur eine sehr schwache Wechselwirkung mit anderen Teilchen 8.

• Gammastrahlung ist sehr kurzwellige elektromagnetische Strahlung mit Photonenenergien im Bereich $h\cdot\nu=10\,\mathrm{k\mathrm{e\kern-0.5ptV}}$–$10\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}}$. Sie entsteht bei Übergängen von energetisch angeregten Kernzuständen (Rotations- oder Schwingungsanregung) in tiefere Zustände.

• Die Multipolmoden der Ordnung 2^L der ausgesandten Strahlung hängen ab von der Drehimpulsänderung $\Updelta I=L$ und von der Parität der Wellenfunktionen in den beteiligten Kernzuständen.

Übungsaufgaben

3.1

• 1. Zur Zeit t = 0 seien $N_{\text{A}_{0}}$ radioaktive Kerne A vorhanden, die mit einer Halbwertszeit $T_{1/2}={10}\,\mathrm{d}$ in Kerne B zerfallen, deren Halbwertszeit 5 d beträgt. Wie groß sind $N_{\mathrm{A}}(t)$ und $N_{\mathrm{B}}(t)$ nach einem Tag, nach zehn Tagen und nach 100 Tagen, wenn $N_{\mathrm{B}}(0)=0$ ist?

• 2. Wie lange dauert es, bis von 1 kg Tritium $\mathrm{{}_{1}^{3}H}$ nur noch 1 g übrig ist?

3.2

• 1. Wie groß ist die Zerfallskonstante λ und die Halbwertszeit $t_{1/2}$ eines radioaktiven $\upalpha$-Strahlers, wenn die Energie des $\upalpha$-Teilchens im Kern +E ₁ ist, der Coulomb-Wall durch ein Rechteckpotential der Höhe E ₀ und der Breite a und das Kernpotential durch ein Kastenpotential der Tiefe −E ₂ und der Breite b angenähert werden? Zahlenwerte: $E_{1}=6\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}},{E_{2}}=+15\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}},E_{0}=+11\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}}$, $a=4\cdot 10^{-14}\,\mathrm{m},b=6{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm{m}$.

• 2. Welche Zerfallskonstante λ ergibt sich, wenn für r < b das anziehende Kastenpotential, für r ≥ b ein abstoßendes Coulomb-Potential mit $Z_{1}=90,Z_{2}=2$ eingesetzt wird?

3.3

Man berechne die Wahrscheinlichkeit T dafür, dass ein $\upalpha$-Teilchen mit $E_{\text{kin}}=8{,}78\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}}$ beim zentralen Stoß mit einem $\mathrm{{}_{82}^{208}Pb}$-Kern die Coulomb-Barriere überwindet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich im dabei entstehenden $\mathrm{{}_{84}^{212}Po}$-Kern ein $\upalpha$-Teilchen bildet, wenn die Potentialtopftiefe $-E_{0}=35\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}}$ und die Halbwertszeit des $\mathrm{{}_{84}^{212}Po}$-Kerns der $\upalpha$-Teilchen der Energie $E_{1}=8{,}8\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}}$ aussendet, $t_{1/2}=3\cdot 10^{-7}\,\mathrm{s}$ ist?

3.4

Der Kern $\mathrm{{}_{30}^{62}Zn}$ kann sowohl durch $\mathrm{e}^{+}$-Emission als auch durch Elektroneneinfang zerfallen. Man berechne die maximale Neutrinoenergie für beide Zerfälle, wenn die maximale Positronenenergie $0{,}66\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}}$ ist. Wie unterscheidet sich das Ergebnis, wenn man Rückstoß- und K-Elektronen-Bindungsenergie vernachlässigt bzw. berücksichtigt?

3.5

Die Massendifferenz zwischen Mutterkern $\mathrm{{}_{Z}^{A}K_{1}}$ und Tochterkern $\mathrm{{}_{Z+1}^{A}K_{2}}$ sei $3\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}}/c^{2}$. Wie groß ist beim $\upbeta^{-}$-Zerfall die maximale Energie des Elektrons mit und ohne Berücksichtigung der Rückstoßenergie des Tochterkerns der Masse M ₂? (Beispiel: $M_{2}=70\,\mathrm{AME}$) Wie groß ist die maximale Energie des Neutrinos?

3.6

Die Bindungsenergie eines Elektrons in der K-Schale sei 50 keV. Um welchen Betrag ändern sich die Kernmasse und die Atommasse mindestens beim K-Einfang $M_{1}+\mathrm{e}\rightarrow M_{2}+\upnu_{\mathrm{e}}+\,(h\cdot\nu)_{K}$?

3.7

Ein angeregter Kern der Masse M überträgt seine Anregungsenergie auf ein Elektron der K-Schale, das emittiert wird und in einem Magnetfeld B eine Kreisbahn mit Radius R beschreibt. Wie groß ist die Rückstoßenergie des Kerns, und wie groß war die Anregungsenergie des Kerns?Zahlenbeispiel: $R=10\,\mathrm{cm}$, $B=0{,}05\,\mathrm{T}$, $M(\mathrm{{}_{55}^{137}Cs})=137\,\mathrm{AME}$.

3.8

Tritium $\mathrm{{}_{1}^{3}H}$ ist mit $E_{\text{B}}=-8{,}4819\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}}$ stärker gebunden als $\mathrm{{}_{2}^{3}He}$ mit $E_{\text{B}}=-7{,}7180\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}}$.Wieso kann es trotzdem durch $\upbeta$-Zerfall in $\mathrm{{}_{2}^{3}He}$ übergehen? Man bestimme die $\upbeta$-Grenzenergie E ₀ und die maximale Rückstoßenergie von $\mathrm{{}_{2}^{3}He}$ für den Fall der Neutrinoruhemasse $m_{\upnu}=0$.

3.9

Der Kern $\mathrm{{}_{5}^{12}B}$ geht durch $\upbeta^{-}$-Zerfall in $\mathrm{{}_{6}^{12}C}$ über. Der Kern $\mathrm{{}_{7}^{12}N}$ geht durch $\upbeta^{+}$-Zerfall ebenfalls in $\mathrm{{}_{6}^{12}C}$ über. Beide Zerfälle erfolgen mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zum Grundzustand von $\mathrm{{}_{6}^{12}C}$ mit maximalen $\upbeta$-Energien $E_{0}(\upbeta^{-})=13{,}3695\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}},E_{0}(\upbeta^{+})=16{,}3161\,\mathrm{M\mathrm{e\kern-0.5ptV}}$.Wie sind die Energielagen der Grundzustände von $\mathrm{{}_{5}^{12}B}$ und $\mathrm{{}_{7}^{12}N}$ relativ zum Grundzustand von $\mathrm{{}_{6}^{12}C}$? Zeichnen Sie eine maßstäbliche Skizze.

3.10

Zur Zeit t = 0 werden 10 g des Isotops ${}^{226}\mathrm{Ra}$ (Dichte $\varrho=5{,}5\,\mathrm{g/cm^{3}}$) in ein Glasröhrchen mit einem Volumen von $5\,\mathrm{cm^{3}}$ eingefüllt. Das Glasröhrchen wird anschließend verkorkt und bei $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aufbewahrt. $\mathrm{{}^{226}Ra}$ ($T_{1/2}=1600\,\mathrm{a}$) zerfällt in das radioaktive Gas $\mathrm{{}^{222}Rn}$, welches mit einer Halbwertszeit von $T_{1/2}=3{,}825\,\mathrm{d}$ weiterzerfällt, bis letzten Endes zu $\mathrm{{}^{206}Pb}$.

• 1. Berechnen Sie die Anzahl der $\mathrm{{}^{222}Rn}$-Kerne als Funktion der Zeit. Am Anfang seien keine Rn-Kerne vorhanden.

• 2. Wann ist der Partialdruck des $\mathrm{{}^{222}Rn}$ maximal? Welchen Wert hat er dann? Um wie viel Prozent etwa steigt der Druck im Röhrchen an?