Logik

Zusammenfassung

Mathematische Definitionen, Sätze und Beweise werden in der Sprache der Logik formuliert. Dies kann in einer formalen, symbolischen Notation geschehen oder aber auf informelle und dennoch präzise Weise. Obwohl logische Schlussweisen schon seit vielen Jahrhunderten eine zentrale Rolle in der Mathematik spielen (etwa in der griechischen vorchristlichen Zeit oder zum Beispiel bei Blaise Pascal oder Gottfried Wilhelm Leibniz), hat sich die mathematische Logik als selbstständiger Zweig erst im ausgehenden 19. Jahrhundert etabliert. Die bekanntesten Namen dieser Zeit sind George Boole, Friedrich Ludwig Frege, Bertrand Arthur Russell, David Hilbert und Georg Cantor. Ihnen und anderen ist es zu verdanken, dass die Mathematik auf ein solides Fundament gestellt wurde, das bis heute trägt.

Im vergangenen Jahrhundert haben sich viele Teilgebiete der mathematischen Logik herausgebildet. Wir gehen in diesem Buch in Abschn. 1.1 auf die Aussagenlogik und in Abschn. 1.2 auf die Prädikatenlogik ein. Neben ihrer Rolle als Sprache für die Mathematik besitzt die Logik aber auch eine eigenständige Bedeutung, insbesondere für die Informatik. Als Belege hierfür werden wir das Erfüllbarkeitsproblem und die Schaltalgebra sowie in Abschn. 1.3 die Programmspezifikation und die logische Programmierung kennenlernen. Natürlich können wir in diesem Kapitel keine umfassende Darstellung der mathematischen Logik geben, sondern müssen für detaillierte Informationen auf die Literatur verweisen. Eine sehr gute Einführung ist das Buch von Heinz-Dieter Ebbinghaus und anderen [25].