Der Kotangens und der Herglotz-Trick

Zusammenfassung

Was ist die interessanteste Formel in der elementaren Funktionentheorie? In seinem wunderbaren Artikel [2], dessen Darstellung wir folgen, schlägt Jürgen Elstrodt als einen ersten Kandidaten die Partialbruchentwicklung des Kotangens vor:

$$\pi \cot \pi x = \frac{1}{x} + \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{x+n} + \frac{1}{x-n}\right) \quad (x \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Z})$$

Diese elegante Formel wurde von Euler in §178 seiner Introductio in Analysin Infinitorum bewiesen, und sie zählt ohne Zweifel zu den schönsten seiner vielen Entdeckungen.