Ein Lemma von Littlewood und Offord

Abstract

In einem Aufsatz über die Verteilung der Nullstellen von algebraischen Gleichungen bewiesen Littlewood und Offord 1943 das folgende Resultat:

Seien a ₁, a ₂, …, an komplexe Zahlen mit |a _i| ≥ 1 für alle i. Aus diesen kann man 2ⁿ mögliche Linearkombinationen

$$\sum\limits_{i=1}^n \varepsilon_i a_i$$

mit ε_i ∈ {1, −1} bilden. Die Anzahl der Summen $\sum_{i=1}^n \varepsilon_i a_i$, deren Werte im Inneren irgendeines festen Kreises vom Radius 1 liegen, ist dann nicht größer als

$$c \frac{2^n}{\sqrt{n}} \log n,$$

für eine Konstante c > 0.