Das Bertrandsche Postulat

Zusammenfassung

Wir haben gesehen, dass die Primzahlen 2, 3, 5, 7, . . . eine unendliche Folge bilden. Daraus kann man auch folgern, dass es beliebig große Lücken zwischen den Primzahlen geben muss. Schreibt man nämlich N := 2 · 3 · 5 · · · p für das Produkt aller Primzahlen, die kleiner sind als k + 2, dann kann keine der k Zahlen

N + 2,N + 3,N + 4, . . .,N + k,N + (k + 1)

prim sein, denn für 2 ≤ i ≤ k +1 hat i einen Primfaktor, der kleiner ist als k + 2, und dieser Faktor teilt auch N, und damit auch N + i. Mit diesem Rezept finden wir zum Beispiel für k = 10, dass keine der zehn Zahlen

2312, 2313, 2314, . . ., 2321

prim ist.