Die einfachsten analytischen Funktionen

Zusammenfassung

Sind a, b, c, d vier (komplexe) Zahlen von nicht verschwindender Determinante ad — bc, so heißt

$$\xi = \frac{{az + b}}{{cz + d}}$$

(1)

eine lineare Funktion. Da Zähler und Nenner bei (1) für jedes (endliche) z regulär sind, so ist ζ für alle diejenigen z regulär, welche den Nenner cz+d nicht zu 0 machen. Die Funktion cz+d verschwindet nun im Falle c ≠ 0 überhaupt nicht, im Falle c = 0 nur für $z = - \frac{d}{c}$ Die lineare Funktion ζ ist daher in allen Punkten der z-Ebene regulär mit höchstens einer Ausnahme.