Zusammenfassung
Dieses Kapitel fasst aus fachwissenschaftlicher Sicht die wichtigsten ökonomischen und mathematischen Inhalte zum Thema Optionen zusammen, die Gegenstand der im Teil III vorgestellten Unterrichtseinheiten sind. Im ökonomischen Teil wird dabei insbesondere auf Grundbegriffe, Optionsarten und so genannte Pay-Off-Diagramme eingegangen. Der mathematische Teil beschäftigt sich mit Modellen zur Bestimmung von Optionspreisen. Wir setzen beim Leser fundierte ökonomische und mathematische Kenntnisse zu Aktien (Rendite, Kenngrößen und Modellierung künftiger Aktienkurse im Random-Walk-Modell) voraus, wie sie beispielsweise in Daume (2016) ausführlich erläutert werden. Die Ausführungen der ökonomischen Inhalte beziehen sich auf Beike und Schlütz (2010) sowie Luderer (2013), die Ausführungen der mathematischen Inhalte auf Adelmeyer (2000), Adelmeyer und Warmuth (2005), Baxter und Rennie (1996), Hull (1998), Korn und Korn (2001), Korn (2014) und Uszczapowski (1999).
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Notes
- 1.
Als einfache Rendite wird der prozentuale Gewinn oder Verlust eines Anlagegeschäfts bezeichnet. Die einfache Rendite einer Aktie Ea b im Zeitraum [t a ; t b ] wird aus den Kursen S a am Anfang und S b am Ende des Zeitraumes gemäß der folgenden Formel berechnet: \(E_{a}^{b} = \frac{S_{b}-S_{a}} {S_{a}}.\) Neben der einfachen Rendite gibt es die logarithmische Rendite, die von Finanzmathematikern aus verschiedenen Gründen bevorzugt wird. Die logarithmische Rendite einer Aktie L a b im Zeitraum [t a ; t b ] berechnet sich aus aus den Kursen S a und S b wie folgt: \(L_{a}^{b} =\ln \left ( \frac{S_{b}} {S_{a}}\right )\!.\)
- 2.
- 3.
Der interessierte Leser sei für weiterführende Erläuterungen auf Daume (2016), S. 65–75 verwiesen.
- 4.
Es seien L 0 1, L 1 2, …, L n−1 n die letzten n logarithmischen Renditen einer Aktie bezogen auf den gleichen Zeitraum (z. B. die letzten n Monatsrenditen). Die empirische Standardabweichung
$$\displaystyle{\sigma = \sqrt{\frac{(L_{0 }^{1 } - \overline{L } )^{2 } + (L_{1 }^{2 } - \overline{L } )^{2 } +\ldots +(L_{n-1 }^{n } - \overline{L } )^{2 } } {n}} }$$heißt Volatilität der Aktie für diesen Zeitraum.
- 5.
Die Herleitung für einen ökonomisch verträglichen Preis wird auf Seite 2.7.1 erläutert.
- 6.
Der Aktienleerverkauf war über viele Jahre zumindest für Großinvestoren eine übliche Handels-strategie. Mittlerweile sind Aktienleerverkäufe nach §30h Abschn. 2.1 WpHG (Gesetz über den Wertpapierhandel mit den Begründungen des Gesetzgebers in der Fassung der Bekanntmachung vom 9. September 1998, zuletzt geändert durch Artikel 1 des Gesetzes vom 14. Juni 2010) in Deutschland verboten. Die wenigen Ausnahmen sind in §30h Abschn. 2.2 WpHG geregelt.
- 7.
Aus diesem Vorgehen wird deutlich, dass Leerverkäufer auf sinkende Aktienkurse spekulieren: Sie leihen sich Aktien und verkaufen diese zu einem hohen Kurs. Sind die Aktienkurse zum Zeitpunkt der Rückgabe niedriger als zum Zeitpunkt der Ausleihe, führt dies zu Gewinnen.
- 8.
Für eine kurze Darstellung des Modells verweisen wir den Leser auf den Anhang 10. Eine ausführliche Erläuterung des Random-Walk-Modells ist z. B. Daume (2016) zu entnehmen.
- 9.
Tatsächlich betrug der Jahreszinssatz am 20.04.2016 − 0, 011 % p.a., also nahezu 0 %.
- 10.
Besonders schnell lassen sich die Werte der Standardnormalverteilung mit dem Programm von Arndt Brünner bestimmen (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm mit Stand vom 01.06.2016).
Literatur
Adelmeyer, M.: Call & Put. orell füssli (2000)
Adelmeyer, M., Warmuth, E.: Finanzmathematik für Einsteiger: Von Anleihen über Aktien zu Optionen. Vieweg + Teubener, Wiesbaden (2005)
Baxter, M., Rennie, A.: Financial Calculus: An Introduction to Derivative Pricing. Cambridge University Press, Cambridge/New York (1996)
Beike, R., Schlütz, J.: Finanznachrichten lesen, verstehen, nutzen, 5. Auflage. Schäffer-Poeschel, Stuttgart (2010)
Daume, P.: Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1: Aktien, Steuern und Zinsen. Springer Spektrum, Wiesbaden (2016)
Hull, John, C.: Options, Futures, und Other Derivative Securities. Prentice-Hall, New Jersey (1998)
Korn, E., Korn, R.: Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung: Moderne Methoden der Finanzmathematik. Vieweg + Teubener, Braunschweig/Wiesbaden (2001)
Korn, R.: Moderne Finanzmathematik – Theorie und praktische Anwendung, Band 1: Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung. Springer Spektrum, Wiesbaden (2014)
Luderer, B.: Mathe, Märkte und Millionen: Plaudereien über Finanzmathematik zum Mitdenken und Mitrechnen. Springer Spektrum, Wiesbaden (2013)
Uszczapowski, I.: Optionen und Futures verstehen. Deutscher Taschenbuch Verlag (1999)
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Daume, P., Dennhard, J. (2017). Optionen. In: Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht Band 2. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-14711-2_2
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Publisher Name: Springer Spektrum, Wiesbaden
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