Komplexe Integralrechnung

Zusammenfassung

Gauss schreibt am 18. Dezember 1811 an Bessel: „Was soll man sich nun bei ƒ φx.dx für x = a + bi denken? Offenbar, wenn man von klaren Begriffen ausgehen will, muss man annehmen, dass x durch unendlich kleine Incremente (jedes von der Form α+ i×) von demjenigen Werthe, für welchen das Integral 0 sein soll, bis zu x = a + bi übergeht und dann all φx-dx summirt. So ist der Sinn vollkommen festgesetzt. Nun aber kann der übergang auf unendlich viele Arten geschehen: so wie man sich das ganze Reich aller reellen Grössen durch eine unendliche gerade Linie denken kann, so kann man das ganze Reich aller Grössen, reeller und imaginärer Grössen sich durch eine unendliche Ebene sinnlich machen, worin jeder Punkt, durch Abscisse = a, Ordinate = b bestimmt, die Grösse a + bi gleichsam repräsentirt. Der stetige übergang von einem Werthe von x zu einem andern a + bi geschieht demnach durch eine Linie und ist mithin auf unendlich viele Arten möglich. Ich behaupte nun, dass das Integral ∫“φx-dx nach zweien verschiednen übergängen immer einerlei Werth erhalte, wenn innerhalb des zwischen beiden die übergänge repräsentirenden Linien eingeschlossenen Flächenraumes nirgends φx=∞ wird. Dies ist ein sehr schöner Lehrsatz, dessen eben nicht schweren Beweis ich bei einer schicklichen Gelegenheit geben werde. Er hängt mit schönen andern Wahrheiten, die Entwicklungen in Reihen betreffend, zusammen. Der übergang nach jedem Punkte lässt sich immer ausführen, ohne jemals eine solche Stelle wo φx=∞ wird zu berühren. Ich verlange aber, dass man solchen Punkten ausweichen soll, wo offenbar der ursprüngliche Grundbegriff von ∫φx-dx seine Klarheit verliert und leicht auf Widersprüche führt. übrigens ist zugleich hieraus klar, wie eine durch ∫φx-dx erzeugte Function für einerlei Werthe von ? mehrere Werthe haben kann, indem man nemlich beim übergange dahin um einen solchen Punkt wo φx=∞ entweder gar nicht, oder einmal, oder mehreremale herumgehen kann. Definirt man z.B. log x durch ∫1/xdx, von x = l anzufangen, so kommt man zu log x entweder ohne den Punkt x = 0 einzuschliessen oder durch ein- oder mehrmaliges Umgehen desselben; jedesmal kommt dann die Constante +2πi oder — 2πi hinzu: so sind die vielfachen Logarithmen von jeder Zahl ganz klar“ (Werke 8, 90-92).

Du kannst im Gro×en nichts verrichten Und fängst es nun im Kleinen an (J.W. von Goethe).

Calculus integralis est methodus, ex data differentialium relatione inveniendi relationem ipsarum quantitatum (L. Euler).