Unbeschränkte Operatoren im Hilbertraum

Zusammenfassung

Aus den Beispielen 15.2.6 und 15.3.4 wissen wir schon, dass Differentialoperatoren zwar einen dichten Definitionsbereich besitzen, aber nicht beschränkt sind. Im Fall des Sturm-Liouville-Operators L über einem Intervall [a, b] unter den Randbedingungen u(a) = u(b) = 0 umgingen wir diese Schwierigkeit, indem wir seine Inverse bestimmten. Diese ist kompakt und selbstadjungiert. So war es möglich, einen U¨ berblick über ihr Spektrum und damit über das Spektrum von L zu gewinnen. Entsprechendes gilt für Δ über einem beschränkten Gebiet D (Satz 14.15.11). Wieder ist das Spektrum von Differentialoperatoren Hauptgegenstand unseres Interesses, doch ist der Ansatz diesmal allgemeiner als in Kapitel 15. Wir lassen auch unbeschränkte Grundgebiete wie etwa ℝ oder ℝⁿ zu. Dabei werden neue Typen von Spektren vorkommen, etwa die positive reelle Halbachse bei -Δ oder die positive reelle Halbachse und eine Folge von Punkteigenwerten endlicher Vielfachheit bei den Schrödingeroperatoren -Δ+V mit Potential V wie sie in der Quantenmechanik auftreten.