Über die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe

Zusammenfassung

Wenn in der Gauss’sehen hypergeometrischen Reihe

$$F(l,m,n,x) = 1 + \frac{{l \cdot m}}{n}\frac{x}{1} + \frac{{l(l + 1)m(m + 1)}}{{n(n + 1)}}\frac{{{x^2}}}{{2!}} + \ldots $$

((1))

die Elemente l, m, n positive reelle Werte besitzen, so ist klar, dass die Reihe für jedes positive x einen positiven Wert annimmt, und dass es daher keinen zwischen 0 und 1 liegenden Wert von x geben kann, welcher die Gleichung

$$F(l,m,n,x) = 0$$

((2))

befriedigt. Sind dagegen die Elemente l, m, n nicht sämtlich positiv, so kann die Gleichung (2) möglicherweise für einen oder mehrere zwischen 0 und 1 liegende Werte von x erfüllt sein, und es entsteht die Aufgabe, genau die Anzahl der zwischen 0 und 1 liegenden Wurzeln der Gleichung (2) zu ermitteln.