Abstract
In this article we give an overview, from a philosophical point of view, of Lorenzen’s construction of the natural and the real numbers. Particular emphasis is placed on Lorenzen’s classification in the tradition of predicative approaches that stretches from Poincaré to Feferman.
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References
Becker, O. (1956/57). Review of Paul Lorenzen: Einführung in die operative Logik und Mathematik. Kant-Studien, 48, 447–454.
Bernays, P. (1979). Bemerkungen zu Lorenzens Stellungnahme in der Philosophie der Mathematik. In K. Lorenz (Ed.), Konstruktionen versus Positionen: Beiträge zur Diskussion um die Konstruktive Wissenschaftstheorie (Paul Lorenzen zum 60. Geburtstag), volume i: Spezielle Wissenschaftstheorie (pp. 3–16). Berlin: De Gruyter.
Curry, H. B. (1951). Outlines of a formalist philosophy of mathematics. Amsterdam: North-Holland.
Dingler, H. (1913). Die Grundlagen der Naturphilosophie. Leipzig: Verlag Unesma (Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1967).
Dingler, H. (1931). Philosophie der Logik und Arithmetik. Munich: Ernst Reinhardt.
Feferman, S. (1964). Systems of predicative analysis. Journal of Symbolic Logic, 29(1), 1–30.
Feferman, S. (1979). A more perspicuous formal system for predicativity. In K. Lorenz (Ed.), Konstruktionen versus Positionen: Beiträge zur Diskussion um die Konstruktive Wissenschaftstheorie (Paul Lorenzen zum 60. Geburtstag), volume i: Spezielle Wissenschaftstheorie (pp. 68–93). Berlin: De Gruyter.
Fontaine, M., & Redmond, J. (2008). Logique dialogique: Une introduction. Cahiers de Logique et d’Epistémologie (Vol. 5). Milton Keynes: College Publications.
Gethmann, C. F. (1991). Lebenswelt und Wissenschaft: Studien zum Verhältnis von Phänomenologie und Wissenschaftstheorie. Bonn: Bouvier.
Gethmann, C. F., & Siegwart, G. (1994). The constructivism of the ‘Erlanger Schule’: Background, goals and developments. Cogito, 8(3), 226–233.
Heinzmann, G., & Petitot, J. (2020). The functional role of structures in Bourbaki. In E. H. Reck & G. Schiemer (Eds.), The pre-history of mathematical structuralism (pp. 187–214). Oxford: Oxford University Press.
Hölder, O. (1924). Die mathematische Methode: Logisch-erkenntnistheoretische Untersuchungen im Gebiete der Mathematik, Mechanik und Physik. Berlin: Springer.
Inhetveen, R. (1983). Konstruktive Geometrie: Eine formentheoretische Begründung der euklidischen Geometrie. BI-Wissenschaftsverlag.
Janich, P. (1989). Euklids Erbe: Ist der Raum dreidimensional? München: Beck. (English translation by D. Zook: Euclid’s heritage: Is space three-dimensional? Dordrecht: Springer, 1992.)
Keiff, L. (2011). Dialogical logic. In E. N. Zalta (Ed.), The Stanford encyclopedia of philosophy (Summer 2011 edn.). Metaphysics Research Lab, Stanford University. https://plato.stanford.edu/archives/sum2011/entries/logic-dialogical/
Lorenzen, P. (1950). Konstruktive Begründung der Mathematik. Mathematische Zeitschrift, 53, 162–201.
Lorenzen, P. (1955a). Einführung in die operative Logik und Mathematik. Berlin: Springer. (Quoted according to the second edition 1969).
Lorenzen, P. (1955b). Über eine Erweiterung des finiten methodischen Rahmens. In Actes du 2\(^{\text{e}}\) congrès international de l’Union Internationale de Philosophie des Sciences, Zürich 1954 (Vol. ii, pp. 128–134). Neuchâtel.
Lorenzen, P. (1958). Logical reflection and formalism. Journal of Symbolic Logic, 23, 241–249.
Lorenzen, P. (1961). Das Begründungsproblem der Geometrie als Wissenschaft der räumlichen Ordnung. Philosophia Naturalis, 6, 415–431; reprinted in Lorenzen 1969, 120–141.
Lorenzen, P. (1965). Differential und Integral: Eine konstruktive Einführung in die klassische Analysis. Frankfurt a. M.: Akademische Verlagsgesellschaft.
Lorenzen, P. (1968). “Constructive mathematics as a philosophical problem. In D. van Dalen, J. G. Dijkman, S. C. Kleene, & A. S. Troelstra (Eds.), Logic and foundations of mathematics: Dedicated to Prof. A. Heyting on his 70th birthday (pp. 133–142). Wolters-Noordhoff, Groningen.
Lorenzen, P. (1969). Methodisches Denken. Frankfurt a. M.: Suhrkamp (\(^{\text{1 }}\)1968).
Lorenzen, P. (1978). Konstruktive Analysis und das Geometrische Kontinuum. Dialectica, 32, 221–227.
Lorenzen, P. (1987). Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie. Mannheim/Wien/Zürich: Wissenschaftsverlag.
Lorenzen, P. (1994). Konstruktivismus. Journal for General Philosophy of Science, 25, 125–133.
Lorenzen, P., & Kamlah, W. (1967). Logische Propädeutik: Eine Vorschule des vernünftigen Denkens. Mannheim: Bibliographisches Institut.
Lorenzen, P., & Lorenz, K. (1978). Dialogische Logik. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.
Mittelstraß, J. (2005–2017). Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie (2nd Ed., Vol. 8). Stuttgart/Weimar: J. B. Metzler.
Mittelstraß, J. (Ed.). (2008). Der Konstruktivismus in der Philosophie im Ausgang von Wilhelm Kamlah und Paul Lorenzen. Paderborn: Mentis.
Mittelstraß, J. (2016). Paul Lorenzen und die Erlanger Schule. In J. Mittelstraß (Ed.), Paul Lorenzen und die konstruktive Philosophie (pp. 11–25). Münster: Mentis.
Parsons, C. (2002). Realism and the debate on impredicativity, 1917–1944. In W. Sieg, R. Sommer, & C. Talcott (Eds.), Reflections on the foundations of mathematics: Essays in honor of Solomon Feferman (pp. 372–389). Association for Symbolic Logic.
Rahman, S., McConaughey, Z., Klev, A., & Clerbout, N. (2018). Immanent reasoning or Equality in action: A plaidoyer for the play level. Logic, argumentation and reasoning (Vol. 18). Cham: Springer.
Schlaudt, O. (2014). La réception de Hugo Dingler par l’École d’Erlangen. Philosophia Scientiæ, 18(2), 141–159.
Schroeder-Heister, P. (2008). Lorenzen’s operative justification of intuitionistic logic. In M. van Atten, P. Boldini, M. Bordeau, & G. Heinzmann (Eds.), One hundred years of intuitionism (1907–2007): The Cerisy conference (pp. 214–240). Basel: Birkhäuser.
Thiel, C. (2014). Phenomenology, ‘Grundwissenschaft’ and ‘Ideologiekritik’: Hermann Zeltner’s critique of the Erlangen School. In M. Rebuschi, M. Batt, G. Heinzmann, F. Lihoreau, M. Musiol, & A. Trognon (Eds.), Interdisciplinary works in logic, epistemology, psychology and linguistics: Dialogue, rationality, formalism (pp. 11–19). Springer.
Wang, H. (1954). The formalization of mathematics. Journal of Symbolic Logic, 19, 241–266.
Wang, H. (1959). Ordinal numbers and predicative set theory. Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 5, 216–239.
Wang, H. (1964). A survey of mathematical logic. Peking: Science Press/North-Holland.
Weyl, H. (1918). Das Kontinuum: Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis. Chelsea, no date (1918).
Weyl, H. (1921). Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik. Mathematische Zeitschrift, 10, 39–79.
Weyl, H. (1968). Nachtrag Juni, 1955 [concerning Weyl 1921]. In his Gesammelte Werke (Vol. II, pp. 179–180). Berlin: Springer.
Weyl, H. (1985). Axiomatic versus constructive procedures in mathematics. Mathematical Intelligencer, 7(10–17), 38.
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Heinzmann, G. (2021). Operation and Predicativity: Lorenzen’s Approach to Arithmetic. In: Heinzmann, G., Wolters, G. (eds) Paul Lorenzen -- Mathematician and Logician. Logic, Epistemology, and the Unity of Science, vol 51. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-65824-3_2
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