Zuordnungsprobleme

Zusammenfassung

Beim Zuordnungsproblem geht es um die paarweise Zuordnung von Elementen aus zwei unterschiedlichen Mengen. Damit handelt es sich um einen Spezialfall des klassischen Transportproblems (vgl. Kap. 5) mit $m=n$, $a_{i}=1$ und $b_{j}=1$. Das hier vorgestellte Verfahren zum Lösen von Zuordnungsproblemen, die Ungarische Methode, geht auf den Mathematiker H. W. Kuhn zurück (vgl. Kuhn 1955).

Aufgaben

Aufgabe A.1 (Ungarische Methode)

Finden Sie für das folgende Tableau eine Lösung mit minimalen Kosten.

$$\displaystyle\begin{tabular}[]{|c|c|c|c|c|}\hline{8}&{5}&{3}&{1}&{2}\\ \hline{1}&{4}&{6}&{7}&{9}\\ \hline{3}&{3}&{6}&{1}&{5}\\ \hline{4}&{5}&{7}&{9}&{8}\\ \hline{1}&{2}&{3}&{5}&{4}\\ \hline\end{tabular}$$

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Aufgabe A.2 (Ungarische Methode)

Drei verschiede Drehteile $A$, $B$ und $C$ können auf drei verschiedenen Maschinen gefertigt werden. Die Maschinen sind dafür unterschiedlich gut geeignet, die Tabelle zeigt die jeweils möglichen Fertigungsmengen pro Minute.

	Fertigungsmenge für Maschine $i$
	1	2	3
Drehteil $A$	7	8	4
Drehteil $B$	10	5	9
Drehteil $C$	4	1	10

Mit welchen Teilen sind die Maschinen zu belegen, um die Fertigungsmenge zu maximieren?  □

Aufgabe A.3 (Ungarische Methode)

Diese Aufgabe, die eine etwas aufwändigere Modellierung erfordert, orientiert sich an einer Problemstellung aus Kasana und Kumar (2004), S. 230f. Zwischen zwei Orten $A$ und $B$ soll eine Buslinie eingerichtet werden, die Fahrtzeit zwischen den Orten beträgt je nach Tageszeit und Verkehrslage zwischen $2.5$ und $5$ Stunden. Der Fahrplan für die insgesamt $12$ Fahrten pro Tag sei wie folgt fest vorgegeben.

	Abfahrt $A$	Ankunft $B$
$S_{1}$	5:30 Uhr	9:00 Uhr
$S_{2}$	6:00 Uhr	10:00 Uhr
$S_{3}$	9:00 Uhr	12:00 Uhr
$S_{4}$	13:00 Uhr	16:30 Uhr
$S_{5}$	14:30 Uhr	19:30 Uhr
$S_{6}$	15:00 Uhr	18:00 Uhr

	Abfahrt $B$	Ankunft $A$
$T_{1}$	6:30 Uhr	9:00 Uhr
$T_{2}$	8:30 Uhr	12:00 Uhr
$T_{3}$	9:00 Uhr	13:00 Uhr
$T_{4}$	14:00 Uhr	17:00 Uhr
$T_{5}$	14:30 Uhr	19:00 Uhr
$T_{6}$	21:00 Uhr	23:30 Uhr

Um den Fahrplan zu bedienen, sollen insgesamt sechs Fahrer mit Wohnort $A$ oder $B$ eingesetzt werden, die täglich zwei Strecken fahren müssen. Ein Fahrer aus dem Ort $A$ soll also täglich einmal nach $B$ und wieder zurück fahren, ein Fahrer aus $B$ entsprechend einmal pro Tag nach $A$ und wieder zurück. Die Pause zwischen den beiden Fahrten soll dabei möglichst gering sein, jedoch nach Vorgabe der Gewerkschaft mindestens zwei Stunden betragen.

Wie sollten die Fahrer eingesetzt werden, damit die gesamte Pausenzeit möglichst gering ist? Wie groß ist die minimale Anzahl der Pausenstunden?  □

Aufgabe A.4 (Ungarische Methode)

Finden Sie für das folgende Tableau eine Lösung mit minimalem Zielfunktionswert.

$$\displaystyle\begin{tabular}[]{|c|c|c|c|c|}\hline{1}&{1}&{1}&{1}&{1}\\ \hline{2}&{2}&{2}&{2}&{2}\\ \hline{2}&{3}&{4}&{5}&{6}\\ \hline{3}&{8}&{9}&{10}&{11}\\ \hline\leavevmode\nobreak\ {4}&{13}&{14}&{15}&{16}\\ \hline\end{tabular}$$

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