Lineare Optimierung

Zusammenfassung

Im 3. Kapitel wird das wichtigste Verfahren der Linearen Optimierung, das Simplex- Verfahren, ausführlich behandelt. Nach der Definition des linearen Modells wird zunächst gezeigt, wie sich Probleme mit zwei Variablen graphisch lösen lassen. Anschließend werden die für die weiteren Betrachtungen erforderlichen Begriffe wie Normalform eines Linearen Programms, Basislösung, Konvexkombination usw. eingeführt. Nach diesen Vorbereitungen werden zunächst das Primalsimplex-Verfahren für das spezielle Maximumproblem und danach das Dualsimplex-Verfahren für das spezielle Minimumproblem hergeleitet. Ein größerer Abschnitt ist dem Thema Dualität gewidmet. Hier wird insbesondere auf die ökonomische Interpretation des Zusammenhangs zwischen primalem und dualem Optimierungsproblem eingegangen. Zum Abschuss wird das Zweiphasen-Simplex-Verfahren zum Lösen eines allgemeinen linearen Problems präsentiert. Zahlreiche Beispiele und Übungen zu den vorgestellten Algorithmen runden das Kapitel ab.

Aufgaben

Aufgabe A.1 (Grafische Lösung)

Man löse die folgenden Optimierungsaufgaben grafisch:

• a) $\begin{aligned}\displaystyle 9x_{1}+7x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle 5x_{1}+3x_{2}&\displaystyle\leq 15,\\ \displaystyle\phantom{5}x_{1}+\phantom{3}x_{2}&\displaystyle\leq\phantom{1}4,\\ \displaystyle x_{2}&\displaystyle\leq\phantom{1}3,\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0.\end{aligned}$

• b) $\begin{aligned}\displaystyle 5x_{1}+2x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Min!}\\ \displaystyle x_{1}+5x_{2}&\displaystyle\geq 5,\\ \displaystyle x_{1}+\phantom{5}x_{2}&\displaystyle\geq 2,\\ \displaystyle x_{1}&\displaystyle\geq 1,\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0.\end{aligned}$

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Aufgabe A.2 (Primal-Simplex-Verfahren)

Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen:

$$\begin{aligned}\displaystyle 5x_{1}+6x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle\text{u.\,d.\,N.}\quad 3x_{1}+4x_{2}&\displaystyle\leq 18,\\ \displaystyle 2x_{1}+x_{2}&\displaystyle\leq 7,\\ \displaystyle x_{2}&\displaystyle\leq 4,\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0.\end{aligned}$$

Lösen Sie das Problem mit dem Primalsimplexverfahren. Ist die Lösung des Problems eindeutig?  □

Aufgabe A.3 (Dual-Simplex-Verfahren)

Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem:

$$\begin{aligned}\displaystyle 2x_{1}+4x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Min!}\\ \displaystyle\text{u.\,d.\,N.}\quad x_{1}&\displaystyle\geq 20,\\ \displaystyle x_{2}&\displaystyle\geq 30,\\ \displaystyle x_{1}+2x_{2}&\displaystyle\geq 80,\\ \displaystyle x_{1}+\phantom{2}x_{2}&\displaystyle\geq 100,\\ \displaystyle 3x_{1}+4x_{2}&\displaystyle\geq 60,\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0.\end{aligned}$$

Lösen Sie das Problem mit dem Dual-Simplex-Verfahren. Wie lautet der optimale Zielfunktionswert?  □

Aufgabe A.4 (Dualität)

Bestimmen Sie das duale Programm zu dem folgenden linearen Optimierungsproblem:

$$\begin{aligned}\displaystyle z=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}&\displaystyle\rightarrow\text{Min!}\\ \displaystyle\text{u.\,d.\,N.}\quad x_{1}-x_{2}+2x_{3}&\displaystyle\geq 10,\\ \displaystyle x_{1}-2x_{2}-x_{3}&\displaystyle\leq 15,\\ \displaystyle 2x_{1}+x_{2}-3x_{3}&\displaystyle=20,\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0.\\ \displaystyle x_{3}&\displaystyle\in\mathbb{R}.\end{aligned}$$

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Aufgabe A.5 (Zweiphasenmethode)

Lösen Sie das folgende lineare Problem mithilfe der Zweiphasenmethode:

$$\begin{aligned}\displaystyle x_{1}+x_{3}&\displaystyle\rightarrow\text{Min!}\\ \displaystyle\text{u.\,d.\,N.}\quad x_{1}+x_{2}+x_{3}&\displaystyle\leq 4,\\ \displaystyle-x_{1}+x_{2}+x_{3}&\displaystyle\leq 4,\\ \displaystyle x_{2}+x_{3}&\displaystyle\geq 2,\\ \displaystyle x_{2},x_{3}&\displaystyle\geq 0.\end{aligned}$$

Beachten Sie, dass für die Variable $x_{1}$ keine Vorzeichenbeschränkung vorliegt.  □

Aufgabe A.6 (Optimierungsproblem)

Zur Vorbereitung auf die Anwendung in Abschn. 9.1 untersuchen wir eine Problemstellung aus dem Bereich der Analysis. Wir betrachten für $a,b,c\in[0,1]$ die durch

$$\displaystyle f(t)=at^{3}+bt^{2}+ct$$

gegebene Schar von kubischen Polynomen mit der Eigenschaft $f(0)=0$. Wollen wir die Koeffizienten so wählen, dass $f(1)$ maximal ist, so führt dies offensichtlich zu $a=b=c=1$, es ist dann $f(1)=3$. Aber wie sind die Koeffizienten zu wählen, wenn man zusätzlich

$$\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,dt\leq 1$$

fordert? Formulieren Sie das Problem als LP und lösen Sie es mithilfe des Primal-Simplex-Verfahrens.  □

Aufgabe A.7 (Mehrdeutige Lösung)

Lösen Sie

$$\begin{aligned}\displaystyle 3x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle\text{u.\,d.\,N.}\quad{-}x_{1}-x_{2}&\displaystyle\leq 1,&\displaystyle&\displaystyle\text{(I)}\\ \displaystyle x_{2}&\displaystyle\leq 3,&\displaystyle&\displaystyle\text{(II)}\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0.\end{aligned}$$

Skizzieren Sie den Zulässigkeitsbereich.  □

Aufgabe A.8 (Simplex-Verfahren)

Untersuchen Sie das folgende Optimierungsproblem:

$$\begin{aligned}\displaystyle 2x_{1}-3x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle\text{u.\,d.\,N.}\quad{-}x_{1}+x_{2}&\displaystyle\leq 2,&\displaystyle&\displaystyle\text{(I)}\\ \displaystyle 2x_{1}-x_{2}&\displaystyle\leq 2,&\displaystyle&\displaystyle\text{(II)}\\ \displaystyle-x_{1}-x_{2}&\displaystyle\leq 2,&\displaystyle&\displaystyle\text{(III)}\\ \displaystyle x_{1}&\displaystyle\geq 0.\end{aligned}$$

Beachten Sie, dass für die Variable $x_{2}$ keine Vorzeichenbeschränkung vorliegt. Lösen Sie das Problem mithilfe des Simplexverfahrens und skizzieren Sie anschließend den Zulässigkeitsbereich für $x_{1}$, $x_{2}$. Diese Aufgabe stammt aus Kasana und Kumar 2004, S. 100.  □

Aufgabe A.9 (Lösbarkeit)

Untersuchen Sie die folgenden speziellen Maximumprobleme auf Lösbarkeit.

• a) $\begin{aligned}\displaystyle x_{1}+2x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle-2x_{1}+\phantom{2}x_{2}&\displaystyle\leq 4\\ \displaystyle x_{2}&\displaystyle\leq 6\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0\end{aligned}$

• b) $\begin{aligned}\displaystyle 2x_{1}+\phantom{2}x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle-x_{1}+\phantom{2}x_{2}&\displaystyle\leq 1\\ \displaystyle x_{1}-\phantom{2}x_{2}&\displaystyle\leq 1\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0\end{aligned}$

• c) $\begin{aligned}\displaystyle 4x_{1}+\phantom{2}x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle x_{1}+\phantom{2}x_{2}&\displaystyle\leq 3\\ \displaystyle x_{2}&\displaystyle\leq 2\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0\end{aligned}$

• d) $\begin{aligned}\displaystyle x_{1}+\phantom{2}x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle x_{1}+\phantom{2}x_{2}&\displaystyle\leq 1\\ \displaystyle-x_{1}-\phantom{2}x_{2}&\displaystyle\leq 1\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0\end{aligned}$

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Aufgabe A.10 (Anbauproblem)

Ein kleiner landwirtschaftlicher Betrieb möchte auf $1500\,\mathrm{m}^{2}$ seines Bodens Erdbeeren und Spargel kultivieren. Er kann maximal $5000$ GE investieren, und er plant, höchstens $400\,\mathrm{m}^{2}$ mit Spargel zu bepflanzen. Wie viele $\mathrm{m}^{2}$ sollen von jeder Sorte angebaut werden, damit ein maximaler Deckungsbeitrag erzielt wird?

	Erdbeeren	Spargel
Arbeits- und Materialkosten (GE/$\mathrm{m}^{2}$)	2	10
Deckungbeitrag (GE/$\mathrm{m}^{2}$)	2	6

Formulieren Sie das mathematische Modell und lösen Sie das Problem.  □