Student-Generated Examples in the Learning of Mathematics

Abstract

Examples, illustrations, occurrences, and instances play a central role in the learning of mathematics. Deliberately getting students to generate examples is a particularly powerful tool in teaching, but, while some of the possibilities they offer are used by many teachers, their full potential is rarely exploited. The authors came to this notion through reflection on their experience of observing teachers in classrooms, of getting students to take initiatives, and of creating examples while working on their own mathematics. They examine the roles played by examples constructed and generated by students, give illustrations and analyses of the use of this tool, and develop a theory for the act of exemplification as an act of cognition. A framework is developed for researchers and practitioners to further this work.

Résumé

Nous entendons l’exemple comme un représentant de toute classe d’objets ou d’actions mathématiques, y compris les techniques, les concepts, les propriétés, les ensembles et ainsi de suite. Nous décrivons comment nos travaux en mathématiques, et différentes réactions à des travaux précédents sur le questionnement, nous ont conduit à apprécier l’importance des exemples dans l’apprentissage des mathématiques.

Pour nous, le processus d’apprentissage des mathématiques est un processus de sensibilisation aux phénomènes touchant les objets, les techniques, les relations et les structures qu’on appelle mathématiques, suivi d’une extension de la conscience des possibilités qu’elles ouvrent, pour enfin arriver à une généralisation sur les faits ou les invariants. La familiarité avec des exemples généraux ou éclairants qui offrent un éventail de possibilités, fait partie du processus de compréhension des mathématiques (Polya, 1962; Michener, 1978).

On peut utiliser les exemples comme exemples de départ, comme exemples de référence, comme exemples modèles et comme contre-exemples (Michener, 1978). Les élèves sont-ils toujours conscients que les exemples représentent ou génèrent des classes plus amples, et savent-ils distinguer le général et le particulier dans les exemples qu’on leur présente? Il est possible que les élèves n’utilisent l’exemple que comme modèle à suivre, en modifiant par exemple les nombres, plutôt que comme démonstration de la marche à suivre pour manipuler des représentations ou synthétiser des faits pour arriver à résoudre un problème. On laisse souvent les étudiants et les étudiantes inférer eux-mêmes ce qui est illustré par les exemples, et ils risquent de s’arrêter à des détails sans importance. Il est fondamental de relier explicitement l’exemple à la règle générale qu’il illustre.

Cependant, les exemples ne servent pas seulement à des fins d’évaluation et de motivation. Les enseignants et les enseignantes les utilisent aussi pour démontrer et communiquer l’essentiel des concepts et des techniques mathématiques. Les concepts sont souvent présentés aux étudiants et aux étudiantes par le biais d’exemples, mais si on leur laisse de soin d’inférer eux-mêmes le sens d’un exemple ou d’un ensemble d’exemples, on risque d’être inefficace, car il est possible que les élèves ne sachent pas reconnaître les éléments qui sont pertinents. Il est donc nécessaire de recourir à de nombreux exemples afin de les aider à surmonter trois difficultés: interpréter, savoir ce qu’il faut faire et généraliser. En effet, un exemple unique peut contenir des éléments de distraction.

Les contre-exemples peuvent servir de mécanisme pour contredire une formule supposée, ou encore pour expliquer. Notre recherche de ce type d’exemples nous a conduits à la notion d’exemples limites: ceux qui constituent tout juste, voire pas tout à fait, des illustrations du concept, de l’idée ou de la technique visée par l’apprentissage.

Les exemples produits par les élèves peuvent servir dans l’évaluation. Demander aux élèves de poser euxmêmes les problèmes et de définir les paramètres des épreuves (production d’exemples de questions) peut devenir un outil d’évaluation et d’auto-évaluation. Lorsque la responsabilité de construire une épreuve passe des enseignants ou des enseignantes aux élèves, cela implique nécessairement qu’on revoie la matière. Ces exemples servent également à motiver et à intéresser les élèves.

Les tentatives des élèves de créer des exemples en fonction de critères précis peuvent servir de points de départ pour aborder de nouveaux concepts et pour faire évoluer la connaissance de certains aspects, déjà connus sous des formes différentes, plus limitées ou plus simples.

Seuls quelques auteurs se sont préoccupés d’utiliser les exemples créés par les étudiants et les étudiantes principalement pour faciliter la compréhension des concepts plutôt qu’à des fins d’évaluation ou de motivation. Il n’est pas nécessaire que la compréhension des concepts grâce aux exemples soit un simple corollaire quasi accidentel; au contraire, cela peut constituer un objectif pédagogique explicite. Il semble en effet que les élèves qui utilisent systématiquement la création d’exemples comme partie intégrante de leur stratégie d’apprentissage, même lorsqu’on ne leur donne aucune directive en ce sens, voient plus souvent évoluer leur image des concepts, fournissent de meilleures explications, développent des espaces-exemples plus amples et atteignent un niveau plus élevé de compréhension des concepts enseignés.

Il est difficile pour les élèves d’imaginer des contre-exemples. Une induction explicite des utilisations mathématiques des exemples et des contre-exemples est nécessaire.

On a peu écrit sur l’utilisation de la création d’exemples par les étudiants et les étudiantes pour mieux faire comprendre les concepts mathématiques. Nous avons recueilli des descriptions de pratiques observées dans les classes afin d’identifier la réorganisation conceptuelle qui serait nécessaire pour que les élèves puissent exécuter de telles tâches. Nous signalons cinq exemples pour illustrer cinq expériences différentes que peuvent faire les étudiants et les étudiantes en créant leurs propres exemples au cours de leurs tâches normales de mathématiques:

• • l’expérience des structures

• • l’expérience des variations

• • l’expérience de la généralité

• • l’expérience des contraintes et des signifiés des conventions

• • l’extension des espaces-exemples et l’exploration des limites

À notre avis, en créant des conditions où ils imaginent leurs propres exemples, on incite les élèves à un apprentissage actif, c’est-à-dire à prendre des initiatives et à agir sur les idées plutôt que de rester passifs. Nos recherches futures comprendront une analyse des aspects psychologiques de la création d’exemples, et nous comptons vérifier l’efficacité de notre cadre de travail pour comprendre comment la création d’exemples par les élèves sert leur apprentissage et permet d’améliorer leur performance.