Variations autour d’une situation de comparaison de quantités pour l’apprentissage des unités de numération

Abstract

Although research has shown that numeration units are essential for learning whole numbers, students in France still face challenges in understanding units, since learning is often limited to designating the position of digits in the writing of numbers. This article investigates a study conducted among 4th and 5th graders, comprised of a baseline scenario and variations, which examines a quantity comparison problem that aims to strengthen the understanding of numeration units as a system of units organized according to the decimal principle. Using teaching design methodology, we describe the design choices (a priori analysis) and examine in-class implementation as well as discussions with students (a posteriori analysis). The results illustrate a variety of teaching methods, some of the difficulties that students face, and opportunities to further an understanding of numeration units.

Résumé

Alors que la recherche a montré le rôle essentiel des unités de numération dans l’apprentissage des nombres entiers à l’école, les défis à relever pour leur usage dans les classes en tant qu’unités sont encore nombreux en France, où elles sont souvent limitées à la désignation de la position des chiffres dans l’écriture des nombres. Dans ce texte nous interrogeons la conception d’un scénario en 4^e et 5^e primaire, constitué d’une situation de référence et de variations, à partir d’un problème de comparaison de quantités visant un approfondissement de la compréhension des unités de numération comme système d’unités organisées selon le principe décimal. En appui sur la méthodologie d’ingénierie didactique, nous explicitons les choix de conception (analyse a priori) et analysons la mise en œuvre dans une classe ainsi que les entretiens menés avec des élèves (analyse a posteriori). Les résultats montrent une variété de procédures utilisées, certaines difficultés rencontrées par les élèves et des possibilités pour développer des connaissances sur les unités de numération.

Appendices

ANNEXE 1: La Situation de Familiarisation Avant la Situation de Référence

L’objectif est de présenter le matériel représenté et amener les élèves à se l’approprier.

Les collections représentées sont organisées par groupes de 5. Elles sont présentées simultanément et rapidement. Un seul type de groupement est utilisé (seulement des plaques par exemple).

Quelques cas sont proposés au tout début pour s’approprier le fait de voir rapidement chaque collection successivement et comprendre qu’on peut utiliser les groupements par 5 pour dénombrer rapidement.

Exemple:

Ces premiers cas doivent permettre:

• De vérifier l’appropriation des quantités associées à chaque type de groupement

• D’apprendre à compter rapidement en appui sur les groupements par 5 (étape 0)

• D’apprendre à compter des unités qui ne sont pas les petits cubes, mais des groupements: il est possible de compter en unités simples ou en centaines

• Comprendre que pour comparer, il n’est pas utile de revenir au nombre total de cubes. Par exemple dans l’étape 0, les élèves sont plutôt amenés à compter les plaques comme 1 en non comme 100: mettre en évidence les différentes possibilités:

  • 7 plaques

  • 7 plaques de cent

  • 7 centaines

  • 7 centaines de cubes

  • 7 unités (si l’unité est le nombre de cubes de la plaque)

  • 700 cubes

  • 700 unités

ANNEXE 2: Des Éléments Pour L’institutionnalisation des Savoirs en Jeu

(extraits de diaporamas proposés à l’enseignante)

Pour la Situation de Référence

Pour la Variation 2

ANNEXE 3: Les Trois Séances Observées

Séance 1

Voici les comparaisons proposées au cours de cette séance:

• Situation de référence: comparaison de deux collections représentées de (1) 15 plaques et 2 gros cubes, (2) 2 plaques et 15 barres, (3) 20 plaques et 3 gros cubes.

• Variation 1: comparaison de: (4) une collection représentée de 20 barres et « 1 centaine», (5) une collection représentée de 3 gros cubes et « 25 centaines».

La mise en œuvre est la même pour chaque cas: présentation collective des deux collections (rapide, mais deux fois), recherche individuelle, mise en commun des procédures puis vérification en montrant des groupements avec le matériel représenté au tableau (sauf cas 1 et 5).

Après la discussion sur les procédures utilisées par les élèves, l’enseignante amène les élèves à vérifier en simulant les groupements ou dégroupements pour mettre en avant les équivalences (sauf pour les cas 1 et 5): ici les unités simples n’apparaissent plus (elle ne fait pas réaliser un comptage en unités simples par exemple), ce sont les conversions entre deux unités consécutives qui sont en jeu, même si elles peuvent encore rester contextualisées aux groupements matériels. Il n’y a pas de phase de synthèse en fin de séance.

Séance 2

Cette séance, qui suit directement la séance précédente, commence par un rappel de la séance précédente. Ensuite le déroulement est le même. L’enseignante poursuit avec la variation 1 (trois cas) puis introduit la variante de la situation de référence (comparaison des deux collections en centaines pour les deux cas proposés).

Les comparaisons proposées au cours de cette séance:

• Variation 1: comparaison de (1) une collection représentée de 30 barres avec « 3 centaines», (2) une collection représentée de 16 barres avec « 1 centaine», (3) une collection représentée de 2 gros cubes avec « 20 centaines».

• Variante de la situation de référence, comparaison en centaines de deux collections représentées: « Dans quelle collection y a-t-il le plus de centaines ? Pour: (4) 4 plaques à comparer avec 30 barres (5) 1 gros cube et 10 plaques avec 2 gros cubes et 1 plaque.

Comme lors de la séance 1, l’enseignante s’appuie lors des mises en commun, sur les procédures utilisées par les élèves.

Nous indiquons ici, en guise d’exemple, des procédures indiquées par les élèves interrogés au cours de la mise en commun pour le dernier cas:

• Élève n°1: il explique qu’il a additionné « les plaquettes» et que « ça faisait un cube, donc deux cubes en tout» et que pour la deuxième collection, il y avait « deux cubes et une plaquette». Après que l’enseignante lui a demandé d’expliquer en centaines, il dit que dans la collection 1, il y a 20 centaines et dans la 2, il y a 21 centaines.

• Élève n°2: elle explique qu’un millier, c’est dix centaines et que dix centaines plus dix centaines, ça fait vingt centaines, ce qui est écrit au tableau par l’enseignante (1 M = 10C, 10C + 10C = 20C). Elle poursuit en indiquant que dans la collection 2, on a « deux cubes, ça fait vingt centaines et une autre centaine donc vingt-et-une centaine (noté 21C au tableau par l’enseignante).

• Élève n°3: il vient faire un tableau de numération au tableau et complète les cases ainsi et explique que ça fait 20 centaines dans la collection 1 (ce qui est écrit par l’enseignante à gauche du tableau)

• Élève n°4: elle compare le nombre de milliers des deux collections: il y a 2 milliers dans la première et dans la deuxième, mais il reste encore 1 centaine en plus dans la deuxième.

Séance 3

Cette séance a lieu 12 jours après la deuxième séance observée. L’enseignante a déjà mis en œuvre la variation 2 et commencé la variation 3 lors d’une séance précédente et poursuit lors de cette séance avec les cas suivants: (1) 2 milliers 30 centaines et 2 300, (2) 900 et 5 centaines 40 dizaines, (3) 6 milliers 15 centaines et 6 150, (4) 3 milliers 12 dizaines et 3 300.

La mise en œuvre suit le même déroulement que les séances précédentes: pour chaque cas, l’enseignante présente les deux nombres, puis laisse chercher les élèves individuellement avant de faire une mise en commun des procédures.

Comme lors des autres séances, il n’y a pas de synthèse de fin de séance. Les relations entre unités sont explicitées et notées au tableau par l’enseignante en lien avec les conversions indiquées par les élèves.

Nous indiquons ici, en guise d’exemple, des procédures exposées par les élèves interrogés au cours de la mise en commun pour le troisième cas:

• Élève n°1: elle explique que comme on a 6 M 15C, « six milliers ça change pas, j’ai regardé les centaines, quinze centaines, on peut ajouter un zéro pour obtenir six-mille-cent-cinquante». L’enseignante écrit 6 M 15C et 6 150 au tableau

• Élève n°2: elle explique que « six milliers ça change pas», mais que « comme c’est 15 centaines du coup ça fait un millier de plus, du coup il y a cinq centaines et ça fait sept-mille-cinq-cent». L’enseignante écrit 15C = 10C + 5C

• Élève n°3: il explique que 15 centaines, ça fait 1 500 donc ça fait 7 500 pour la quantité 1

• Élève n°4: il explique que pour 15 centaines, le « 5» va dans les centaines et le « 1» dans les milliers. Et pour 6 milliers, le « 6» va dans les milliers (il semble s’appuyer sur un tableau de numération, même s’il ne l’indique pas).

Notons que la confrontation des différentes propositions peut permettre à l’élève n°1 d’identifier son erreur et qu’en outre l’enseignante termine en demandant d’exprimer le 15 de 6150 comme dans la quantité 1: un élève répond que c’est 15 dizaines et non 15 centaines.

ANNEXE 4: Evolution des Désignations Utilisées Pour Désigner les Quantités au Cours des Séances Observées

Lors de la séance 1, on observe, pendant la mise en commun des procédures, une variété dans les façons de désigner les quantités (en unités simples, avec le nom des groupements matériels, avec les unités de numération). L’enseignante les prend en compte sans en privilégier, mais elle s’assure que les unités de numération sont bien utilisées pour chaque cas et aide les élèves à faire le lien entre les groupements matériels et l’unité associée. Pour le premier cas, les élèves utilisent un vocabulaire contextualisé au matériel et un retour aux unités simples, l’enseignante demande alors « quel mot on utilise en numération pour exprimer les plaques», pour introduire les unités de numération. Ainsi pour ce premier cas, les 15 plaques de cent cubes sont évoquées à la fois comme 15 plaques, pour lesquelles on fait des « transformations» de 15 plaques en 10 plaques et 5 plaques (ce qui donne 1 cube et 5 plaques), comme 15 × 100 ou 1 500, ou encore comme 15 centaines (écrit 15C au tableau).

Même pour les cas de la variation 1 où l’une des deux quantités est décrite en unités de numération, l’enseignante continue de s’appuyer sur les différentes désignations utilisées par les élèves; par exemple, pour 25 centaines: 2 milliers 5 centaines, 2 cubes et 5 plaques, 2 500U. Elle écrit systématiquement au tableau plusieurs façons de voir une même collection (en centaines, en milliers, en unités simples) et différentes désignations (matériel, unités simples, unités).

Lors de la séance 2, les élèves n’utilisent plus le vocabulaire contextualisé pour décrire les groupements, ce qui semble lié à l’introduction de la description d’une des deux collections dans la variation 1. De plus, au cours de cette séance, l’enseignante n’a plus recours aux collections pour valider les réponses des élèves: ce sont les relations entre unités qui servent de critère de validité. Pour chaque cas, elles sont explicitées dans la classe.

Lors de la séance 3, l’enseignante s’appuie encore sur les procédures utilisées par les élèves pour gérer les mises en commun. Comme lors de la séance 2, les élèves s’appuient sur les unités de numération ou les unités simples. L’enseignante écrit les conversions utilisées au tableau.