Les espaces de travail connectés : une perspective nouvelle pour la modélisation dans le secondaire?

Abstract

Our interest is in the development of modeling activities that link knowledge in various mathematical fields and other scientific disciplines. Looking at mathematics education, research we highlight the benefits and limitations of “problem-solving” and of approaches that involve translation between the real world and mathematics. Science education seldom takes mathematics into account. Its contribution is the conception of an “empirical referent”. Using epistemological studies, we highlight examples of modeling situations supported by a plurality of models and an organization of work that allows students to engage with them. To do this we adopt  the theoretical framework of connected working spaces. A case study shows how students create linkages between the workspaces and the benefits of the connections on their understanding of concepts at stake.

Résumé

Nous nous intéressons à la conception d’activités de modélisation pour la mise en relation de connaissances dans divers champs des mathématiques et d’autres disciplines scientifiques. En didactique des mathématiques, nous soulignons les apports, mais aussi les limites des approches  «problem solving» et «translation entre réalité et mathématiques». La didactique des sciences prend quant à elle peu en compte les mathématiques. Son apport est dans la conception d’un «référent empirique». A partir d’études épistémologiques, nous privilégions des situations de modélisation s’appuyant sur une pluralité de modèles et une organisation du travail des élèves qui leur permette de confronter ces modèles. Nous adoptons pour cela le cadre théorique des espaces de travail connectés. Un exemple de situation montre comment les élèves créent des connexions entre les espaces de travail et les apports de ces connexions à leur compréhension des concepts en jeu.

Annexe : quatre modèles d’un câble porteur dans un pont suspendu

Un modèle statique discret

Le modèle statique discret dérive du nombre fini de suspentes : un câble porteur est représenté comme un ensemble de n barres rigides, en commençant et en terminant au niveau des points d'ancrage (partie supérieure d'un pilier), et séparés par (n - 1) points de suspension reliant le câble et les suspentes. On considère que chacune des (n - 1) suspentes supporte une portion de longueur L/n du tablier, deux portions de longueur L/(2n) étant supportées par chacun des piliers. La modélisation de la tension dans l'un des câbles porteurs peut être effectuée en considérant la suite des tensions sur chaque segment et pour chacune des tensions, les valeurs de la composante horizontale et de la composante verticale (H_i ; V_i). La loi d'équilibre statique, appliquée à chaque point de suspension, implique que la composante horizontale est la même dans toutes les barres : H_i = H pour tous les points i. Cela implique aussi que la suite des valeurs de la composante verticale est en progression arithmétique de raison la valeur ΔP du poids d'une partie du tablier supporté par une suspente. Comme chacun des deux câbles principaux supporte la moitié du tablier, on a ΔP = P/(2n), P étant le poids du tablier. V_n=V₀+(n-1)P/(2n). Par symétrie V_n=-V₀ d'où la relation de récurrence :

${V}_{i+1}={V}_i+\frac{P}{2n}$et ${V}_0=\frac{-P}{4}+\frac{P}{4n}$

Un modèle géométrique discret

Connaissant la position d'un point d'ancrage il est possible de calculer la suite des coordonnées des points de l'ensemble des segments modélisant le câble. M₀ et M_n étant les points d'ancrage sur les piliers et M₁, M₂,… M_n-1, les points où les suspentes sont fixées au câble. La suite des abscisses des M_i est en progression arithmétique de raison L/n . La pente d'un segment [M_i, M_i+1] est le rapport entre les composantes verticale et horizontale de la tension dans ce segment, d'où la formule de récurrence pour les ordonnées des M_i :${y}_{i+1}={y}_i+\frac{L}{n}\frac{V_i}{H}$. Avec la formule de récurrence donnée par le modèle statique pour V_i, il est possible de calculer les y_i.

Un modèle algorithmique discret

Un algorithme (Fig. 5) permet de définir une fonction affine par morceaux en systématisant la construction géométrique. Les données proviennent du Pont du Golden Gate (tablier de longueur 1280m et de poids 20 méga newtons, hauteur des piliers de 163 mètres) et l'origine du système de coordonnées est au milieu du pont.

A ce stade, H est inconnu et donc paramétrique, et nous choisissons également un paramètre n pour le nombre de suspentes afin d’obtenir des représentations pour plusieurs valeurs de n. En utilisant un environnement de programmation, nous obtenons des représentations pour des valeurs variées de H et n. Pour les petites valeurs de n, la représentation est un ensemble de segments. Pour des valeurs plus grandes, elle paraît une courbe. On peut ajuster H afin que le câble atteigne une hauteur donnée au-dessus du pont. Plus cette composante horizontale est grande, plus le câble s'élève au-dessus du tablier.

Un modèle continu

Étant donné le grand nombre de suspentes, on peut chercher une courbe, limite de l'ensemble des segments modélisant le câble lorsque ce nombre tend vers l'infini, et que donc la distance entre suspentes tend vers zéro. Avec un choix de l'origine du repère au milieu du tablier, on considère alors le câble principal comme modélisé par la courbe d'une fonction f définie sur [-L/2 ; L/2]. La tension en un point du câble d'abscisse x est la limite de la tension sur une suite de segments d'amplitude tendant vers zéro et encadrant x dans le modèle discret. Comme la composante horizontale de la tension dans le modèle discret est une constante que nous avons notée H, la composante horizontale de la tension dans le modèle continu est cette même constante. Par un passage à la limite depuis le modèle en statique, on obtient la composante verticale de la tension : $V(x)=x\cdot \frac{P}{2L}$ La tension étant dirigée selon la tangente à la courbe, le nombre dérivé de la fonction cherchée en un point x est :$\frac{V(x)}{H}$. Avec les données du pont du Golden Gate, nous avons $f\hbox{'}(x)=\frac{x}{128H}$puis par intégration$f(x)=\frac{x^2}{256H}+C$. La courbe est un arc de parabole. En prenant C= 0 (câble passant au ras du tablier), l’équation f (640)=163 donne H peu différent de 9,8.