Abstract
We associate to a filtered \(\varphi \)-module \(\mathcal {D}\) a sub-\(\mathbb Z_p[[x]]\)-module of convergent series on the open unit disk in which the p-adic L-functions of the Galois representation associated to \(\mathcal {D}\) live (if they exist). This generalizes the already known case where \(\mathcal {D}\) is of dimension 2, for example associated to an elliptic curve or a modular form.
Résumé
On associe à un \(\varphi \)-module filtré \(\mathcal {D}\) un sous-\(\mathbb Z_p[[x]]\)-module de séries convergentes sur le disque unité ouvert dans lequel vivent les fonctions L p-adiques de la représentation galoisienne associée à D (lorsqu’elles existent). Cela généralise le cas déjà connu où \(\mathcal {D}\) est de dimension 2, associé par exemple à une courbe elliptique ou une forme modulaire.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Similar content being viewed by others
Notes
Nous y reviendrons dans un article à venir.
Sans redéfinir l’opérateur \(\psi \) ici, rappelons que l’on trouve aussi une formulation avec \(\mathcal {H}^{\psi =0}\). On passe facilement de l’une à l’autre par l’isomorphisme \(\mathcal {H}(G_\infty ) \rightarrow \mathcal {H}^{\psi =0}\) induit par \(g\rightarrow g\cdot (1+X)=(1+X)^{\chi (g)}\).
On utilisera aussi le terme de polygone pour l’enveloppe convexe.
en lien avec la notion de matrice de Smith.
Dans [3], le Th. 4.10 est énoncé en utilisant des anneaux dont le lien avec \(\mathcal {H}{}\) est nécessaire pour la démonstration. On renvoie à cet article pour des références antérieures.
References
Yvette Amice and Jacques Vélu, Distributions \(p\)-adiques associées aux séries de Hecke, Astérisque 24-25 (1975), 119–131.
Joel Bellaiche and Gaetan Chenevrier, Families of Galois representations and Selmer groups, vol. 324, Soc. Math. France, Paris, 2009.
Laurent Berger, Représentations \(p\)-adiques et équations différentielles, Invent. math. 148 (2002), 219–284.
Jean-Marc Fontaine, Modules galoisiens, modules filtrés et anneaux de Barsotti-Tate, Astérisque, Journées de Géométrie algébrique de Rennes 65 (1979), 3–80.
Jean-Marc Fontaine and Guy Laffaille, Construction de représentations \(p\)-adiques, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 15 (1982), 547–608.
Nicolas Katz, Slope filtration of F-crystals, Astérisque, Journées de Géométrie algébrique de Rennes 63 (1979), 113–163.
Rikan S. Kedlaya, Slope filtration for relative frobenius, Astérisque 319 (2008), 259–301.
Antonio Lei, David Loeffler, and Sarah Livia Zerbes, Wach modules and Iwasawa theory for modular forms, Asian J. Math. 14 (2010), 475–528.
Antonio Lei, David Loeffler, and Sarah Livia Zerbes, Coleman maps and the \(p\)-adic regulator, Algebra and Number Theory 5 (2011), 1095–1131.
Antonio Lei, David Loeffler, and Sarah Livia Zerbes, On the asymptotic growth of Bloch-Kato-Shafarevich-Tate groups of modular forms over cyclotomic extensions, Canadian Journal of Mathematics 69 (2017), no. 4, 826–850.
David Loeffler and Sarah Livia Zerbes, Wach modules and critical slope \(p\)-adic \({L}\) functions, J. Reine Angew. Math. 679 (2012), 181–206.
Barry Mazur, The theme of \(p\)-adic variation, Amer. Math.Soc, Mathematics: frontiers and perspectives 63 (2000), 433–459.
Bernadette Perrin-Riou, Fonctions \(L\)\(p\)-adiques d’une courbe elliptique et points rationnels, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 43 (1993), 945–995.
Bernadette Perrin-Riou, Théorie d’Iwasawa des représentations \(p\)-adiques sur un corps local (avec un appendice de J.-M. Fontaine), Inventiones mathematicae 115 (1994), no. 1, 81–150.
Bernadette Perrin-Riou, Théorie d’Iwasawa et loi explicite de réciprocité : un remake d’un article de P. Colmez, Doc. Math. 4 (1999), 215–269.
Bernadette Perrin-Riou, Représentations \(p\)-adiques et normes universelles: I. Le cas cristallin, Journal of the American Mathematical Society 13 (2000), 533–551.
Bernadette Perrin-Riou, Théorie d’Iwasawa des représentations \(p\)-adiques semi-stables, vol. 84, Mém. Soc. Math. Fr., 2001.
Bernadette Perrin-Riou, Note sur les diviseurs élémentaires du régulateur d’Iwasawa, Publications Mathématiques de Bordeaux 33 (2021), 1069–1075.
Robert Pollack, On the \(p\)-adic \({L}\)-function of a modular form at a supersingular prime, Duke Mathematical Journal 118 (2003), 523–558.
The PARI Group, Univ. Bordeaux, PARI/GP version 2.13.4, 2022, available from http://pari.math.u-bordeaux.fr/.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Additional information
Publisher's Note
Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.
Rights and permissions
Springer Nature or its licensor (e.g. a society or other partner) holds exclusive rights to this article under a publishing agreement with the author(s) or other rightsholder(s); author self-archiving of the accepted manuscript version of this article is solely governed by the terms of such publishing agreement and applicable law.
About this article
Cite this article
Perrin-Riou, B. Note sur les périodes d’Iwasawa associées à un \(\upvarphi \)-module filtré. Ann. Math. Québec (2024). https://doi.org/10.1007/s40316-024-00224-9
Received:
Accepted:
Published:
DOI: https://doi.org/10.1007/s40316-024-00224-9