Sur les modules d’Iwasawa S-ramifiés T-décomposés

R\'esum\'e

We correct the faulty formulas given in a previous article and we compute the defect group for the Iwasawa $\lambda$ invariants attached to the S-ramified T-decomposed abelian pro-$\ell$-extensions over the ${{\mathbb {Z}}_\ell }$-cyclotomic extension of a number field. As a consequence, we extend the results of Itoh, Mizusawa and Ozaki on tamely ramified Iwasawa modules for the cyclotomic ${{\mathbb {Z}}_\ell }$-extension of abelian fields.

Résumé

Nous corrigeons les formules fautives contenues dans un article précédent et explicitons le module de défaut pour les invariants $\lambda$ d’Iwasawa attachés aux pro-$\ell$-extensions abéliennes S-ramifiées T-décomposées sur la ${{\mathbb {Z}}_\ell }$-extension cyclotomique d’un corps de nombres. Les formules obtenues recoupent et prolongent les résultats de Itoh, Mizusawa et Ozaki sur les modules d’Iwasawa modérément ramifiés.

Appendices

Appendice: Suite exacte des classes infinitésimales ambiges

Appendice: Identité des classes infinitésimales ambiges

Nous reproduisons dans cet appendice pour la commodité du lecteur une preuve succincte de la formule des classes ambiges dans le cas particulier des $\ell$-classes S-infinitésimales qui nous intéresse ici. Nous renvoyons à [11], II.2 pour une étude équivariante plus générale.

Les données sont les suivantes: $\ell$ est un nombre premier impair; N/K est une $\ell$-extension cyclique de groupe $\Gamma$, et S est un ensemble fini de places finies de K étrangères à $\ell$.

Pour chacun des corps ci-dessus, par exemple N, le $\ell$-groupe des classes S-infinitésimales $\,{\mathcal {C}}\!\ell _N^{\,{S}}$ n’est autre que le $\ell$-adifié ${{\mathbb {Z}}_\ell }\otimes _{\mathbb {Z}}Cl_N^{\,{{\mathfrak {m}}}}$ du groupe des classes de rayons modulo ${{\mathfrak {m}}}_{{N}}^{{S}}=\prod _{{{\mathfrak {p}}}_{{N}}\mid S}{{\mathfrak {p}}}_{{N}}$ défini comme le quotient $Cl_N^{\,{{\mathfrak {m}}}}=D_N^{\,{{\mathfrak {m}}}}/P_N^{\,{{\mathfrak {m}}}}$ du groupe $D_N^{\,{{\mathfrak {m}}}}$ des diviseurs étrangers à ${{\mathfrak {m}}}_{{N}}^{{S}}$ par le sous-groupe $P_N^{\,{{\mathfrak {m}}}}$ des diviseurs principaux engendrés par les x de $N^\times$ qui vérifient $x\equiv 1 \;\textrm{mod}^\times {{\mathfrak {m}}}_{{N}}^{{S}}$.

Il vient: ${\mathcal {C}}\!\ell _N^{\,{S}}={\mathcal {D}}_N^{\,{S}}/{\mathcal {P}}_N^{\,{S}}$ avec ${\mathcal {D}}_N^{\,{S}}={{\mathbb {Z}}_\ell }\otimes _{\mathbb {Z}}D_N^{\,{S}}$ et ${\mathcal {P}}_N^{\,{{\mathfrak {m}}}}=\{(x)\in {\mathcal {D}}_N^{\,{{\mathfrak {m}}}} \,|\, p_{{S}}(x)=1\}$, puisqu’aux places étrangères à $\ell$, les $\ell$-adifiés $\,{\mathcal {U}}_{{{\mathfrak {p}}}_{{N}}}\!$ des groupes d’unités locales $U_{{{\mathfrak {p}}}_{{N}}}\!$ se réduisent aux $\ell$-groupes $\mu _{{{\mathfrak {p}}}_{{N}}}\!$ de racines de l’unité, de sorte que les éléments de ${\mathcal {R}}_N={{\mathbb {Z}}_\ell }\otimes _{\mathbb {Z}}N^\times$ construits sur les x de $N^\times$ qui vérifient la congruence précédente sont précisément ceux d’image locale triviale aux places au-dessus de S; i.e. les éléments du sous-groupe S-infinitésimal ${\mathcal {R}}_N^{\,{{\mathfrak {m}}}}=\{x\in {\mathcal {R}}_N \,|\, p_{{S}}(x)=1\}$.

Théorème

(Classes S-infinitésimales ambiges) Soient $\ell$ un nombre premier impair, N/K une $\ell$-extension cyclique de groupe $\Gamma$ et S un ensemble fini de places finies de K étrangères à $\ell$.

Alors le nombre de $\ell$-classes de $\,{\mathcal {C}}\!\ell ^{\,{S}}_N$ qui sont invariantes par $\Gamma$ est donné par:

$$\begin{aligned} |\,{\mathcal {C}}\!\ell ^{\,{S}\,\Gamma }_N| = |\,{\mathcal {C}}\!\ell ^{\,{S}}_K|\;\frac{\prod _{{{\mathfrak {p}}}_{{K}}\notin S} e_{{{\mathfrak {p}}}_{{K\!}}}(N/K) }{ [N:K]\;\big ({\mathcal {E}}^{\,{S}}_K:{\mathcal {E}}^{\,{S}}_K\cap N_{L/K}({\mathcal {R}}_N)\big )} \end{aligned}$$

où $e_{{{\mathfrak {p}}}_{{K\!}}}(N/K)$ est l’indice de ramification de ${{\mathfrak {p}}}_{{K}}$ et $\,{\mathcal {E}}_K^{\,{S}}$ le groupe des unités S-infinitésimales.

Preuve

Elle est essentiellement identique à celle de la formule de Chevalley ( [1], pp. 402–406).

(i) Comparaison des classes ambiges et des classes d’ambiges: on dispose d’un isomorphisme

$$\begin{aligned} {\mathcal {C}}\!\ell ^{\,{S}\,\Gamma }_N / cl^{{S}}({\mathcal {D}}^{\,{S}\,\Gamma }_N) \simeq {\mathcal {E}}^{\,{S}}_K\cap N_{N/K}({\mathcal {R}}_N) / N_{L/K}({\mathcal {E}}^{\,{S}}_L), \end{aligned}$$

obtenu en prenant un générateur arbitraire $\sigma$ de $\Gamma$ et en envoyant la classe d’un idéal ${{\mathfrak {a}}}$ qui vérifie ${{\mathfrak {a}}}^{\sigma -{{1}}}=(\alpha )$ sur celle de l’élément $\varepsilon = N_{L/K}(\alpha )$. D’où l’identité:

$$\begin{aligned} \big ({\mathcal {C}}\!\ell ^{\,{S}\,\Gamma }_N: cl^{{S}}({\mathcal {D}}^{\,{S}\,\Gamma }_N)\big ) = \frac{\big ({\mathcal {E}}^{\,{S}}_K: N_{N/K}({\mathcal {E}}^{\,{S}}_N)\big ) }{\big ({\mathcal {E}}^{\,{S}}_K:\;{\mathcal {E}}^{\,{S}}_K \cap \,N_{N/K}({\mathcal {R}}_N) \big )} \end{aligned}$$

(ii) Comparaison des classes d’ambiges et des classes étendues: on a l’égalité immédiate

$$\begin{aligned} |cl^{{S}}({\mathcal {D}}^{\,{S}\,\Gamma }_N)| =\big ({\mathcal {D}}^{\,{S}\,\Gamma }_N: {\mathcal {P}}^{\,{S}\,\Gamma }_N\big ) = \frac{\big ({\mathcal {D}}^{\,{S}\,\Gamma }_N:\,{\mathcal {D}}^{\,{S}}_K\big ) \; \big ({\mathcal {D}}^{\,{S}}_K:\,{\mathcal {P}}^{\,{S}}_K\big ) }{\big ({\mathcal {P}}^{\,{S}\,\Gamma }_N:\,{\mathcal {P}}^{\,{S}}_K\big ) } \end{aligned}$$

avec, au numérateur, $\big ({\mathcal {D}}^{\,{S}\,\Gamma }_N:\,{\mathcal {D}}^{\,{S}}_K\big ) = \prod _{{{\mathfrak {p}}}_{{K}}\notin S} e_{{{\mathfrak {p}}}_{{K\!}}}(N/K)$ et $\big ({\mathcal {D}}^{\,{S}}_K:{\mathcal {P}}^{\,{S}}_K\big ) = |{\mathcal {C}}\!\ell ^{\,{S}}_K|$.

(iii) Interprétation cohomologique du dénominateur: $\big ({\mathcal {P}}^{\,{S}\,\Gamma }_N:\,{\mathcal {P}}^{\,{S}}_K\big )=|H^1(\Gamma ,{\mathcal {E}}_N^{\,{S}})|$

Partant de la suite exacte courte $1 \rightarrow {\mathcal {E}}^{{S}}_N \rightarrow {\mathcal {R}}^{{S}}_N \rightarrow {\mathcal {P}}^{{S}}_N \rightarrow 1$, prenant ensuite la suite longue de cohomologie et la comparant à la suite de départ écrite pour K, on obtient la suite exacte

$$\begin{aligned} 1 \rightarrow {\mathcal {P}}^{\,{S}}_K \rightarrow {\mathcal {P}}^{\,{S}\,\Gamma }_N \rightarrow H^1(\Gamma ,{\mathcal {E}}^{{S}}_N) \rightarrow H^1(\Gamma ,{\mathcal {R}}^{{S}}_N) \end{aligned}$$

Or, prenant la suite de localisation $1 \rightarrow {\mathcal {R}}_N^{{S}} \rightarrow {\mathcal {R}}_N \rightarrow \prod _{{{\mathfrak {p}}}\in S} {\mathcal {R}}_{N_{{\mathfrak {p}}}} \rightarrow 1$, puis la cohomologie, on a:

$$\begin{aligned} 1 \rightarrow {\mathcal {R}}_K^{{S}} \rightarrow {\mathcal {R}}_K \rightarrow \prod _{{{\mathfrak {p}}}\in S} {\mathcal {R}}_{K_{{\mathfrak {p}}}} \rightarrow H^1(\Gamma , {\mathcal {R}}_N^{{S}}) \rightarrow H^1(\Gamma , {\mathcal {R}}_N)=1 \end{aligned}$$

et le terme de droite est trivial en vertu du Théorème 90 de Hilbert; d’où: $H^1(\Gamma , {\mathcal {R}}_N^{{S}})=1$.

(iv) Utilisation du quotient de Herbrand $q(\Gamma ,E_N)=\dfrac{|H^2(\Gamma ,E_N)|}{|H^1(\Gamma ,E_N)|}=\dfrac{1}{[N:K]}$ (cf. [6, 7]):

Observant que $\,{\mathcal {E}}^{{S}}_N$ est d’indice fini dans $\,{\mathcal {E}}_N$ on a: $q(\Gamma ,{\mathcal {E}}^{{S}}_N)=q(\Gamma ,{\mathcal {E}}_N)=q(\Gamma ,E_N)=\frac{1}{[N:K]}$.

Récapitulant le tout, on obtient le résultat annoncé. $\square$

Addendum

Le calcul des caractères structurels $\rho ^{{{{\bar{S}}}}}_{{{{\bar{T}}}}}$ et $\mu ^{{{{\bar{S}}}}}_{{{{\bar{T}}}}}$ est effectué dans [14]: le premier est purement galoisien; le second conjecturalement nul (et effectivement pour K abélien).

L’erreur sur le module de défaut, introduite dans [11], et reproduite dans [16] puis dans [14] a été repérée par Salle [20] puis corrigée dans [17] en collaboration avec Maire et Perbet. Comme expliqué dans l’introduction, le but premier de cette note est de préciser cette correction en termes de caractères en formulant correctement des identités du miroir de Gras pour les modules d’Iwasawa.

Les résultats présentés recoupent ceux de Itoh, Mizusawa et Ozaki [9] ainsi que ceux de Itoh [8] sur les modules d’Iwasawa modérément ramifiés. L’approche d’Itoh, totalement différente de la nôtre, repose sur le théorème de Kronecker-Weber et la description explicite des annulateurs pour les modules d’Iwasawa dans les tours cyclotomiques. Accessoirement elle utilise en outre les résultats de Khare et Wintenberger [18, 19] sur certains radicaux de Kummer.

Je remercie enfin tout particulièrement Ch. Maire et G. Gras ainsi que le rapporteur anonyme pour leur lecture critique.