Cohomologie cohérente et représentations Galoisiennes

Résumé

Dans cet article, on montre comment les idées introduites dans l’article Scholze (On torsion in the cohomology of locally symmetric varieties, prépublication, 2015) s’appliquent à l’étude de la cohomologie cohérente des variétés de Siegel, et plus généralement des variétés de Shimura de type Hodge. Le résultat principal affirme que les classes de cohomologie cohérente supérieure sont des limites p-adique de formes modulaires cuspidales. Ceci permet dans certains cas d’associer des représentations galoisiennes à des formes automorphes apparaissant dans la cohomologie cohérente de variétés de Shimura.

Abstract

In this paper, we show how the ideas introduced in Scholze (On torsion in the cohomology of locally symmetric varieties, prépublication, 2015) apply to the study of coherent cohomology of Siegel varieties, and more generally of Shimura varieties of Hodge type. The principal result asserts that higher cohomology classes are p-adic limits of cuspidal modular forms. This enables us to associate Galois representations to some automorphic representations appearing in the coherent cohomology of Shimura varieties.

Appendice: Compactifications

Dans cet appendice, nous introduisons des compactifications toroïdales et minimales entières des variétés de Siegel avec un niveau plein $p^n$ en p et nous décrivons le bord de ces compactifications. Ceci nous permet de justifier le fait que les formes modulaires associées aux classes de Hodge–Tate s’étendent à la compactification toroïdale et que les produits extérieurs g à g descendent à la minimale. Nous montrons également que les compactifications toroïdales des variétés de Siegel en niveau $p^\infty$ sont perfectoïdes. Pour simplifier la rédaction, nous faisons comme si $K^{p} = \mathrm {GSp}_{2g}(\prod _{q\ne p} \mathbb {Z}_q)$.

1.1 Les cartes formelles

Commençons par introduire les cartes formelles qui permettent de décrire le bord des compactifications toroïdales des variétés de Siegel. Soit $V = \oplus _{i=1}^{2g} \mathbb {Z}e_i$ un $\mathbb {Z}$-module libre de rang 2g équipé d’une forme symplectique de matrice

$$\begin{aligned} J=\left( \begin{matrix} 0 &{}\quad 1_g \\ -1_g &{}\quad 0 \end{matrix} \right) \end{aligned}$$

Pour tout facteur direct totalement isotrope $V'$ de V on considère $C(V/{V'}^\bot )$ le cône des formes bilinéaires symétriques semi-définie positives sur $(V/{V'}^\bot ) \otimes \mathbb {R}$ dont le noyau est défini sur $\mathbb {Q}$. Si $V' \subset V''$ on a une inclusion $C(V/{V''}^\bot ) \subset C(V/{V'}^\bot )$. Soit $\mathfrak {C}$ l’ensemble de tous les facteurs directs totalement isotropes $V' \subset V$ et $\mathcal {C}$ le quotient de l’union disjointe

$$\begin{aligned} \coprod _{V' \in \mathfrak {C}} C(V/{V'}^\bot ) \end{aligned}$$

par la relation d’équivalence induite par les inclusions $C(V/{V''}^\bot ) \subset C(V/{V'}^\bot )$. Soit $\Gamma = \mathrm {GSp}(V)$. Fixons $\mathcal {S}$ une décomposition polyhédrale rationelle de $\mathcal {C}$ qui est $\Gamma$-admissible (voir [9], Chap IV, sect. 2). Soit $V' \in \mathfrak {C}$ un module de rang r et $\sigma \in \mathcal {S}$ dans l’intérieur de $C(V/{V'}^\bot )$. On va construire pour tout $n\ge 1$ un diagramme

(4.1.A)

Les objets de ces diagrammes sont définis ainsi :

• $\mathfrak {X}_{V'} \rightarrow \mathrm {Spf}(\mathcal {O}_{\mathbb {C}_p})$ est la variété de Siegel formelle de genre $g-r$, où $r = \mathrm {rg}_\mathbb {Z}(V')$. On note $A_{V'}$ le schéma abélien universel sur $\mathfrak {X}_{V'}$. Soit $\mathcal {X}_{V'}$ la fibre générique rigide de $\mathfrak {X}_{V'}$. On note $\mathcal {X}_{V'}(p^n)\rightarrow \mathcal {X}_{V'}$ le revêtement étale qui paramètre des isomorphismes symplectiques $A_{V'}[p^n] \simeq ({V'}^\bot /V') \otimes _{\mathbb {Z}} \mathbb {Z}/p^n\mathbb {Z}$. On définit $\mathfrak {X}_{V'}(p^n) \rightarrow \mathfrak {X}_{V'}$ comme la normalisation de $\mathfrak {X}_{V'}$ dans $\mathcal {X}_{V'}(p^n)$.

• On note

  $$\begin{aligned} \mathfrak {B}_{V',n} = \mathrm {Hom}_{ \mathfrak {X}_{V'}(p^n)}\left( \frac{1}{p^n}{V}/{V'}^\bot , A_{V'}\right) \simeq A_{V'}^{r}\times _{\mathfrak {X}_{V'}} \mathfrak {X}_{V'}(p^n) \end{aligned}$$

  Au dessus de $\mathfrak {B}_{V'} =\mathfrak {B}_{V',0}$, on a un morphisme universel $c : V/{V'}^\bot \rightarrow A_{V'}$ et un schéma semi-abelien universel

  $$\begin{aligned} 0 \, \longrightarrow \, \mathrm {T}_{V'} \, \longrightarrow \, \tilde{G}_{V'} \, \longrightarrow \, A_{V'} \rightarrow 0 \end{aligned}$$

  où $\mathrm {T}_{V'}$ est le tore $V'\otimes _\mathbb {Z}\mathbb {G}_m$. Au dessus de $\mathfrak {B}_{V',n}$, on a un morphisme universel

  $$\begin{aligned} c_n \, : \, \frac{1}{p^n}V/{V'}^\bot \, \longrightarrow \, A_{V'} \end{aligned}$$

  et une isogénie de schémas semi-abéliens

  

  de noyau $A_{V'}[p^n] \hookrightarrow \tilde{G}_{V'}[p^n]$.

• $\mathfrak {M}_{V'} = \mathfrak {M}_{V',0}$ est la complétion formelle p-adique de l’espace de modules des 1-motifs principalement polarisés. On peut décrire cet espace de modules ainsi : il paramètre les trivialisations bilinéaires symétriques au dessus de $V/{V'}^\bot \times V/{V'}^\bot$ du fibré $(c \times c)^\star \mathcal {P}^{-1}$ où $\mathcal {P} \rightarrow A_{V'} \times A_{V'}$ est la bi-extension de Poincaré. Au dessus de $\mathfrak {M}_{V'}$, on a un 1-motif principalement polarisé universel

  $$\begin{aligned} M_{V'}\, = \, [ {V}/V'^\bot \,\longrightarrow \, \tilde{G}_{V'}]. \end{aligned}$$

  L’espace $\mathfrak {M}_{V',n}$ paramètre, au dessus de $\mathfrak {M}_{V'}\times _{\mathfrak {X}_{V'}} \mathfrak {X}_{V'}(p^n)$, les chaînes autoduales d’isogénies

  $$\begin{aligned} M_{V'}\, \longrightarrow \, M_{V'}/H \,\longrightarrow \, M_{V'}/H^\bot \,\longrightarrow \, M_{V'} \end{aligned}$$

  dont la composée est la multiplication par $p^n$ et où $H \subset M_{V'}[p^n]$ est un sous-groupe totalement isotrope qui relève $({V}/V'^\bot )\otimes \mathbb {Z}/p^n\mathbb {Z}$. On peut le décrire ainsi (voir [9], Chap IV, sect. 6.5). C’est l’espace des trivialisations bilinéaires symétriques au dessus de $\frac{1}{p^n}V/{V'}^\bot \times \frac{1}{p^n}V/{V'}^\bot$ du fibré

  $$\begin{aligned} (c_n \times c_n)^\star \, \mathcal {P}^ {-p^n}\, . \end{aligned}$$

  On peut le munir d’une structure de torseur au dessus de $\mathfrak {B}_{V',n}$ sous le tore formel p-adique

  $$\begin{aligned} \mathrm {Hom}\left( \frac{1}{p^n}\mathrm {Sym}^2 (V/{V'}^\bot ), \, \widehat{\mathbb {G}}_m\right) \, . \end{aligned}$$

  En effet, pour tout $\uplambda \in \frac{1}{p^{n}}\mathrm {Sym}^2 (V/{V'}^\bot )$, notons $\mathcal {L}(\uplambda )$ le faisceau inversible sur $\mathfrak {B}_{V',n}$ obtenu en tirant en arrière le faisceau $\mathcal {P}^{p^n}$ le long de l’application $\mathfrak {B}_{V',n} \rightarrow A_{V'}\times A_{V'}$ obtenue en évaluant $c_n\times c_n$ sur $\frac{1}{p^n}\uplambda$. On a des isomorphismes canoniques $\mathcal {L}(\uplambda + \uplambda ' ) = \mathcal {L}(\uplambda ) \otimes \mathcal {L}(\uplambda ')$ et $\mathfrak {M}_{V',n}$ n’est autre que le spectre formel relatif de l’algèbre gradué

  $$\begin{aligned} \mathfrak {M}_{V',n} = \mathrm {Spf}_{\mathfrak {B}_{V',n}} \left( \widehat{\bigoplus }_{\uplambda } \, \mathcal {L}(\uplambda )\right) \end{aligned}$$

  où le chapeau désigne la complétion p-adique. C’est bien un torseur sous

  $$\begin{aligned} \mathrm {Hom}\left( \frac{1}{p^n}\mathrm {Sym}^2 (V/{V'}^\bot ), \, \widehat{\mathbb {G}}_m\right) . \end{aligned}$$

  Remarquons bien qu’au dessus de $\mathfrak {M}_{V',n}$ on a une isogénie

  

  Son noyau vaut ${V}/V'^\bot \otimes \mathbb {Z}/p^n\mathbb {Z}\hookrightarrow M_{V'}[p^n]$ et on dispose donc d’un isomorphisme

  $$\begin{aligned} M_{V'}[p^n] = \left( V'/p^n V' \otimes \mu _{p^n}\right) \oplus A_{V'}[p^n] \oplus \left( {V}/V'^\bot \otimes \mathbb {Z}/p^n\mathbb {Z}\right) \end{aligned}$$

  (4.1.B)

  qui explique pourquoi $\mathfrak {M}_{V',n}$ intervient dans la construction des compactifications toroïdales de niveau $p^n$.

• $\mathfrak {M}_{V',n} \rightarrow \mathfrak {M}_{V',n,\sigma }$ est le plongement torique affine formel associé au cône $\sigma \in C(V/{V'}^\bot )$

  $$\begin{aligned} \mathfrak {M}_{V',n, \sigma } = \mathrm {Spf}_{\mathcal {B}_{V',n}} \left( \widehat{\bigoplus }_{\uplambda , <\uplambda ,\sigma > \ge 0} \mathcal {L}(\uplambda )\right) . \end{aligned}$$

• $\mathfrak {M}_{V',n} \rightarrow \mathfrak {M}_{V',n,\mathcal {S}}$ est le plongement torique localement de type fini associé à la décomposition polyhédrale $\mathcal {S}$. Le schéma formel $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }$ est ouvert affine dans $\mathfrak {M}_{V',n,\mathcal {S}}$.

On note $\mathfrak {Z}_{n,\sigma }$ la strate fermée de $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }$ et $\mathfrak {Z}_{V',n}$ la strate fermée dans $\mathfrak {M}_{V',n,\mathcal {S}}$. Soit enfin $\Gamma _{V'}$ le stabilisateur de $V'$ dans $\Gamma$, qui agit sur

$$\begin{aligned} C(V/{V'}^\bot ) \end{aligned}$$

et sur le plongement torique ${\mathfrak {M}}_{V',n,\mathcal {S}}$.

1.2 Changement de niveau

Pour tout $n\ge m$ on dispose d’un morphisme canonique $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)\rightarrow \mathfrak {X}_{V'}(p^m)$ d’oubli partiel du niveau. On dispose également d’un morphisme $\mathfrak {B}_{V',n}\rightarrow \mathfrak {B}_{V',m}$ qui par les identifications

$$\begin{aligned} \mathfrak {B}_{V',n}= & {} \mathrm {Hom}_{ \mathfrak {X}_{V'}(p^n)}\left( \frac{1}{p^n}{V}/{V'}^\bot , A_{V'}\right) \\ \mathfrak {B}_{V',m}= & {} \mathrm {Hom}_{ \mathfrak {X}_{V'}(p^m)}\left( \frac{1}{p^m}{V}/{V'}^\bot , A_{V'}\right) \end{aligned}$$

correspond à l’inclusion $\frac{1}{p^m}{V}/{V'}^\bot \subset \frac{1}{p^n}{V}/{V'}^\bot$. Par les identifications précédentes

$$\begin{aligned} \mathfrak {B}_{V',n}\simeq & {} A_{V'}^{r}\times _{\mathfrak {X}_{V'}} \mathfrak {X}_{V'}(p^n) \\ \mathfrak {B}_{V',m}\simeq & {} A_{V'}^{r}\times _{\mathfrak {X}_{V'}} \mathfrak {X}_{V'}(p^m) \end{aligned}$$

le morphisme $\mathfrak {B}_{V',n}\rightarrow \mathfrak {B}_{V',m}\times _{\mathfrak {X}_{V'}(p^m)} \mathfrak {X}_{V'}(p^n)$ correspond à la multiplication par $p^{n-m}$ de $A_{V'}^r$. On dispose enfin d’un morphisme $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }\rightarrow \mathfrak {M}_{V',m,\sigma }$. Via les identifications

$$\begin{aligned} \mathfrak {M}_{V',n, \sigma }= & {} \mathrm {Spf}_{\mathcal {B}_{V',n}} \left( \widehat{\bigoplus }_{\uplambda \in \frac{1}{p^{n}}\mathrm {Sym}^2 (V/{V'}^\bot ), \, <\uplambda ,\sigma > \ge 0} \, \mathcal {L}(\uplambda )\right) \\ \mathfrak {M}_{V',m, \sigma }= & {} \mathrm {Spf}_{\mathcal {B}_{V',m}} \left( \widehat{\bigoplus }_{\uplambda \in \frac{1}{p^{m}}\mathrm {Sym}^2 (V/{V'}^\bot ), \, <\uplambda ,\sigma > \ge 0} \, \mathcal {L}(\uplambda )\right) \end{aligned}$$

il correspond à l’inclusion $\frac{1}{p^{m}}\mathrm {Sym}^2 (V/{V'}^\bot )\subset \frac{1}{p^{n}}\mathrm {Sym}^2 (V/{V'}^\bot )$.

1.3 Compactification toroïdale

On rappelle que $\mathfrak {X}$ est la variété de Siegel formelle de genre g sur $\mathrm {Spf}(\mathcal {O}_{\mathbb {C}_p})$ et de niveau premier à p et que $\mathfrak {X}^{tor}$ est la compactification toroïdale associé à $\mathcal {S}$. Nous notons $\mathcal {X}(p^n)$ la variété rigide, finie étale sur $\mathcal {X}$ qui paramètre une structure pleine de niveau $p^n$ et $\mathcal {X}(p^n)^{tor}$ la compactification toroïdale associée à $\mathcal {S}$. On a donc un morphisme fini $\mathcal {X}(p^n)^{tor} \rightarrow \mathcal {X}^{tor}$ et nous notons $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ la normalisation de $\mathfrak {X}^{tor}$ dans $\mathcal {X}(p^n)^{tor}$. La base donnée de V fournit des structures principales de niveau $p^n$

$$\begin{aligned} \psi _n:(\mathbb {Z}/p^n\mathbb {Z})^{2g} \, \simeq \, V/p^nV . \end{aligned}$$

Soit $\Gamma (p^n)$ le sous-groupe de congruence de $\Gamma = \mathrm {GSp}(V) \simeq \mathrm {GSp}_{2g}(\mathbb {Z})$ qui laisse stable $\psi _n$ et soit $\Gamma (p^n)_{V'}$ le stabilisateur de $V'$ dans $\Gamma (p^n)$.

Théorèm 4.1

Les points suivants sont vérifiés

• 1. La compactification toroïdale $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ possède une stratification indexée par $\mathfrak {C}/\Gamma (p^n)$. Pour tout $V' \in \mathfrak {C},$ la complétion de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ le long de la $V'$-strate est isomorphe à $\widehat{\mathfrak {M}}_{V',n,\mathcal {S}}/\Gamma (p^n)_{V'}$ où $\widehat{\mathfrak {M}}_{V',n,\mathcal {S}}$ est la complétion de $\mathfrak {M}_{V',n,\mathcal {S}}$ le long de la strate $\mathfrak {Z}_{V',n}$.

• 2. La compactification toroïdale $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ possède une stratification plus fine indexée par $\mathcal {S}/\Gamma (p^n)$. Soit $\sigma \in \mathcal {S}$. La strate correspondante dans $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ est isomorphe à $\mathfrak {Z}_{n,\sigma }$. Soit $\mathfrak {Z}$ un ouvert affine de $\mathfrak {Z}_{n,\sigma }$. L’hensélisation de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ le long de $\mathfrak {Z},$ notée $\mathfrak {X}(p^n)^{tor,h,\mathfrak {Z}},$ est isomorphe à l’hensélisation de $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }$ le long de $\mathfrak {Z},$ notée $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }^{h,\mathfrak {Z}}$.

• 3. Sur $\mathfrak {X}(p^n)^{tor,h,\mathfrak {Z}}$ on dispose par restriction du schéma semi-abélien A qui vérifie les compatibilités suivantes

  • Sur l’ouvert de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor,h,\mathfrak {Z}}$ où A est abélien,  on a un isomorphisme

    $$\begin{aligned} M_{V'}[p^n] \simeq A[p^n]. \end{aligned}$$

    Cet isomorphisme est compatible à la structure de niveau donné à gauche par l’égalité 4.1.B et à droite par la structure universelle,  la compatibilité étant fournie par l’isomorphisme

    $$\begin{aligned} (\mathbb {Z}/p^n\mathbb {Z})^{2g}=V/p^n V=V'/p^n V' \oplus (V'^\bot /V'\otimes \mathbb {Z}/p^n ) \oplus (V/V'^\bot \otimes \mathbb {Z}/p^n). \end{aligned}$$

  • On a un isomorphisme $\omega _{A} = \omega _{\tilde{G}_{V'}}$.

  • On a un plongement $\tilde{G}[p^n] \hookrightarrow A$.

• 4. Les isomorphismes apparaissant dans les points précédents du théorème sont compatibles au morphisme canonique $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}\rightarrow \mathfrak {X}(p^m)^{tor}$ pour tout $n\ge m$ et au morphisme décrit dans le paragraphe “Changement de niveau”.

Démonstration

Lorsque $n=0$ ou au niveau rigide, c’est [9], chap IV, sect. 5 et 6. Montrons le second point. D’après [9, prop.4.4], au voisinage de la $\sigma$-strate $\mathfrak {X}^{tor}$ est localement pour la topologie étale isomorphe à $\mathfrak {M}_{V',0,\sigma }$. Comme la normalisation commute à la localisation étale, on se ramène à vérifier (c’est par exemple l’assertion d’unicité contenue dans la proposition 1.1) que $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }$ est le normalisé de $\mathfrak {M}_{V',0,\sigma }$ dans la fibre générique rigide de $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }$, ce qui est évident car $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }$ est normal et fini sur $\mathfrak {M}_{V',0,\sigma }$. Le premier point se montre de la même manière en tenant compte du fait que le complété d’un anneau normal excellent reste normal. Pour le troisième point voir [9], Chap III, sect. 5 et également [32], sect. 2.3.3. Le dernier point est clair.$\square$

1.4 Compactification minimale

On suppose ici que $p^n\ge 3$ pour que le niveau soit net. C’est le cas pour tout p si $n\ge n_0$ décrit précedemment. On rappelle que $\mathfrak {X}^*$ est la compactification minimale formelle sans niveau en p, que $\mathcal {X}(p^n)^*$ est la compactification minimale rigide de niveau plein $p^n$ et que $\mathfrak {X}(p^n)^*$ est la normalisée de $\mathfrak {X}^*$ dans $\mathcal {X}(p^n)^*$. On dispose de plus d’un morphisme canonique $f:\mathfrak {X}(p^n)^{tor}\rightarrow \mathfrak {X}(p^n)^*$ tel que $f_*(\mathcal {O})=\mathcal {O}$ et qui identifie $\mathfrak {X}(p^n)^*$ à la factorisation de Stein du faisceau semi-ample $\mathrm {det}\, \omega _A$ sur $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$.

Lemma 4.2

La compactification minimale $\mathfrak {X}(p^n)^*$ possède une stratification paramétrée par $\mathfrak {C}/\Gamma (p^n)$. Le morphisme f est compatible à cette stratification et à celle décrite dans le théorème 4.1.

Démonstration

Le morphisme f est surjectif par construction. Il s’agit de vérifier que deux strates distinctes de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ ont des images différentes par f. Supposons que x est un point dans l’image de la strate associée à $V'\in \mathfrak {C}$. Soit C une courbe propre lisse connexe s’envoyant sur $\pi ^{-1}(x)$. D’après [9, prop.V.2.2] on trouve que la restriction de A à C est extension d’un schéma abélien isotrivial par un tore déployé. Soit y un point de C. Sur l’image de $\mathfrak {X}(p^n)$ dans le complété de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ en y on obtient un isomorphisme $A[p^n]\simeq (\mathbb {Z}/p^n\mathbb {Z})^{2g}=V/p^nV$ (voir le début du paragraphe 1.3) et la filtration à trois crans de $A[p^n]$ fournie par la construction de Mumford fournit un $V''\in \mathfrak {C}$ qui est bien déterminé modulo $\Gamma (p^n)$. L’application $y\mapsto ~V''$ de C dans $\mathfrak {C}/\Gamma (p^n)$ ainsi obtenue est localement constante donc constante puisque C est connexe. Elle est donc constante dans les fibres connexes de $\pi$. Ainsi $V''=V'$ car cette égalité a lieu lorsque y est dans la $V'$-strate de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ par le point 3 du théorème 4.1. Ainsi $V'\in \mathfrak {C}/\Gamma (p^n)$ est uniquement déterminé par x, d’où le résultat.$\square$

Introduisons maintenant le développement de Fourier–Jacobi des sections de $\mathrm {det}\, \omega _A^k$ sur $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ pour tout entier $k\ge 0$. Soit $V'\in \mathfrak {C}$ et $\sigma \in \mathcal {S}$ qui est dans l’intérieur de $C(V/V'^\perp )$. Notons $\sigma ^\vee$ l’ensemble des $\uplambda$ tels que $\langle \uplambda ,\sigma \rangle \ge 0$ et $\sigma ^>$ l’ensemble des $\uplambda$ tels que $\langle \uplambda , \sigma \rangle >0$. Soit M un $\mathbb {Z}_p$-module et $f\in \mathrm {H}^0(\mathfrak {X}(p^n)^{tor}, \, M\otimes \mathrm {det}\, \omega _A^k)$. L’évaluation de f sur le complété formel de $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }$ le long de la $\sigma$-strate fournit un élément

$$\begin{aligned}&FJ_\sigma (f) \, = \sum _{\uplambda \in \frac{1}{p^n} \mathrm {Sym}^2(V/V'^\perp ) \cap \sigma ^\vee } a_{\uplambda ,\sigma }(f) \, \\&\quad \in \prod _{\uplambda \in \frac{1}{p^n} \mathrm {Sym}^2(V/V'^\perp ) \cap \sigma ^\vee } \mathrm {H}^0\left( \mathfrak {B}_{V',n}, \, \mathcal {L}(\uplambda )\otimes M \otimes \mathrm {det}\left( \omega _{A_{V'}} \otimes V/V'^\bot \right) ^k \right) . \end{aligned}$$

On vérifie que $a_{\uplambda ,\sigma }(f)$ est indépendant de $\sigma$ et de $\mathcal {S}$ et on le note $a_{\uplambda ,V'}(f)$. La famille des $(a_{\uplambda ,V'}(f))_{\uplambda }$ est à support dans $C(V/V'^\bot )^\vee )$.

Lemma 4.3

La restriction de f à la $\sigma$-strate de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ ne dépend que de $V'$ et est égale à

$$\begin{aligned}&a_{0,V'}(f) \, \in \, \mathrm {H}^0\left( \mathfrak {B}_{V',n}, M\otimes \mathrm {det}\left( \omega _{A_{V'}} \otimes V/V'^\bot \right) ^k \right) \, \\&\quad = \, \mathrm {H}^0\left( \mathfrak {X}_{V'}(p^n), M\otimes \mathrm {det}\left( \omega _{A_{V'}} \otimes V/V'^\bot \right) ^k \right) \end{aligned}$$

Démonstration

L’idéal de la $\sigma$-strate est engendré par les $\mathrm {H}^0(\mathfrak {B}_{V',n},\mathcal {L}(\uplambda ))$ où $\uplambda \in \frac{1}{p^n} \mathrm {Sym}^2(V/V'^\perp ) \cap \sigma ^>$ et le développement de Fourier–Jacobi est à support dans $C(V/V'^\bot )^\vee$. Or $C(V/V'^\bot )^\vee \setminus \sigma ^> = \left\{ 0 \right\}$ car $\sigma$ est inclus dans l’intérieur de $C(V/V'^\perp )$.$\square$

Lemma 4.4

Soit $V'\in \mathfrak {C}/\Gamma (p^n)$. La restriction de f à la $V'$-strate $\mathfrak {Z}_{V',n}$ de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ se factorise via les morphismes du diagramme 4.1.A en une application radicielle de $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)$ dans $f(\mathfrak {Z}_{V',n})$.

Démonstration

Comme $\mathfrak {X}(p^n)^*$ est la factorisation de Stein d’une puissance de $\mathrm {det}\, \omega _A$ sur $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$, le morphisme f est obtenu en évaluant des éléments de $\mathrm {H}^0(\mathfrak {X}(p^n)^{tor},\mathrm {det}\, \omega _A^k)$ pour k variable. Le fait que la restriction de f à $\mathfrak {Z}_{V',n}$ se factorise par $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)$ provient alors du lemme 4.3. Soit $x\in f(\mathfrak {Z}_{V',n})$ et C une courbe propre lisse connexe s’envoyant dans $\pi ^{-1}(x)$. D’après [9, prop.V.2.2], la partie abélienne de la restriction de A à C est isotriviale d’où le caractère radiciel de la factorisation de f.$\square$

Lemma 4.5

Soit $V'\in \mathfrak {C}$ et x un point de la $V'$-strate de $\mathfrak {X}(p^n)^*$. On note toujours x l’unique point de $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)$ fourni par le morphisme radiciel $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)\rightarrow f(\mathfrak {Z}_{V',n})$. Il existe un isomorphisme canonique

$$\begin{aligned} \widehat{\mathscr {O}}_{\mathfrak {X}(p^n)^*,\, x} \, = \, \left( \prod _{\uplambda \in \frac{1}{p^n} \mathrm {Sym}^2(V/V'^\perp ) \cap C(V/V'^\bot )^\vee } \mathrm {H}^0\left( \widehat{\mathfrak {B}}_{V',n,x}, \, \mathcal {L}(\uplambda )\right) \right) ^{\Gamma (p^n)_{V'}} \end{aligned}$$

où $\widehat{\mathfrak {B}}_{V',n,x}$ désigne le complété formel de $\mathfrak {B}_{V',n}$ le long de la fibre en x du morphisme $\mathfrak {B}_{V',n}\rightarrow \mathfrak {X}_{V'}(p^n)$.

Démonstration

C’est le théorème des fonctions formelles appliqué au morphisme f combiné avec la description du complété de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ le long de la $V'$-strate fournie par le point 1 du théorème 4.1.$\square$

Corollaire 4.6

On a un isomorphisme canonique $f_*(\mathscr {O})/p^k = f_*(\mathscr {O}/p^k)$.

Démonstration

Par dévissage, on se ramène à supposer $k=1$. On teste l’isomorphisme sur les complétés en chaque point. Soit x un point de $\mathfrak {X}(p^n)^*\times \mathrm {Spec}(\mathbb {F}_p)$. Comme $f_*(\mathscr {O})=\mathscr {O}$, on trouve d’après le lemme 4.5 que

$$\begin{aligned}&\mathrm {H}^0(\widehat{\mathscr {O}}_{\mathfrak {X}(p^n)^*,x}, \, f_*(\mathscr {O})/p)\\&\quad = \left( \prod _{\uplambda \in \frac{1}{p^n} \mathrm {Sym}^2(V/V'^\perp ) \cap C(V/V'^\bot )^\vee } \mathrm {H}^0\left( \widehat{\mathfrak {B}}_{V',n,x}, \, \mathcal {L}(\uplambda )\right) \right) ^{\Gamma (p^n)_{V'}} \otimes \, \mathbb {F}_p\, . \end{aligned}$$

Toujours d’après le théorème des fonctions formelles on a

$$\begin{aligned}&\mathrm {H}^0(\widehat{\mathscr {O}}_{\mathfrak {X}(p^n)^*,x}, \, f_*(\mathscr {O}/p))\\&\quad = \left( \prod _{\uplambda \in \frac{1}{p^n} \mathrm {Sym}^2(V/V'^\perp ) \cap C(V/V'^\bot )^\vee } \mathrm {H}^0\left( \widehat{\mathfrak {B}}_{V',n,x} \otimes \, \mathbb {F}_p, \, \mathcal {L}(\uplambda )\right) \right) ^{\Gamma (p^n)_{V'}} \end{aligned}$$

Pour tout $\uplambda$, le faisceau inversible $\mathcal {L}(\uplambda )$ sur $\mathfrak {B}_{V',n}=\mathrm {Hom}_{ \mathfrak {X}_{V'}(p^n)}(\frac{1}{p^n}{V}/{V'}^\bot , A_{V'})$ provient par image inverse d’un faisceau inversible $\mathcal {L}'(\uplambda )$ sur $\mathrm { Hom}_{ \mathfrak {X}_{V'}(p^n)}(V'_\uplambda , A_{V'})$ où $V'_\uplambda$ est le facteur direct minimal de $\frac{1}{p^n}{V}/{V'}^\bot$ tel que $\uplambda$ se factorise par le dual de $V'_\uplambda$. On obtient donc une surjection de schémas abéliens

$$\begin{aligned} \mathrm {Hom}_{ \mathfrak {X}_{V'}(p^n)}\left( \frac{1}{p^n}{V}/{V'}^\bot , A_{V'}\right) \, \longrightarrow \, \mathrm {Hom}_{ \mathfrak {X}_{V'}(p^n)}(V'_\uplambda , A_{V'}) \end{aligned}$$

sur $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)$ et $\mathcal {L}'(\uplambda )$ est relativement ample. La formation de ses sections globales commute donc à la réduction modulo p par le théorème de Riemann-Roch pour les schémas abéliens. De plus le stabilisateur de $\uplambda$ dans $\Gamma (p^n)_{V'}$ agit trivialement sur $V'_\uplambda$ donc la formation des invariants par $\Gamma (p^n)_{V'}$ commute également à la réduction modulo p.$\square$

En raisonnant comme [9, th.V.2.5] il est alors aisé de démontrer le résultat suivant, que nous n’utiliserons pas.

Théorèm 4.7

La compactification minimale $\mathfrak {X}(p^n)^*$ possède une stratification paramétrée par $\mathfrak {C}/\Gamma (p^n)$. La strate associée à $V'\in \mathfrak {C}$ est canoniquement isomorphe à $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)$.

1.5 Compactification toroïdale perfectoïde

Notons $\mathfrak {X}(p^\infty )^{tor-mod}$ la limite projective sur $n\ge n_0$ des $\mathfrak {X}(p^n)^{tor-mod}$ dans la catégorie des schémas formels p-adiques et $\mathcal {X}(p^\infty )^{tor-mod}$ sa fibre générique dans le sens de [30]. Notre but dans ce paragraphe est de vérifier que $\mathcal {X}(p^\infty )^{tor-mod}$ est perfectoïde sachant que c’est le cas des variétés de Siegel ouvertes de niveau infini et de tout genre d’après [29].

Remarque 4.8

Soit $\mathfrak {X}(p^\infty )^{tor}$ la limite projective des $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ dans la catégorie des schémas formels p-adiques et $\mathcal {X}(p^\infty )^{tor}$ sa fibre générique dans le sens de [30]. On dispose d’un morphisme $\mathcal {X}(p^\infty )^{tor-mod}\rightarrow \mathcal {X}(p^\infty )^{tor}$ mais nous ne savons pas si c’est un isomorphisme.

Soit $n\ge n_0$ et $V'\in \mathfrak {C}$. On a introduit précédemment la variété de Siegel $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)\rightarrow \mathrm {Spf}(\mathcal {O}_{\mathbb {C}_p})$ de genre $g-r$ où $r=\mathrm {rg}_\mathbb {Z}(V')$. Elle admet également une compactification toroïdale $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)^{tor}$ construite par normalisation. On peut lui appliquer les constructions de la première partie en remplaçant partout g par $g-r$ et l’on obtient un schéma formel admissible normal $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)^{tor-mod}$ muni d’une flèche vers $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)^{tor}$. On pose alors

$$\begin{aligned} \mathfrak {X}_{V'}(p^n)^{mod}= & {} \mathfrak {X}_{V'}(p^n) \times _{\mathfrak {X}_{V'}(p^n)^{tor}} \mathfrak {X}_{V'}(p^n)^{tor-mod}\, ,\\ \mathfrak {B}_{V',n}^{mod}= & {} \mathfrak {B}_{V',n}\times _{\mathfrak {X}_{V'}(p^n)} \mathfrak {X}_{V'}(p^n)^{mod}\, ,\\ \mathfrak {M}_{V',n,\sigma }^{mod}= & {} \mathfrak {M}_{V',n,\sigma }\times _{\mathfrak {X}_{V'}(p^n)} \mathfrak {X}_{V'}(p^n)^{mod}\, ,\\ \mathfrak {Z}_{n,\sigma }^{mod}= & {} \mathfrak {Z}_{n,\sigma }\times _{\mathfrak {X}_{V'}(p^n)} \mathfrak {X}_{V'}(p^n)^{mod} \end{aligned}$$

pour tout $\sigma \in \mathcal {S}$ qui est inclus dans l’intérieur de $C(V/V'^\perp )$.

Soit $\hat{\sigma } = (\sigma _n) \in \lim _n{\mathcal {S}}/\Gamma (p^n)$ et soit $\hat{V}' = (V_n') \in \lim _n \mathfrak {C}/\Gamma (p^n)$ tels que $\sigma _n$ soit dans l’intérieur de $V'_n$, on peut former dans la catégorie des schémas formels p-adiques les limites projectives

$$\begin{aligned} \mathfrak {X}_{\hat{V'}}(p^\infty )^{mod}= & {} \varprojlim _n \mathfrak {X}_{V'_n}(p^n)^{mod} \\ \mathfrak {B}_{\hat{V'},\infty }^{mod}= & {} \varprojlim _n \mathfrak {B}_{V'_n,n}^{mod} \\ \mathfrak {M}_{\hat{V'},\infty ,\hat{\sigma }}^{mod}= & {} \varprojlim _n \mathfrak {M}_{V'_n,n,\sigma _n}^{mod} \\ \mathfrak {Z}_{\infty ,\hat{\sigma }}^{mod}= & {} \varprojlim _n \mathfrak {Z}_{n,\sigma _n}^{mod}. \end{aligned}$$

Proposition 4.9

• 1. Le schéma formel $\mathfrak {X}(p^n)^{tor-mod}$ possède une stratification indexée par $\mathcal {S}/\Gamma (p^n)$ et pour tout $\sigma \in \mathcal {S}$, la $\sigma$-strate associée est canoniquement isomorphe à $\mathfrak {Z}_{n,\sigma }^{mod}$.

• 2. La complétion formelle de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor-mod}$ le long de la $\sigma$-strate est canoniquement isomorphe à la complétion formelle de $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }^{mod}$ le long de $\mathfrak {Z}_{n,\sigma }^{mod}$. Pour tout point géométrique x de la $\sigma$-strate $\mathfrak {Z}_{n,\sigma }^{mod},$ les hensélisés stricts en x de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor-mod}$ et $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }^{mod}$ sont isomorphes.

• 3. Le schéma formel $\mathfrak {X}(p^\infty )^{tor-mod}$ possède une stratification indexée par l’ensemble pro-fini $\lim _n \mathcal {S}/\Gamma (p^n)$. Soit $\hat{\sigma }= (\sigma _n)_{n \ge n_0} \in \lim _n \mathcal {S}/\Gamma (p^n)$ et $\hat{V'} = (V'_n)$ tel que $\sigma _n$ soit dans l’intérieur de $C(V/V_n'^\perp )$. La $\hat{\sigma }$-strate est canoniquement isomorphe à $\mathfrak {Z}_{\infty ,\hat{\sigma }}^{mod}$ et la complétion formelle le long de la $\hat{\sigma }$-strate est isomorphe à la complétion formelle de $\mathfrak {M}_{\hat{V'},n,\hat{\sigma }}^{mod}$ le long de cette strate.

Démonstration

Le fait que $\mathfrak {X}(p^n)^{tor-mod}$ possède une stratification indexée par $\mathcal {S}/\Gamma (p^n)$ résulte du même énoncé pour $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ (théorème 4.1). Le reste de la démonstration est réminiscente de celle de la proposition 1.2. Soit $\mathfrak {Z}$ un ouvert affine de $\mathfrak {Z}_{n,\sigma }$. D’après le point 2 du théorème 4.1 l’hensélisé $\mathfrak {X}(p^n)^{tor,h,\mathfrak {Z}}$ de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor}$ le long de $\mathfrak {Z}$ est isomorphe à l’hensélisé $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }^{h,\mathfrak {Z}}$ de $\mathfrak {M}_{V',n,\sigma }$ le long de $\mathfrak {Z}$. De plus par le point 2 du théorème 4.1, on a via l’isomorphisme précédent $M_{V'}[p^n]=A[p^n]$ sur le complémentaire du bord $\mathfrak {U}$ de $\mathfrak {X}(p^n)^{tor,h,\mathfrak {Z}}$. On obtient donc un isomorphisme

$$\begin{aligned} A[p^n] = \left( V'/p^n V' \otimes \mu _{p^n}\right) \oplus A_{V'}[p^n] \oplus \left( {V}/V'^\bot \otimes \mathbb {Z}/p^n\mathbb {Z}\right) \end{aligned}$$

sur $\mathfrak {U}$ grâce à l’équation 4.1.B. Rappelons ici que $A_{V'}$ désigne l’image inverse par $\mathfrak {U}\rightarrow \mathfrak {X}_{V'}(p^n)$ de la variété abélienne universelle sur $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)$. De plus, $\omega _A= \omega _{\tilde{G}_{V'}}$ toujours par le théorème 4.1, qui se filtre en

$$\begin{aligned} 0\rightarrow \omega _{A_{V'}} \rightarrow \omega _{A} \rightarrow V'\otimes \mathcal {O}_\mathfrak {U} \rightarrow 0 \, . \end{aligned}$$

L’application de Hodge–Tate $HT:A[p^n]\rightarrow \omega _A/p^n$ respecte ces filtrations, est nulle sur $\left( {V}/V'^\bot \otimes \mathbb {Z}/p^n\mathbb {Z}\right)$, est l’injection canonique $(V'/p^n V') \otimes \mu _{p^n} \hookrightarrow \left( V'/p^n V'\right) \otimes \mathbb {G}_{a}$ sur $(V'/p^n V') \otimes \mu _{p^n}$, et est donnée par l’application de Hodge–Tate de $A_{V'}$ sur $A_{V'}[p^n]$. On en déduit que $\omega _A^{mod}$ se filtre en $0\rightarrow \omega _{A_{V'}}^{mod} \rightarrow \omega _{A}^{mod} \rightarrow V'\otimes \mathcal {O}_\mathfrak {U} \rightarrow 0$ où $\omega _{A_{V'}}^{mod}$ est l’image inverse par $\mathfrak {U}\rightarrow \mathfrak {X}_{V'}(p^n)$ du faisceau défini comme avant le lemme 1.8 mais sur $\mathfrak {X}_{V'}(p^n)$. Ainsi

$$\begin{aligned} \mathfrak {X}(p^n)^{tor,h,\mathfrak {Z}}\times _{\mathfrak {X}(p^n)^{tor}} \mathfrak {X}(p^n)^{tor-mod} = \mathfrak {X}(p^n)^{tor,h,\mathfrak {Z}} \times _{\mathfrak {X}_{V'}(p^n)} \mathfrak {X}_{V'}(p^n)^{mod} \end{aligned}$$

ce dont on déduit les autres points de la proposition.$\square$

Lemma 4.10

Soit C un corps non-archimédien complet algébriquement clos pour une valuation de rang 1, $\mathcal {O}_{C}$ son anneau d’entiers et $\varpi$ une pseudo-uniformisante. Soit $(\mathfrak {X}_n)_{n\ge 0}\rightarrow \mathrm {Spf}(\mathcal {O}_{C})$ un système projectif de schémas formels $\varpi$-adiques normaux, plats, topologiquement de type fini sur $\mathrm {Spf}(\mathcal {O}_{C})$. On suppose les applications de transition finies et surjectives. Soit $\mathrm {Spf}(R_0)\hookrightarrow \mathfrak {X}_0$ un ouvert affine formel et $\mathrm {Spf}(R_n)$ son image inverse dans $\mathfrak {X}_n$ pour tout $n\ge 0$. Soit $R_\infty$ la complétion $\varpi$-adique de la limite inductive des $R_n$. La norme supremum sur $R_k$ pour tout k induit une norme $\vert . \vert$ sur $R_\infty$ et la topologie définie par cette norme est la topologie $\varpi$-adique. On a $\vert R_\infty [1/\varpi ] \vert = \vert {C} \vert$ et $R_\infty = \{ x \in R_\infty [1/\varpi ], \vert x \vert \le 1\}$.

Démonstration

La norme supremum sur $R_k$ pour tout k induit bien une norme $\vert . \vert$ sur $R_\infty$ et la topologie induite est bien la topologie $\varpi$-adique. Pour tout n, $\vert R_k \vert = \vert \mathcal {O}_{C} \vert$ d’après [4], sect. 6.4.3, thm 1 et coro. 6. Il en résulte que $\vert R_\infty \vert = \vert \mathcal {O}_{C} \vert$. Soit $R_\infty [1/\varpi ]^0$ l’ensemble des éléments à puissance bornée dans $R_\infty [1/\varpi ]$. L’inclusion de $R_\infty$ dans $R_\infty [1/\varpi ]^0$ est claire. Réciproquement soit $f\in R_\infty [1/\varpi ]^0$. Il existe alors une suite $f_n\in R_n[1/\varpi ]$ qui converge $\varpi$-adiquement vers f. Pour n assez grand, $f_n$ est clairement à puissances bornées donc dans $R_n=R_n[1/p]^0$ par normalité de $R_n$. On en déduit bien que $f\in R_\infty$.$\square$

Lemma 4.11

Soit S un schéma formel p-adique normal et plat sur $\mathrm {Spf}(\mathcal {O}_{\mathbb {C}_p})$ de fibre générique perfectoïde et soit A un schéma abélien sur S. Notons

$$\begin{aligned} \tilde{A}\, = \, \varprojlim _p A \end{aligned}$$

où les flèches de transition sont la multiplication par p et la limite projective est prise dans la catégorie des schémas formels p-adiques. Notons $\mathcal {\tilde{A}}$ la fibre générique de $\tilde{A}$ dans le sens de [30]. Alors $\mathcal {\tilde{A}}$ est perfectoïde.

Démonstration

On se restreint au cas où $S=\mathrm {Spf} \, R_0$ est affine. Notons $R=R_0[1/p]$ et $R^0\subset R$ les éléments de puissances bornées. On a $R^0=R_0$ par normalité. Fixons $p^\flat \in \mathcal {O}_{\mathbb {C}_p}^\flat$ tel que $(p^\flat )^\sharp =p$ et notons $R^\flat$ le tilt de R sur $\mathbb {C}_p^\flat$. Notons $\bar{A}\rightarrow \mathrm {Spec}(R_0/p)$ la réduction de A modulo p. Comme

$$\begin{aligned} R_0/p \, = \, R^{0, \flat }/p^\flat \end{aligned}$$

on peut voir $\bar{A}$ comme un schéma abélien sur $\mathrm {Spec}(R^{0,\flat }/p^\flat )$. La théorie des déformations [9, I.3] montre que $\bar{A}$ se relève en un schéma abélien $A^\flat$ sur $\mathrm {Spf}(R^{0,\flat })$. On peut alors former la limite projective

$$\begin{aligned} \tilde{A}^\flat \, = \, \varprojlim _p A^\flat \end{aligned}$$

dans la catégorie des schémas formels $p^\flat$-adiques sur $\mathrm {Spf}(R^{0,\flat })$.

Montrons que $\tilde{A}^\flat$ est parfait. Soit $F_\mathrm {abs}:\tilde{A}^\flat \rightarrow \tilde{A}^\flat$ le morphisme de Frobenius absolu et $(\tilde{A}^\flat )^{(p)}$ le changement de base par le morphisme de Frobenius absolu $R^{0,\flat }\rightarrow R^{0,\flat }$. Le Frobenius absolu $F_\mathrm {abs}$ de $\tilde{A}^\flat$ s’écrit $F_\mathrm {abs}=\varphi \circ F_\mathrm {rel}$ où $F_\mathrm {rel}:\tilde{A}^\flat \rightarrow (\tilde{A}^\flat )^{p}$ est le morphisme de Frobenius relatif et $\varphi :(\tilde{A}^\flat )^{(p)}\rightarrow \tilde{A}^\flat$ est le morphisme de changement de base au dessus du Frobenius absolu de $R^{0,\flat }$. D’après [27, prop.5.9], $R^{0,\flat }$ est parfait et $\varphi$ est bijectif. Soit $V_\mathrm {rel}:(\tilde{A}^\flat )^{(p)}\rightarrow \tilde{A}^\flat$ le morphisme de Verschiebung induit par celui de $A^\flat$. Posons  $V_\mathrm {abs}=V_\mathrm {rel}\circ \varphi ^{-1}$. Comme $V_\mathrm {rel}\circ F_\mathrm {rel}=F_\mathrm {rel}\circ V_\mathrm {rel} = p$, on a $V_\mathrm {abs}\circ F_\mathrm {abs}=F_\mathrm {abs}\circ V_\mathrm {abs}=p$. Mais la multiplication par p est un automorphisme de $\tilde{A}^\flat$ donc il en est de même pour $F_\mathrm {abs}$.

Montrons que la fibre générique $\tilde{\mathcal {A}}^\flat$ de $\tilde{A}^\flat$ dans le sens de [30] est perfectoïde sur $\mathbb {C}_p^\flat$. Soit $\mathrm {Spf}(T_0)$ un ouvert affine de $\tilde{A}^\flat$ et $T=T_0[1/p^\flat ]$ qui est une algèbre parfaite. On a $T^0=T_0$ d’après le lemme 4.10 et $T^0$ est donc ouvert borné dans T. On conclut grâce à [27, prop.5.9]. On en déduit finalement que $\mathcal {\tilde{A}}$ est perfectoïde sur $\mathbb {C}_p$.$\square$

Lemma 4.12

Soit $\hat{\sigma } = (\sigma _n) \in \lim _n{\mathcal {S}}/\Gamma (p^n)$ et soit $\hat{V}' = (V_n') \in \lim _n \mathfrak {C}/\Gamma (p^n)$ tels que $\sigma _n$ soit dans l’intérieur de $V'_n$. La fibre générique de $\mathfrak {M}_{\hat{V'},\infty ,\hat{\sigma }}^{mod}$ dans le sens de [30] est perfectoïde.

Démonstration

D’après [29], la fibre génerique de $\mathfrak {X}_{\hat{V'}}(p^\infty )^{mod}$ est perfectoïde (voir la démonstration du théorème 1.13). D’après la discussion du paragraphe “Changement de niveau”, le morphisme $\mathfrak {B}_{\hat{V'},\infty }^{mod}\rightarrow \mathfrak {X}_{V'}(p^\infty )^{mod}$ s’identifie à

$$\begin{aligned} \varprojlim _p A^r \end{aligned}$$

où A est la variété abélienne universelle de dimension $g-r$ sur $\mathfrak {X}_{\hat{V'}}(p^\infty )^{mod}$ (et r est le rang de $V'_n$ pour tout n). D’après le lemme 4.11, la fibre générique de $\mathfrak {B}_{V',\infty }^{mod}$ est perfectoïde. Toujours d’après le paragraphe “Changement de niveau”, on a un isomorphisme

$$\begin{aligned} \mathfrak {M}_{\hat{V'},\infty , \hat{\sigma }}^{mod} = \mathrm {Spf}_{\mathcal {B}_{V',\infty }^{mod}} \left( \widehat{\bigoplus }_{\uplambda \in \mathrm {colim}_n\mathrm {Sym}^2 (V/{V'_n}^\bot )\otimes _\mathbb {Z}\mathbb {Z}[1/p^n], \, <\uplambda ,\sigma _n> \ge 0} \, \mathcal {L}(\uplambda )\right) \end{aligned}$$

duquel on déduit finalement que la fibre générique de $\mathfrak {M}_{V',\infty ,\sigma }^{mod}$ est perfectoïde : c’est la perfectoïsation d’un plongement torique affine.$\square$

Proposition 4.13

Le Frobenius absolu induit une surjection

$$\begin{aligned} \mathcal {O}_{\mathfrak {X}(p^\infty )^{tor-mod}} / p \, \longrightarrow \, \mathcal {O}_{\mathfrak {X}(p^\infty )^{tor-mod}}/p. \end{aligned}$$

Démonstration

Notons $f_n : {\mathfrak {X}(p^{n})^{tor-mod}} \rightarrow {\mathfrak {X}(p^{n_0})^{tor-mod}}$ l’ application de transition. Soit x un point géométrique de $\mathfrak {X}(p^{n_0})^{tor-mod}$ et $R_{n_0}$ l’hensélisé strict de $\mathscr {O}_{\mathfrak {X}(p^{n_0})^{tor-mod}}/p$ en x. Notons $\mathrm {Spec}(R_n)$ l’image inverse de $\mathrm {Spec}(R_{n_0})$ dans $\mathfrak {X}(p^{n})^{tor-mod}$ pour $n\ge n_0$. Il suffit de montrer que le Frobenius absolu de $R_\infty = \mathrm {colim}_n R_n$ est surjectif.

Le morphisme $R_{n_0} \rightarrow R_n$ est fini et identifie $R_n$ à la somme directe des hensélisés stricts de $\mathscr {O}_{\mathfrak {X}(p^{n})^{tor-mod}}/p$ en les points de $f_n^{-1}(x)$. Supposons que $\sigma$ soit dans l’intérieur de $C(V/V_{n_0}'^\perp )$. On peut identifier $R_{n_0}$ à l’hensélisé strict de $\mathfrak {M}_{V_{n_0}',n_0,\sigma }^{mod}$ en x d’après la proposition 4.9. Mais

$$\begin{aligned} \mathfrak {X}(p^n)^{tor-mod} \times _{\mathfrak {X}(p^{n_0})^{tor-mod}} \mathrm {Spec}(R_{n_0}) \, = \, \left( \coprod _{(\sigma _n, V'_n)} \mathfrak {M}_{V'_n,n,{\sigma }_n}^{mod} \right) \times _{\mathfrak {M}_{V'_{n_0},n_0,{\sigma }}^{mod}} \mathrm {Spec}(R_{n_0}) \end{aligned}$$

où $(\sigma _n, V'_n)$ parcourt les couples tels que $\sigma _n \in \mathcal {S}/\Gamma (p^n)$ et $V'_n \in \mathfrak {C}/\Gamma (p^n)$ vérifient que $\sigma _n$ soit dans l’intérieur de $C(V/V_{n}'^\perp )$ et que $\sigma _n$ et $V'_n$ sont congrus à $\sigma$ et $V_{n_0}$ modulo $p^{n_0}$. Il en résulte que $R_\infty$ s’identifie à

$$\begin{aligned} \left( \mathrm {colim}_{(\sigma _n, V'_n)} \, \mathscr {O}_{\mathfrak {M}_{V'_n,n,{\sigma }_n}^{mod}}\right) \otimes _{\mathscr {O}_{\mathfrak {M}_{V'_{n_0},n_0,{\sigma }}^{mod}}} R_{n_0} \end{aligned}$$

Pour $m \ge n$ et $\sigma _m$ d’image $\sigma _n$ dans $\mathcal {S}/\Gamma (p^n)$, on dispose d’une application naturelle

$$\begin{aligned} \mathfrak {M}_{V'_m,m,{\sigma }_m}^{mod} \rightarrow \mathfrak {M}_{V'_n,n,{\sigma }_n}^{mod} \end{aligned}$$

qui induit les applications de transition dans la limite inductive précédente. Le faisceau

$$\begin{aligned} \mathrm {colim}_{(\sigma _n, V'_n)}\, \mathscr {O}_{\mathfrak {M}_{V'_n,n,{\sigma }_n}^{mod}}/p \end{aligned}$$

est un quotient du faisceau

$$\begin{aligned} \bigoplus _{ \hat{\sigma } \in \lim _n \mathcal {S}/\Gamma (p^n)} \mathscr {O}_{\mathfrak {M}_{\hat{V'},\infty ,\hat{\sigma }}^{mod}}/p. \end{aligned}$$

Le lemme 4.12 permet donc de conclure.$\square$

Corollaire 4.14

L’espace $\mathcal {X}(p^\infty )^{tor-mod}$ est perfectoïde.

Démonstration

Soit $\mathrm {Spf}(R_\infty )\subset \mathfrak {X}(p^\infty )^{tor-mod}$ un ouvert formel provenant de $\mathrm {Spf}(R_0)\subset \mathfrak {X}(p^{n_0})^{tor-mod}$ comme dans le lemme 4.10. Alors $R_\infty [1/p]^0=R_\infty$ est ouvert borné par construction de la topologie de $R_\infty [1/p]$. Le Frobenius modulo p est surjectif d’après la proposition 4.13.$\square$