On a question of Hayes concerning integrality of Brumer elements

Abstract

To every abelian Galois extension K / k of number fields with group G, one can associate a so-called Brumer element $\theta _{K/k,S}$ of the rational group ring $\mathbb Q[G]$ (depending on another technical parameter S). In a certain sense this element can be thought of as an equivariant version of the class number $h_K$. There is a slight problem since this element is only “almost” integral (that is, it may have non-integral coefficients). The potential denominators always divide $w_K$, the number of roots of unity in K. Hayes (Contemp Math 358:193–205, 2004) raised the question whether the Brumer element will be p-integral under certain suitable hypotheses, one of which implies that p divides $h_K$; of course only situations with $p|w_K$ are of interest. This paper answers this question in the negative. We start with an “almost counterexample” over $\mathbb Q$ (for $k=\mathbb {Q}$ there are no true counterexamples) and manufacture true counterexamples in which k is a suitable real quadratic field. Using deep recent results on the distribution of class numbers (Bhargava et al.) one can show that the method in fact yields infinitely many counterexamples.

Résumé

Pour toute extension abélienne K / k de corps de nombres ayant G pour groupe de Galois, on sait construire un élément $\theta _{K/k,S}$ (appelé de Brumer) dans l’anneau de groupe $\mathbb Q[G]$ à coefficients rationnels. (Cet élément aussi dépend d’un paramètre auxiliaire S.) Dans un certain sens cet élément est une version équivariante du nombre $h_K$ de classes. Il y a un petit problème puisque $\theta _{K/k,S}$ n’est pas tout à fait entier (c’est-à-dire, à coefficients dans $\mathbb Z$). On peut toutefois l’écrire avec un dénominateur commun qui divise $w_K$, le nombre de racines de l’unité contenues dans K. En 2004 D. Hayes posa la question: Est-ce que la p-intégralité de l’élément de Brumer est entraînée par quelques hypothèses bien adaptées (l’une parmi elles impliquant que le nombre $h_K$ est divisible par p)? Bien sûr, seuls les cas où p divise $w_K$ sont intéressants. Cet article établit une réponse négative à cette question. Pour commencer on regarde un “presque-contre-exemple” sur $\mathbb Q$ (il n’y a pas de vrai contre-exemple sur le corps des rationnels), et on le modifie pour trouver de vrais contre-exemples pour lesquels k est un corps réel quadratique. En utilisant de profonds résultats récents sur la distribution des nombres de classes (Bhargava et al.) on peut même montrer qu’il y a une infinité de contre-exemples.