Valeur propre minimale d’une matrice de Toeplitz et d’un produit de matrices de Toeplitz

Résumé

Nous donnons une expression asymptotique de la plus petite valeur propre $\lambda _{N,\alpha }$ de la matrice $T_N(\varphi _{\alpha })$ où $\varphi _{\alpha }(e^{i \theta })=\vert 1- e^{i \theta } \vert ^{2\alpha } c_{1}(e^{i \theta })$, avec $c_{1}$ une fonction strictement positive suffisamment régulière et $0<\alpha < \frac{1}{2}$. Nous obtenons $\lambda _{N,\alpha }\sim c_{\alpha }N^{-2\alpha }c_{1}(1)$ et nous donnons un encadrement de $c_{\alpha }$. Pour obtenir cet équivalent nous donnons et utilisons un théoréme qui relie les coefficients de $T_N^{-1}(\varphi _\alpha )$ et ceux de $T_N (\varphi ^{-1}_\alpha )$. Sous l’hypothse $\alpha _1+\alpha _2 >\frac{1}{2}$ nous obtenons galement une expression asymptotique de la valeur propre minimale de $T_N (\varphi _{\alpha _1}) T_N (\varphi _{\alpha _2})$.

Abstract

This paper is essentially devoted to the study of the minimal eigenvalue $\lambda _{N,\alpha }$ of the Toepllitz matrice $T_N(\varphi _{\alpha })$ where $\varphi _{\alpha }(e^{i \theta })=\vert 1- e^{i \theta } \vert ^{2\alpha } c_{1}(e^{i \theta })$ with $c_{1}$ a positive sufficiently smooth function and $0<\alpha <\frac{1}{2}$. We obtain $\lambda _{N,\alpha }\sim c_{\alpha }N^{-2\alpha }c_{1}(1)$ when N goes to infinity and we obtain bounds for $c_{\alpha }$. To arrive at these results we give a theorem which suggests that the entries of $T_N^{-1}(\varphi _{\alpha })$ and $T_N (\varphi ^{-1}_\alpha )$ are closely related. If $\alpha _1 + \alpha _2 > \frac{1}{2}$ we obtain the asymptotic of the minimal eigenvalue of $T_N (\varphi _{\alpha _1}) T_N (\varphi _{\alpha _2})$.

Appendice

Nous devons majorer les quantités

$$\begin{aligned} \left| \sum _{(i,j) \in I_{k,\delta } }\left( T_{N}^{-1}(\varphi _{\alpha })\right) _{i+1,j+1} x_{j+1} y_{i+1}\right| \end{aligned}$$

pour $k \in \{1,2,3,4\}$. Nous allons nous concentrer sur

$$\begin{aligned} \left| \sum _{(i,j) \in I_{1,\delta } }\left( T_{N}^{-1}(\varphi _{\alpha })\right) _{i+1,j+1} x_{j+1} y_{i+1}\right| \end{aligned}$$

Pour cela nous devons majorer avec précision les quantités $\left( T_{N}^{-1}(\varphi _{\alpha })\right) _{i+1,j+1}$ pour $(i,j)\in I_{1,\delta }$. Utilisons encore la propriété 3. En supposant $i\le j$, la formule (5) et la continuité de $F_{N,\alpha }$ en zéro permettent d’écrire

$$\begin{aligned} \sum _{u=0}^i \gamma ^{(\alpha )}_{i-u}\overline{ \gamma ^{(\alpha )}}_{j-u} = \left( \sum _{u=0}^i \beta ^{(\alpha )}_{i-u}\overline{ \beta ^{(\alpha )}}_{j-u}\right) \left( 1+o(1)\right) . \end{aligned}$$

Notons $k_{0}$ désigne un entier tel que $\beta ^{(\alpha )}_{k}$ puisse être remplacé par son asymptotique pour $k\ge k_{0}.$ Nous sommes amenés à distinguer quatre cas.

• (i) Si $j\ge i\ge k_0$ et $0 \le j-i\le k_{0}$ on crit

  $$\begin{aligned} \sum _{u=0}^i \beta ^{(\alpha )}_{i-u} \overline{\beta ^{(\alpha )}_{j-u} } = \sum _{u=0}^{i-k_0} \beta ^{(\alpha )}_{i-u}\overline{ \beta ^{(\alpha )}_{j-u}}+ \sum _{u=i-k_0+1}^i \beta ^{(\alpha )}_{i-u} \overline{\beta ^{(\alpha )}_{j-u}}. \end{aligned}$$

  En posant $M_{1}= \displaystyle { \sum _{0\le h_{1}\le k_{0}, 0\le h_{2}\le 2 k_{0}} \Bigl \vert \beta ^{(\alpha )}_{h_{1}} \overline{\beta ^{(\alpha )}_{h_{2}}}\Bigr \vert }$ on obtient

  $$\begin{aligned} \left| \sum _{u=i-k_0+1}^i \beta ^{(\alpha )}_{i-u}\overline{ \beta ^{(\alpha )}_{j-u}}\right|&\le (M_{1} k_0^{1-\alpha }) k_0^{\alpha -1} \\&\le (M_{1} k_0^{1-\alpha }) (j-i)^{\alpha -1}\le (M_{1} k_0^{1-\alpha }) \vert j-i\vert ^{2\alpha -1} \end{aligned}$$

  et avec le lemme 6

  $$\begin{aligned} \left| \sum _{u=0}^{i-k_0} \beta ^{(\alpha )}_{i-u} \overline{\beta ^{(\alpha )}_{j-u}}\right| \sim \frac{N^{2\alpha -1}}{\Gamma ^2(\alpha ) c_1(1)} \int _{0}^x (x-t)^{\alpha -1} (y-t)^{\alpha -1} dt \le H_{\alpha _{1},\alpha _{2}} \vert j-i\vert ^{2\alpha -1} \end{aligned}$$

  en posant $x = \frac{i}{N}$ et $y = \frac{j}{N}$.

• (ii) Si $0\le i< k_0$ et $0 \le j-i\le k_{0}$ on peut alors écrire, en remarquant que

  $$\begin{aligned} \left| \sum _{u=0}^i \beta ^{(\alpha )}_{i-u}\overline{ \beta ^{(\alpha )}_{j-u} } \right| \le M_{1} \end{aligned}$$

  et comme précédemment

  $$\begin{aligned} M_1 \le (M_1 k_0^{1-\alpha }) \vert j-i\vert ^{2\alpha -1}. \end{aligned}$$

• (iii) Si $j\ge i\ge k_0$ et $j-i\ge k_{0}$ on écrit

  $$\begin{aligned} \sum _{u=0}^i \beta ^{(\alpha )}_{i-u}\overline{ \beta ^{(\alpha )}}_{j-u} = \sum _{u=0}^{i-k_0} \beta ^{(\alpha )}_{i-u} \overline{\beta ^{(\alpha )}_{j-u}}+ \sum _{u=i-k_0+1}^i \beta ^{(\alpha )}_{i-u}\overline{ \beta ^{(\alpha )}_{j-u}}. \end{aligned}$$

  Si $M_2 = \max _{0\le h\le k_{0}} \vert \beta _{h}^{(\alpha )}\vert$ nous pouvons écrire

  $$\begin{aligned} \left| \sum _{u=i-k_0+1}^i \beta ^{(\alpha )}_{i-u}\overline{ \beta ^{(\alpha )}_{j-u}} \right|&\le M_2 \sum _{u=i-k_0+1}^i \vert j-u\vert ^{\alpha -1}\\&\le M_2 k_0\vert j-i\vert ^{\alpha -1} \le M_2 k_0\vert j-i\vert ^{2\alpha -1}, \end{aligned}$$

  et de plus, toujours avec le lemme 6

  $$\begin{aligned} \sum _{u=0}^{i-k_0} \beta ^{(\alpha )}_{i-u}\overline{ \beta ^{(\alpha )}_{j-u}} \sim \frac{ N^{2\alpha -1}}{\Gamma ^2(\alpha ) c_1(1)} \int _{0}^x (x-t)^{\alpha -1} (y-t)^{\alpha -1} dt \le H_{\alpha /2,\alpha /2} \vert j-i\vert ^{2\alpha -1} \end{aligned}$$

  par des calculs déjà vu et toujours en posant en posant $x = \frac{i}{N}$ et $y = \frac{j}{N}$.

• (iv) Si $0\le i< k_0$ et $j-i\ge k_{0}$. On peut alors écrire

  $$\begin{aligned} \left| \sum _{u=0}^i \beta _{i-u} ^{(\alpha )} \overline{ \beta _{j-u} ^{(\alpha )}} \right| \sim \frac{\vert j-i\vert ^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha ) c_{1}(1)} \sum _{v=0}^{k_{0}} \vert \beta _{v}^{(\alpha )} \vert \le \frac{\vert j-i\vert ^{2\alpha -1} }{\Gamma (\alpha ) c_{1}(1)} \sum _{v=0}^{k_{0}} \vert \beta _{v}^{(\alpha )} \vert . \end{aligned}$$

Dans les quatre cas on obtient finalement

$$\begin{aligned}&\left| \sum _{(i,j) \in I_{1,\delta } } \left( \sum _{u=0}^i \gamma ^{(\alpha )}_{i-u}\overline{ \gamma ^{(\alpha )}_{j-u}} \right) x_{i+1} y_{j+1}\right| \\&\quad \le O\left( N^{2\alpha } \int _{-\delta }^\delta t^{2\alpha -1} dt\right) =O\left( (N\delta )^{2\alpha }\right) = o(N^{2\alpha }). \end{aligned}$$

Enfin les formules (5) et (6) permettent de remarquer que pour $N'$ proche de N on a

$$\begin{aligned} \vert \gamma _{N'}\vert \le O((N')^{\alpha -1} + \frac{1}{N} \sum _{u=0}^{N'} \vert \beta _{N'-u}^{(\alpha )} F_{N,\alpha } (\frac{u}{N})\vert . \end{aligned}$$

En utilisant la décomposition:

$$\begin{aligned} \sum _{u=0}^{N'} \left| \beta _{N'-u}^{(\alpha )} F_{N,\alpha } \left( \frac{u}{N}\right) \right| = \sum _{u=0}^{N'/2} \left| \beta _{N'-u}^{(\alpha )} F_{N,\alpha } \left( \frac{u}{N}\right) \right| + \sum _{u=N'/2+1}^{N'} \left| \beta _{N'-u}^{(\alpha )} F_{N,\alpha } \left( \frac{u}{N}\right) \right| \end{aligned}$$

on obtient, grâce à la continuité de $F_{N,\alpha }$ sur tout compact de [0, 1[,

$$\begin{aligned} \vert \gamma _{N'}\vert \le O\left( (N')^{\alpha -1}\right) + O \left( (N')^{\alpha }\right) \frac{1}{N} + O((N')^{\alpha -1}) \int _{0}^1\ln (t) dt= O\left( (N)^{\alpha -1}\right) . \end{aligned}$$

Ce qui permet d’écrire, toujours si $i\le j$, (et en se souvenant que (i, j) est dans $I_{1,\delta }$)

$$\begin{aligned} \sum _{v=0}^{i} \gamma _{v+N-j}^{(\alpha )}\overline{\gamma _{v+N-i}^{(\alpha )} } = O(N^{2\alpha -2}) N\delta =o(N^{2\alpha -1}). \end{aligned}$$

On obtient alors

$$\begin{aligned} \left| \sum _{(i,j) \in I_{1,\delta } } \left( \sum _{v=0}^{i} \gamma _{v+N-j}^{(\alpha )}\overline{\gamma _{v+N-i}^{(\alpha )} } \right) x_{i+1}y_{j+1}\right| \le o(N^{2\alpha -1}) \sum _{(i,j)\in I_{1,\delta } } \vert x_{i+1} y_{j+1}\vert = o(N^{2\alpha -1}) \end{aligned}$$

puisque $\displaystyle {\sum \nolimits _{(i,j)\in I_{1,\delta } } \vert x_{i+1} y_{j+1}\vert } \le 1.$

La majoration de la somme sur $I_{2,\delta }$ se déduit de ce résultat en utilisant les symétries de la matrice $T_{N}^{-1}\left( \varphi _{\alpha }\right)$. Les mêmes méthodes que pour $I_{1,\delta }$ donnent le rsultat sur $I_{3,\delta }$ puis $I_{4,\delta }$ par symétrie