Finite quotients of Galois pro-$p$ groups and rigid fields

Abstract

For a prime number $p$, the author shows that if two certain canonical finite quotients of a finitely generated Bloch–Kato pro-$p$ group $G$ coincide, then $G$ has a very simple structure, i.e., $G$ is a $p$-adic analytic pro-$p$ group (see Theorem 1). This result has a remarkable Galois-theoretic consequence: if the two corresponding canonical finite extensions of a field $F$—with $F$ containing a primitive $p$-th root of unity—coincide, then $F$ is $p$-rigid (see Corollary 1). The proof relies only on group-theoretic tools, and on certain properties of Bloch–Kato pro-$p$ groups.

Résumé

Étant donné un nombre premier $p$, l’auteur montre que si $G$ est un pro-$p$ groupe de Bloch–Kato de type fini dont deux quotients finis canoniques coïncident, alors $G$ admet une structure est très simple: c’est un pro-$p$ groupe $p$-adique analytique (voir théorème 1). Ce résultat a une conséquence remarquable pour la théorie de Galois: si un corps $F$ contient une racine primitive $p$-ième de l’unité et que ses deux extensions canoniques finies correspondantes coïncident, $F$ est alors $p$-rigide (voir corollaire 1). La démonstration s’appuie sur des résultats de théorie des groupes et exploite certaines propriétés des pro-$p$ groupes de Bloch–Kato.