Tarifierung in der Privatversicherung: Big Data, Risikoadäquanz, Solidarität

Zusammenfassung

Der vorliegende Beitrag diskutiert die Konsequenzen einer immer stärkeren Tarifdifferenzierung für die Wirkung des Gesetzes der großen Zahlen, den Ausgleich im Kollektiv und die Solidarität im Versicherungskollektiv.

Abstract

The present contribution discusses the implications of a tariff structure becoming more and more granular for the validity of the law of large numbers, for the effects of risk pooling and for the solidarity within a pool of insureds.

Appendices

Anhang A

1.1 Starkes Gesetz der großen Zahlen

Wir gehen aus von einer Folge X₁,…, X_n,… von stochastisch unabhängigen Zufallsgrößen. Wir nehmen zunächst an, dass die Zufallsgrößen eine identische Verteilung besitzen und der gemeinsame Erwartungswert E(X_i) = µ (i = 1,…, n,…) endlich ist. Dann gilt (Kolmogorovsches Gesetz der großen Zahlen^17,18):

$$\mathrm{P}\left(\frac{1}{{n}}\sum _{\mathrm{i}=1}^{{n}}\mathrm{X}_{\mathrm{i}}\,\rightarrow \upmu \right)\,=1.$$

Folgen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsgrößen werden in der Statistik auch als (theoretische) Stichprobe bezeichnet. Das Gesetz der großen Zahlen besagt dann, dass sich das arithmetische Mittel der Stichprobe mit steigendem Stichprobenumfang dem zugrundeliegenden Erwartungswert immer weiter annähert und dies mit Wahrscheinlichkeit 1, also praktisch mit Sicherheit. Betrachtet man eine Folge x₁,…, x_n,… von Realisationen der Stichprobe, d. h. eine empirische Stichprobe, so folgt daraus, dass für praktisch jede dieser Stichproben das Stichprobenmittel $\sum _{\mathrm{i}=1}^{{n}}\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$/n mit steigendem Stichprobenumfang sich dem (a priori unbekannten) Erwartungswert µ der (theoretischen) Stichprobe annähert. Das Gesetz der großen Zahlen liefert damit die mathematische Begründung für die fundamentale Vorgehensweise der Statistik, den unbekannten Mittelwert einer homogenen Stichprobe durch das Stichprobenmittel zu schätzen.

Entsprechen die (unabhängigen) Zufallsgrößen X_i (i = 1,…, n) den individuellen (potentiellen) Gesamtschäden eines homogenen Kollektivs von Versicherten, so besagt das Gesetz der großen Zahlen, dass der realisierte durchschnittliche Schaden („Schadenbedarf“) $\sum _{\mathrm{i}=1}^{{n}}\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$/n mit steigender Kollektivgröße sich dem (identischen) individuellen Schadenerwartungswert µ immer weiter annähert. Unter den genannten strukturellen Voraussetzungen (Unabhängigkeit der Risiken und Homogenität des Kollektivs, d. h. identischen Verteilung der Risiken) ist somit der Schadenbedarf eine geeignete Größe, um den individuellen Schadenerwartungswert µ, der zugleich der individuellen Nettorisikoprämie entspricht, zu schätzen.

Wir geben nun die Annahme der identischen Verteilung der Zufallsgrößen X_i auf, behalten aber die Annahme der stochastischen Unabhängigkeit aufrecht¹⁹. In diesem Falle besitzt jede Zufallsgröße X_i einen (im Allgemeinen) unterschiedlichen Erwartungswert µ_i = E(X_i). Das starke Gesetz der großen Zahlen besagt in diesem Fall

$$\mathrm{P}\left(\frac{1}{{n}}\sum _{\mathrm{i}=1}^{{n}}\mathrm{X}_{\mathrm{i}}\,-\,\frac{1}{{n}}\sum _{\mathrm{i}=1}^{{n}}\upmu _{\mathrm{i}}\,\rightarrow 0\right)=1.$$

Das Stichprobenmittel und das arithmetische Mittel der Erwartungswerte liegen damit bei steigendem Stichprobenumfang immer näher beieinander (und dies mit Wahrscheinlichkeit 1, also praktisch mit Sicherheit). Im Falle eines inhomogenen Kollektivs von unabhängigen Risiken liegen somit der Schadenbedarf und das arithmetische Mittel der Erwartungswerte (durchschnittliche Nettorisikoprämie) bei steigendem Kollektivumfang immer näher beieinander.

Anhang B

2.1 Tarifmodelle und globales Niveau

Wir beginnen mit einer Darstellung multiplikativer Tarifmodelle, da diese in der Versicherungspraxis weitverbreitet²⁰ und bewährt²¹ sind. Zur Vereinfachung der Darstellung beschränken wir uns dabei auf ein multiplikatives Tarifmodell mit zwei Tariffaktoren²². Die Tariffaktoren besitzen die Ausprägungen i = 1,…, I und j = 1,…, J. Wir bezeichnen mit S_ij den (potentiellen) Gesamtschaden der Tarifklasse (i,j) für eine fixierte Periode. Die Größe der Tarifgruppe (i,j) bezeichnen wir mit m_ij, d. h. m_ij ist die Anzahl der versicherten Risiken in der Tarifgruppe (i,j). Entsprechend bezeichnen wir mit S den Gesamtschaden des Gesamtkollektivs und mit m die Größe des Gesamtkollektivs. Der Schadenbedarf SB_ij der Tarifgruppe (i,j) ist dann gegeben durch SB_ij = S_ij/m_ij und der Schadenbedarf SB des Gesamtkollektivs durch SB = S/m. Die Größe SB_ij entspricht somit dem durchschnittlichen Gesamtschaden pro Einheit der Tarifklasse (i,j), der Durchschnitt wird hier über die Tarifklasse gebildet. Die Größe SB entspricht dem Durchschnittsschaden pro Einheit des Gesamtkollektivs, d. h. hier wird der Durchschnitt über das gesamte Kollektiv gebildet.

Das multiplikative Tarifmodell besitzt dann die Standardform (i = 1,…,I; j = 1,…,J)

$$\mathrm{E}(\mathrm{SB}_{\mathrm{ij}})=\mathrm{E}(\mathrm{SB})\cdot \mathrm{x}_{\mathrm{i}}\cdot \mathrm{y}_{\mathrm{j}}.$$

Ausgangspunkt für die Ermittlung des erwarteten Schadenbedarfs der Tarifklasse (i,j) ist somit stets der erwartete Schadenbedarf E(SB) des Gesamtkollektivs. Die Größen x_i und y_i werden als Marginalfaktoren oder Relativities bezeichnet. Sie quantifizieren den Einfluss der Merkmalsausprägung i bzw. j auf den erwarteten Schadenbedarf der Tarifklasse relativ zum erwarteten Schadenbedarf des Kollektivs.

In praxi wird der erwartete Schadenbedarf E(SB) durch den realisierten Schadenbedarf $\overline{\mathrm{SB}}$ des Kollektivs geschätzt, d. h. durch den durchschnittlichen realisierten Gesamtschaden des Kollektivs. Das multiplikative Tarifmodell nimmt dann die Form

$$\mathrm{E}(\mathrm{SB}_{\mathrm{ij}})=\overline{\mathrm{SB}}\cdot \mathrm{x}_{\mathrm{i}}\cdot \mathrm{y}_{\mathrm{j}}$$

an. In dieser Form wird der Zusammenhang mit dem starken Gesetz der großen Zahlen für inhomogene Kollektive unmittelbar deutlich. Die Größe $\overline{\mathrm{SB}}$ ist genau diejenige Größe, über deren „Stabilisierung“ das starke Gesetz der großen Zahlen in der Version für inhomogene Kollektive²³ unabhängiger Risiken eine Aussage trifft. Die Größe $\overline{\mathrm{SB}}$ legt das „globale Niveau“²⁴ des Schadenbedarfs des Kollektivs fest, dessen Finanzierung durch die vereinnahmten Prämien gesichert werden muss. Die Einbindung des globalen Niveaus in die Tarifierung sichert zum einen die angesprochene Finanzierung und bindet zugleich die Wirkung des Gesetzes der großen Zahlen in die Tarifierung ein. Die Berücksichtigung des globalen Niveaus in der Tarifierung ist somit essentiell.

Das multiplikative Tarifmodell ist zwar in der Praxis weit verbreitet, es ist aber ein sehr rudimentäres Modell. Eine für die Tarifierung in der Versicherungspraxis bedeutsame allgemeinere Modellklasse²⁵ sind Verallgemeinerte Lineare Modelle (GLIM). Auch hier ist der Zusammenhang zum starken Gesetz der großen Zahlen für inhomogen Kollektive bzw. zum globalen Niveau unmittelbar ersichtlich. Betrachten wir hierzu als einfaches Beispiel das folgende log-lineare Tarifmodell für den Schadenbedarf der Tarifgruppe (i,j), wobei wir weiterhin von zwei Tarifvariablen ausgehen:

$$\ln \mathrm{E}(\mathrm{SB}_{\mathrm{ij}})=\mathrm{b}_{0}+\mathrm{b}_{1}\mathrm{u}_{\mathrm{i}}+\mathrm{b}_{2}\mathrm{z}_{\mathrm{j}}.$$

Hieraus folgt

$$\mathrm{E}(\mathrm{SB}_{\mathrm{ij}})=\exp (\mathrm{b}_{0})\cdot \exp (\mathrm{b}_{1}\mathrm{u}_{\mathrm{i}})\cdot \exp (\mathrm{b}_{2}\mathrm{z}_{\mathrm{j}}),$$

und es ist naheliegend, die Größe exp(b₀) durch den Schadenbedarf des Kollektivs, d. h. das globale Niveau $\overline{\mathrm{SB}}$, zu schätzen. Es gilt somit exp(b₀) = $\overline{\mathrm{SB}}$ bzw. b₀ = ln($\overline{\mathrm{SB}}$). Zum allgemeinen Zusammenhang von globalem Niveau und Verallgemeinerten Linearen Modellen vgl. DAV-Arbeitsgruppe Tarifierung (2015, S. 260).

Betrachten wir als letztes Beispiel für Tarifmodelle Credibility-Modelle²⁶ und hier spezifisch das Bühlmann/Straub-Modell. Wir folgen dabei der Darstellung in Albrecht (1990, S. 245 ff.). Im Kern lautet die Prämienformel im Bühlmann/Straub-Modell

$$\upgamma _{\mathrm{k}}=\,\mathrm{a}_{\mathrm{k}}\overline{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}\,+(1-\,\mathrm{a}_{\mathrm{k}})\,\overline{\upgamma }.$$

Dabei bezeichnet k die Tarifklasse k.

In Erweiterung des Ansatzes der bislang dargestellten Tarifmodelle, die jeweils auf dem Schadenbedarf als Basisgröße der Tarifierung basieren und damit als Volumenmaß die Anzahl der versicherten Risiken verwenden, lässt das Bühlmann/Straub-Modell auch allgemeine Volumenmaße, wie beispielsweise Versicherungssumme oder Prämie, zu. Verwenden wir das Volumenmaß Versicherungssumme, d. h. nehmen als Basisgröße für die Tarifierung den Schadensatz, so lassen sich die Elemente der vorstehenden Prämienformel wie folgt interpretieren. Die Größe $\overline{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}$ entspricht dem (mittleren²⁷) Schadensatz der Tarifklasse k und die Größe $\overline{\upgamma }$ der (glaubwürdigkeitsgewichteten) kollektiven Schadenerfahrung. Die Größe $\overline{\upgamma }$ ist somit die modellkonsistente Variante des globalen Niveaus. Die Größen a_k bezeichnen die Glaubwürdigkeitsgewichte. Für die genaue Bestimmung von a_k und $\overline{\upgamma }$ verweisen wir an dieser Stelle auf Albrecht (1990, S. 246).

Die vorstehende Prämienformel impliziert nun Folgendes. Der auf der Basis des Tarifmodells geschätzte Schadensatz $\upgamma _{\mathrm{k}}$ der Tarifklasse k ergibt sich als gewichteter Durchschnitt des (mittleren) Schadensatzes der Tarifklasse und der (glaubwürdigkeitsgewichteten) Schadenerfahrung des Gesamtkollektivs. Auch im Bühlmann/Straub-Modell wird somit das globale Niveau (in einer modellkonsistenten Variante) berücksichtigt. Darüber hinaus gilt²⁸ die strukturelle Beziehung

$$\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{m}}\mathrm{V}_{0\mathrm{k}}\upgamma _{\mathrm{k}}\,=\,\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{m}}\mathrm{V}_{0\mathrm{k}}\overline{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}.$$

Dabei bezeichnet m die Anzahl der Tarifklassen und V_0k die (über die Beobachtungsperioden aggregierte) Versicherungssumme der Tarifklasse k. Die vorstehende strukturelle Beziehung sichert somit, dass (volumengewichtet) die Summe der Risikoprämien über die Tarifklassen genau der Summe der Schadensätze entspricht. Die Finanzierung des kollektiven Gesamtschadens durch die Summe der Risikoprämien ist somit gewährleistet.