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Sur la conjecture de Tate entière pour le produit d’une courbe et d’une surface \(CH_{0}\)-triviale sur un corps fini

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Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2 Aims and scope Submit manuscript

Abstract

We investigate a strong version of the integral Tate conjecture for 1-cycles on the product of a curve and a surface over a finite field, under the assumption that the surface is geometrically \(CH_0\)-trivial. By this we mean that over any algebraically closed field extension, the degree map on the zero-dimensional Chow group of the surface is an isomorphism. This applies to Enriques surfaces. When the Néron-Severi group has no torsion, we recover earlier results of A. Pirutka. The results rely on a detailed study of the third unramified cohomology group of specific products of varieties.

Résumé

Nous étudions une forme forte de la conjecture de Tate entière pour les 1-cycles sur le produit d’une courbe et d’une surface sur un corps fini, sous l’hypothèse que la surface est géométriquement \( CH_0 \)-triviale. Nous entendons par cela que, sur toute extension de corps algébriquement clos, la flèche degré sur le groupe de Chow de dimension zéro de la surface est un isomorphisme. Cela s’applique aux surfaces d’Enriques. Lorsque le groupe de Néron-Severi n’a pas de torsion, nous retrouvons des résultats antérieurs de A. Pirutka. Le travail implique l’étude détaillée du troisième groupe de cohomologie non ramifiée pour les produits de variétés considérés.

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Notes

  1. Note ajoutée sur épreuves : Par [42], nous savons maintenant que des exemples de dimension 4 existent.

  2. Comme il a ’et’e montr’e r’ecemment par [42], cette question a une r’eponse n’egative, en g’en’eral.

  3. Certains des problèmes discutés dans le présent article ont fait l’objet de travaux ultérieurs [41, 42].

  4. Même si l’action du groupe de Galois absolu sur \({\text {NS}}(\overline{X})\) est triviale, la restriction \({\text {NS}}(\overline{X})\) sans torsion est nécessaire. Soit \(X/{\mathbb {F}}\) une surface d’Enriques sur un corps fini \({\mathbb {F}}\) de caractéristique impaire. Supposons \({\text {Pic}}(X)={\text {Pic}}(\overline{X})\). Pour \(M=\mu _{2}\), l’énoncé (c) est en défaut.

  5. La lettre p est ici utilisée dans deux acceptions distinctes, mais aucune confusion n’est possible.

  6. Nous ne savons pas si la flèche \(A_0(S_L)\left\{ \ell \right\} \rightarrow \textrm{Hom}(\textrm{Pic}(\overline{S})\{\ell \}, J(C)(\overline{k}))\), qui est définie par la K-théorie algébrique, est induite par la flèche \(CH^2(S_{L}) \rightarrow \textrm{Hom} (\textrm{Pic}(\overline{S})_{{\text {tors}}}, \textrm{Pic}(\overline{C}))\) obtenue par les correspondances à la proposition 3.2 (iv).

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Authors and Affiliations

  1. Université Paris-Saclay, CNRS, Laboratoire de mathématiques d’Orsay, 91405, Orsay, France

    Jean-Louis Colliot-Thélène

  2. Department of Mathematics, University of British Columbia, Vancouver, BC, V6T 1Z2, Canada

    Federico Scavia

Authors
  1. Jean-Louis Colliot-Thélène
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  2. Federico Scavia
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Colliot-Thélène, JL., Scavia, F. Sur la conjecture de Tate entière pour le produit d’une courbe et d’une surface \(CH_{0}\)-triviale sur un corps fini. Rend. Circ. Mat. Palermo, II. Ser 72, 2895–2927 (2023). https://doi.org/10.1007/s12215-023-00870-y

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