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Moyennes effectives de fonctions multiplicatives complexes

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A Correction to this article was published on 15 July 2020

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Abstract

We establish effective mean-value estimates for a wide class of multiplicative arithmetic functions, thereby providing (essentially optimal) quantitative versions of Wirsing’s classical estimates and extending those of Halász. Several applications are derived, including estimates for the difference of mean-values of so-called pretentious functions, local laws for the distribution of prime factors in an arbitrary set, and weighted distribution of additive functions.

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  • 15 July 2020

    The original version of the article unfortunately contained a number of inaccuracies in equations and statement which however do not essentially scrutinize the validity of the statements, but may perturb the reading of the paper. The list of corrections are as follows:

Notes

  1. Le second produit est en fait fini.

  2. Un résultat qualitatif antérieur, de même nature mais valide sous des hypothèses plus fortes, est dû à Levin & Timofeev [24].

  3. Voir également [30] pour des variantes relatives à des sommes pondérées.

  4. Cette hypothèse est en particulier impliquée, pour une valeur convenable de \(\eta _x\), par la convergence des trois séries \(\sum _{p}\{1-\mathfrak {R}e\,h(p)\}/p\).

  5. Le cas où E(x) est borné relève de techniques de crible élémentaires.

  6. Une estimation essentiellement équivalente découle d’ailleurs du Théorème 1.2 appliqué aux fonctions \(f(n):=r^{\Omega (n;E)}\), \(r(n):=\{\max (1,r)\}^{\Omega (n)}\). On peut en effet supposer \(\sigma :=1-\kappa \) arbitrairement petit et choisir alors

    $$\begin{aligned} {\mathfrak {b}}:=\tfrac{1}{2}, A:=1+\sigma , \varrho :=\max (1,r), {\mathfrak h}{:=}1, \varepsilon {:=}\sigma ^4/\{1+\sigma ^4(\log x)^{5\sigma }\}, \delta :=\log (1/\sigma )/\log (1/\varepsilon )\leqslant \tfrac{1}{4}. \end{aligned}$$

  7. Voir le th. III.3.5 de [33] pour une version simplifiée suffisante ici.

  8. Nous avons également utilisé ici l’inégalité élémentaire

    $$\begin{aligned} \sum _{1\leqslant \nu \leqslant (\log z)/\log p}{z\over p^\nu }\log ^{\varrho -1} \left( {2z\over p^\nu }\right) \ll {z\over p}\log ^{\varrho -1} \left( {2z\over p}\right) \quad (2\leqslant p\leqslant z), \end{aligned}$$

    valable uniformément pour \(0\leqslant \varrho \ll 1\), et dont nous omettons la démonstration.

  9. Nous omettons les détails, qui sont essentiellement identiques à ceux de la preuve de (4.4).

  10. Ce choix est licite puisque \(1\leqslant \alpha \log x\leqslant 1/\varepsilon \).

  11. Notons que cette minoration de \(D_1\) est optimale: lorsque \(\varrho =2{\mathfrak {b}}\), elle devient une égalité pour

    $$\begin{aligned} r(p):={\left\{ \begin{array}{ll} A&{} \hbox {si }\cos (\tau \log p)\geqslant \cos {\mathfrak p},\\ 0&{} \hbox {si }\cos (\tau \log p)<\cos {\mathfrak p}.\\ \end{array}\right. } \end{aligned}$$

  12. Plus précisément, la conclusion du théorème 1.1 de [34] est inchangée si l’on remplace la condition (v) par \(\sum _{y<p\leqslant (1+\lambda )y}f(p)\log p\gg y\) \((x^{\tau } <y\leqslant x^{1-\sigma })\), avec les notations de [34].

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  1. Institut Élie Cartan, Université de Lorraine, BP 70239, 54506, Vandœuvre-l s-Nancy Cedex, France

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Tenenbaum, G. Moyennes effectives de fonctions multiplicatives complexes. Ramanujan J 44, 641–701 (2017). https://doi.org/10.1007/s11139-017-9949-7

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  • DOI: https://doi.org/10.1007/s11139-017-9949-7

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