Existence of frame-derived H-designs

Abstract

An H-design H(v, g, k, t) is a triple $(X, \mathcal{G},\mathcal{B})$, where X is a set of gv points, $\mathcal{G}$ is a partition of X into v disjoint groups of size g, and $\mathcal{B}$ is a set of $\mathcal{G}$-transverse k-subsets, called blocks, such that each $\mathcal{G}$-transverse t-subset is contained in exactly one block of $\mathcal{B}$. A frame-derived H-design FDH(v, g, 4, 3) is an H(v, g, 4, 3) whose derived design at every point forms a Kirkman frame, an H$(v-1,g,3,2)$ having a resolution into $g(v-1)/2$ holey parallel classes. FDH(v, g, 4, 3)s are proved to be effective designs to produce large sets of Kirkman triple systems (LKTS) in this paper. Related recursive constructions are established and direct constructions for FDH(v, 2, 4, 3)s are displayed by using automorphism groups. The existence result on LKTS is improved as well.

Appendix

We show the existence of an FDH(v, 2, 4, 3) where $v\in \{29,47,59,71,83\}$ to prove Lemma 3.6. First we construct an H(v, 2, 4, 3) on $\mathbb {Z}_{2v}$ with groups $G_i=\{i,i+v\}$, $0\le i\le v-1$ by Theorem 3.4. The construction makes use of an automorphism group $\Lambda =\{\tau _{m,g}:m\in M,g\in \mathbb {Z}_{2v},2|g\}$, where $M=\langle \alpha \rangle$ is a cyclic multiplier group of order k generated by the element $\alpha$. We list the starter blocks in $\mathcal{B}_0$. With the H-designs in hand we only need to check the derived designs at $x=0,v$ are KF$(2^{v-1})$, which will be fulfilled by checking conditions in Theorem 3.4. We list all the starter holey parallel classes to support our conclusion, in which $P_x^s$ ($x=0,v$) stands for a holey parallel class of the derived design at the point x missing the group $G_s=\{s,s+v\}$.

(1) $v=29,\alpha =7,k=7$

$\mathcal{B}_0:$	$1\ 6\ 16\ 40$	$8\ 12\ 45\ 50$	$2\ 10\ 18\ 54$	$2\ 7\ 8\ 12$	$5\ 6\ 8\ 44$
	$11\ 14\ 24\ 52$	$14\ 40\ 44\ 51$	$2\ 10\ 15\ 26$	$2\ 4\ 15\ 38$	$1\ 14\ 26\ 52$
	$0\ 2\ 16\ 27$	$0\ 16\ 18\ 26$	$19\ 20\ 51\ 56$	$4\ 27\ 43\ 46$	$5\ 41\ 48\ 52$
	$9\ 15\ 28\ 48$	$15\ 20\ 25\ 28$	$3\ 12\ 23\ 26$	$7\ 18\ 20\ 39$	$3\ 12\ 19\ 20$
	$10\ 12\ 49\ 51$	$5\ 6\ 27\ 52$	$3\ 4\ 15\ 22$	$2\ 4\ 21\ 25$	$1\ 11\ 21\ 38$
	$7\ 17\ 26\ 43$	$8\ 13\ 25\ 51$	$2\ 9\ 13\ 43$	$13\ 51\ 53\ 54$	$1\ 17\ 24\ 51$
	$0\ 15\ 23\ 25$	$16\ 21\ 23\ 51$	$9\ 37\ 44\ 49$	$1\ 3\ 17\ 52$	$3\ 7\ 13\ 27$
	$3\ 5\ 9\ 51$

${P}_0^{9}:$	$1\ 51\ 53$	$7\ 8\ 49$	$23\ 28\ 43$	$6\ 24\ 45$	$25\ 30\ 48$	$36\ 42\ 50$
	$20\ 37\ 44$	$27\ 31\ 52$	$4\ 22\ 55$	$10\ 16\ 41$	$14\ 19\ 35$	$2\ 18\ 56$
	$21\ 34\ 40$	$11\ 13\ 39$	$3\ 17\ 47$	$5\ 32\ 54$	$12\ 15\ 57$	$26\ 33\ 46$
${ P}_0^{19}:$	$1\ 20\ 54$	$26\ 36\ 44$	$30\ 34\ 57$	$24\ 25\ 41$	$8\ 16\ 52$	$33\ 49\ 51$
	$37\ 40\ 55$	$5\ 22\ 39$	$3\ 11\ 35$	$10\ 18\ 32$	$14\ 42\ 53$	$15\ 21\ 45$
	$4\ 47\ 56$	$6\ 28\ 46$	$2\ 7\ 43$	$23\ 31\ 38$	$9\ 12\ 17$	$13\ 27\ 50$
${P}_0^{45}:$	$6\ 47\ 53$	$8\ 22\ 48$	$21\ 26\ 38$	$4\ 44\ 49$	$15\ 24\ 39$	$9\ 10\ 30$
	$5\ 37\ 57$	$3\ 34\ 52$	$11\ 12\ 33$	$20\ 25\ 50$	$17\ 18\ 42$	$1\ 14\ 27$
	$7\ 31\ 46$	$13\ 28\ 32$	$23\ 35\ 56$	$19\ 36\ 54$	$40\ 41\ 43$	$2\ 51\ 55$
${ P}_0^{55}:$	$1\ 41\ 49$	$10\ 34\ 53$	$14\ 25\ 56$	$5\ 7\ 35$	$8\ 11\ 23$	$30\ 40\ 47$
	$2\ 46\ 50$	$6\ 17\ 52$	$12\ 27\ 39$	$24\ 33\ 42$	$3\ 13\ 54$	$18\ 21\ 43$
	$4\ 9\ 36$	$15\ 22\ 28$	$16\ 19\ 32$	$38\ 44\ 51$	$20\ 48\ 57$	$31\ 37\ 45$

${ P}_{29}^{9}:$	$1\ 37\ 55$	$27\ 32\ 39$	$15\ 17\ 28$	$3\ 21\ 34$	$31\ 48\ 50$	$7\ 43\ 52$
	$19\ 30\ 44$	$2\ 14\ 41$	$8\ 11\ 47$	$16\ 33\ 56$	$36\ 40\ 51$	$4\ 24\ 54$
	$10\ 22\ 53$	$6\ 12\ 18$	$23\ 26\ 46$	$5\ 42\ 57$	$13\ 20\ 45$	$25\ 35\ 49$
${ P}_{29}^{19}:$	$1\ 16\ 26$	$3\ 40\ 42$	$15\ 30\ 33$	$4\ 39\ 57$	$14\ 22\ 56$	$7\ 34\ 38$
	$6\ 24\ 51$	$12\ 28\ 47$	$9\ 45\ 50$	$18\ 46\ 54$	$10\ 25\ 27$	$37\ 41\ 52$
	$32\ 53\ 55$	$2\ 11\ 23$	$21\ 43\ 49$	$8\ 17\ 35$	$20\ 31\ 44$	$5\ 13\ 36$
${ P}_{29}^{45}:$	$1\ 36\ 41$	$7\ 15\ 35$	$19\ 24\ 32$	$11\ 18\ 39$	$8\ 33\ 40$	$5\ 14\ 48$
	$2\ 37\ 53$	$12\ 13\ 46$	$17\ 31\ 51$	$22\ 27\ 57$	$3\ 44\ 49$	$20\ 30\ 50$
	$4\ 34\ 52$	$9\ 21\ 26$	$6\ 23\ 54$	$25\ 38\ 43$	$10\ 47\ 56$	$28\ 42\ 55$
${ P}_{29}^{55}:$	$1\ 33\ 45$	$7\ 12\ 49$	$2\ 6\ 30$	$28\ 32\ 44$	$8\ 34\ 46$	$11\ 27\ 36$
	$20\ 24\ 56$	$14\ 38\ 53$	$10\ 13\ 18$	$3\ 35\ 50$	$39\ 40\ 54$	$4\ 9\ 17$
	$22\ 23\ 48$	$15\ 21\ 42$	$19\ 47\ 52$	$37\ 51\ 57$	$5\ 41\ 43$	$16\ 25\ 31$

(2) $v=47,\alpha =3,k=23$

$\mathcal{B}_0:$	0 10 19 38	8 14 30 80	20 25 46 84	5 6 18 26	4 43 44 46
	8 17 28 40	3 12 34 38	0 5 28 32	17 62 72 76	38 44 45 66
	4 14 28 37	2 4 85 92	11 39 40 44	14 38 41 91	25 29 74 92
	10 53 75 88	13 20 21 30	5 7 36 78	30 73 83 85	3 15 22 39
	11 54 61 87	19 57 67 86	1 2 39 57	11 12 15 43	13 37 87 92
	17 25 43 46	11 17 19 78	3 12 81 85	15 17 41 43	1 3 51 54

$P_{0}^{17}:$	$1\ 8\ 38$	$20\ 30\ 57$	$32\ 63\ 78$	$28\ 60\ 92$	$55\ 66\ 87$	$14\ 22\ 58$
	$46\ 77\ 88$	$11\ 52\ 82$	$44\ 59\ 62$	$19\ 40\ 51$	$50\ 76\ 81$	$4\ 25\ 86$
	$2\ 24\ 70$	$33\ 42\ 72$	$26\ 43\ 54$	$7\ 39\ 80$	$18\ 36\ 90$	$10\ 67\ 68$
	$61\ 85\ 93$	$21\ 48\ 73$	$34\ 84\ 91$	$3\ 12\ 16$	$6\ 31\ 89$	$56\ 65\ 74$
	$5\ 15\ 49$	$23\ 45\ 79$	$9\ 13\ 69$	$27\ 29\ 83$	$41\ 71\ 75$	$35\ 37\ 53$
$P_{0}^{85}:$	$1\ 6\ 75$	$7\ 37\ 81$	$27\ 45\ 63$	$2\ 3\ 21$	$46\ 53\ 59$	$20\ 25\ 71$
	$17\ 40\ 62$	$44\ 49\ 82$	$9\ 73\ 88$	$10\ 30\ 65$	$12\ 51\ 76$	$56\ 68\ 83$
	$14\ 55\ 60$	$29\ 72\ 89$	$8\ 52\ 61$	$24\ 42\ 79$	$35\ 66\ 92$	$58\ 87\ 90$
	$23\ 26\ 32$	$54\ 69\ 86$	$15\ 36\ 64$	$22\ 67\ 74$	$13\ 18\ 78$	$31\ 34\ 70$
	$43\ 48\ 80$	$19\ 33\ 91$	$4\ 39\ 84$	$28\ 50\ 77$	$11\ 41\ 57$	$5\ 16\ 93$

$P_{47}^{17}:$	$34\ 49\ 61$	$27\ 55\ 68$	$9\ 30\ 59$	$3\ 7\ 57$	$16\ 66\ 79$	$25\ 42\ 65$
	$29\ 71\ 89$	$74\ 81\ 91$	$1\ 5\ 43$	$18\ 63\ 93$	$50\ 69\ 83$	$75\ 77\ 90$
	$21\ 72\ 87$	$44\ 53\ 70$	$13\ 38\ 51$	$15\ 20\ 37$	$54\ 58\ 60$	$11\ 52\ 56$
	$23\ 36\ 41$	$4\ 12\ 32$	$26\ 31\ 85$	$14\ 39\ 78$	$28\ 48\ 76$	$19\ 33\ 92$
	$8\ 45\ 46$	$6\ 82\ 88$	$22\ 35\ 84$	$2\ 24\ 40$	$10\ 62\ 86$	$67\ 73\ 80$
$P_{47}^{85}:$	$7\ 27\ 30$	$75\ 79\ 92$	$22\ 51\ 59$	$25\ 60\ 76$	$2\ 29\ 65$	$24\ 49\ 63$
	$41\ 66\ 89$	$6\ 77\ 81$	$9\ 34\ 43$	$40\ 53\ 88$	$21\ 42\ 61$	$1\ 73\ 74$
	$4\ 68\ 71$	$33\ 36\ 37$	$56\ 80\ 84$	$3\ 70\ 86$	$14\ 44\ 90$	$52\ 55\ 93$
	$19\ 28\ 69$	$17\ 23\ 87$	$10\ 35\ 39$	$13\ 82\ 83$	$8\ 16\ 18$	$45\ 48\ 57$
	$20\ 46\ 50$	$5\ 72\ 78$	$12\ 62\ 64$	$11\ 32\ 67$	$31\ 58\ 91$	$15\ 26\ 54$

(3) $v=59,\alpha =3,k=29$

$\mathcal{B}_0:$	0 12 18 65	6 8 12 66	64 76 104 107	24 34 52 63	8 36 48 109
	2 3 50 68	16 28 38 116	4 11 34 102	2 14 16 115	16 58 77 114
	2 4 12 73	4 56 58 107	26 32 50 83	10 33 38 51	1 6 69 94
	19 97 110 116	4 19 38 49	15 27 48 110	17 21 38 86	5 12 39 112
	3 4 21 86	19 42 45 46	4 26 93 111	19 32 44 51	10 41 99 108
	28 77 91 105	7 11 45 54	15 53 82 107	1 3 27 70	19 59 79 96
	11 43 51 100	39 41 54 55	23 35 44 51	25 56 67 95	3 6 17 103
	21 24 101 117	33 49 51 115	5 31 45 67

$P_{0}^{21}:$	$1\ 4\ 34$	$5\ 15\ 90$	$6\ 27\ 105$	$3\ 42\ 114$	$18\ 53\ 72$	$8\ 48\ 85$
	$35\ 84\ 106$	$16\ 40\ 57$	$24\ 30\ 36$	$14\ 22\ 44$	$52\ 54\ 103$	$10\ 51\ 115$
	$25\ 92\ 113$	$32\ 49\ 112$	$64\ 86\ 102$	$11\ 23\ 58$	$50\ 108\ 111$	$12\ 47\ 96$
	$56\ 62\ 74$	$2\ 43\ 89$	$29\ 38\ 66$	$17\ 55\ 98$	$60\ 70\ 93$	$13\ 82\ 88$
	$26\ 45\ 110$	$9\ 77\ 104$	$67\ 68\ 94$	$78\ 95\ 100$	$19\ 33\ 101$	$7\ 97\ 109$
	$39\ 76\ 83$	$46\ 71\ 107$	$31\ 65\ 117$	$20\ 37\ 75$	$28\ 69\ 79$	$41\ 87\ 116$
	$63\ 81\ 99$	$61\ 73\ 91$
$P_{0}^{73}:$	$1\ 78\ 109$	$17\ 44\ 101$	$55\ 106\ 110$	$13\ 36\ 108$	$34\ 82\ 91$	$9\ 51\ 65$
	$64\ 90\ 103$	$19\ 37\ 77$	$38\ 62\ 93$	$23\ 27\ 80$	$6\ 48\ 115$	$3\ 11\ 66$
	$4\ 43\ 57$	$45\ 71\ 87$	$10\ 25\ 111$	$69\ 72\ 89$	$94\ 97\ 99$	$31\ 35\ 75$
	$5\ 7\ 67$	$33\ 42\ 63$	$16\ 26\ 53$	$47\ 50\ 54$	$60\ 113\ 114$	$8\ 49\ 88$
	$70\ 96\ 107$	$22\ 83\ 116$	$15\ 52\ 58$	$32\ 104\ 117$	$21\ 39\ 81$	$18\ 30\ 40$
	$84\ 86\ 105$	$79\ 95\ 112$	$12\ 28\ 76$	$2\ 24\ 85$	$46\ 100\ 102$	$29\ 41\ 92$
	$20\ 61\ 74$	$56\ 68\ 98$

$P_{59}^{21}:$	$20\ 51\ 71$	$5\ 15\ 53$	$19\ 45\ 81$	$66\ 85\ 95$	$2\ 3\ 77$	$23\ 87\ 110$
	$78\ 82\ 105$	$25\ 47\ 65$	$27\ 69\ 99$	$8\ 57\ 83$	$35\ 92\ 114$	$7\ 41\ 113$
	$1\ 14\ 109$	$18\ 75\ 111$	$28\ 49\ 64$	$17\ 31\ 70$	$29\ 46\ 96$	$72\ 107\ 112$
	$26\ 79\ 103$	$40\ 42\ 48$	$55\ 90\ 116$	$50\ 68\ 100$	$33\ 34\ 67$	$16\ 37\ 98$
	$30\ 32\ 44$	$24\ 61\ 91$	$38\ 104\ 108$	$11\ 13\ 62$	$39\ 54\ 115$	$36\ 58\ 89$
	$6\ 74\ 93$	$84\ 102\ 117$	$10\ 43\ 94$	$56\ 86\ 88$	$9\ 12\ 73$	$52\ 76\ 101$
	$63\ 97\ 106$	$4\ 22\ 60$
$P_{59}^{73}:$	$5\ 27\ 106$	$41\ 90\ 107$	$54\ 87\ 99$	$1\ 96\ 98$	$10\ 44\ 71$	$50\ 52\ 85$
	$30\ 34\ 40$	$2\ 32\ 48$	$20\ 72\ 102$	$29\ 38\ 114$	$3\ 68\ 82$	$6\ 53\ 94$
	$18\ 55\ 63$	$24\ 45\ 74$	$7\ 35\ 112$	$56\ 65\ 110$	$4\ 8\ 36$	$67\ 70\ 97$
	$31\ 42\ 60$	$9\ 58\ 93$	$11\ 23\ 92$	$21\ 37\ 62$	$22\ 64\ 91$	$79\ 89\ 101$
	$69\ 109\ 111$	$13\ 80\ 95$	$17\ 39\ 86$	$15\ 46\ 47$	$66\ 100\ 117$	$57\ 105\ 108$
	$25\ 33\ 104$	$19\ 83\ 115$	$51\ 61\ 88$	$26\ 77\ 113$	$16\ 76\ 103$	$12\ 49\ 75$
	$43\ 81\ 84$	$28\ 78\ 116$

(4) $v=71,\alpha =3,k=35$

$\mathcal{B}_0:$	12 38 50 64	7 36 116 120	14 29 46 70	14 53 64 140	16 20 113 128
	11 22 38 42	12 13 86 130	4 20 42 46	38 101 126 140	18 25 34 132
	0 60 87 102	16 44 64 113	50 58 122 127	36 40 55 136	17 40 72 82
	8 13 14 58	44 50 124 125	10 19 115 140	0 23 64 105	1 25 80 132
	5 40 82 123	27 58 128 141	35 37 66 112	20 89 122 133	44 45 64 69
	25 112 117 120	4 7 19 62	7 14 23 38	24 32 47 75	1 3 5 10
	8 29 51 127	9 26 29 67	17 47 51 138	11 22 47 55	43 53 120 131
	17 21 59 112	9 56 101 141	11 54 55 67	12 13 97 103	1 3 9 16
	24 45 47 133	37 42 121 125	11 45 52 63	5 29 60 117	3 5 21 99
	15 67 123 141

$P_{0}^{5}:$	$89\ 91\ 121$	$51\ 73\ 107$	$11\ 85\ 119$	$77\ 123\ 133$	$23\ 29\ 127$	$109\ 139\ 141$
	$41\ 62\ 115$	$33\ 39\ 70$	$34\ 45\ 65$	$24\ 61\ 99$	$63\ 113\ 128$	$20\ 21\ 93$
	$67\ 78\ 87$	$17\ 79\ 98$	$25\ 117\ 136$	$31\ 49\ 74$	$53\ 81\ 88$	$12\ 13\ 40$
	$32\ 55\ 112$	$16\ 35\ 140$	$38\ 97\ 100$	$59\ 66\ 103$	$46\ 126\ 137$	$7\ 57\ 132$
	$18\ 47\ 64$	$30\ 69\ 138$	$104\ 105\ 122$	$3\ 14\ 96$	$9\ 102\ 134$	$4\ 54\ 124$
	$83\ 114\ 118$	$22\ 50\ 80$	$48\ 52\ 125$	$27\ 44\ 86$	$8\ 42\ 111$	$15\ 68\ 92$
	$28\ 94\ 101$	$19\ 56\ 106$	$90\ 108\ 129$	$37\ 72\ 130$	$1\ 10\ 58$	$2\ 75\ 82$
	$43\ 84\ 110$	$6\ 60\ 95$	$26\ 120\ 131$	$36\ 116\ 135$
$P_{0}^{59}:$	$1\ 23\ 77$	$91\ 107\ 141$	$15\ 37\ 133$	$75\ 125\ 139$	$25\ 67\ 111$	$31\ 95\ 129$
	$51\ 103\ 119$	$27\ 87\ 90$	$12\ 79\ 101$	$57\ 81\ 82$	$43\ 62\ 109$	$19\ 45\ 94$
	$49\ 89\ 128$	$47\ 73\ 92$	$9\ 28\ 54$	$4\ 29\ 134$	$3\ 70\ 80$	$32\ 114\ 121$
	$100\ 126\ 131$	$20\ 40\ 120$	$10\ 86\ 135$	$2\ 117\ 127$	$44\ 64\ 98$	$35\ 74\ 124$
	$30\ 61\ 140$	$17\ 102\ 104$	$6\ 65\ 78$	$96\ 99\ 105$	$5\ 16\ 116$	$56\ 60\ 112$
	$7\ 8\ 85$	$33\ 84\ 108$	$46\ 52\ 93$	$97\ 118\ 136$	$55\ 76\ 122$	$53\ 58\ 63$
	$14\ 21\ 36$	$39\ 42\ 72$	$41\ 69\ 137$	$22\ 24\ 123$	$11\ 83\ 115$	$48\ 50\ 106$
	$34\ 132\ 138$	$18\ 66\ 113$	$26\ 68\ 110$	$13\ 38\ 88$

$P_{71}^{5}:$	$9\ 133\ 138$	$13\ 31\ 46$	$51\ 61\ 96$	$104\ 125\ 127$	$22\ 60\ 117$	$35\ 37\ 92$
	$39\ 70\ 139$	$6\ 69\ 82$	$33\ 68\ 115$	$18\ 59\ 134$	$58\ 101\ 141$	$87\ 105\ 137$
	$93\ 103\ 116$	$4\ 17\ 66$	$23\ 130\ 135$	$11\ 16\ 73$	$7\ 21\ 45$	$25\ 65\ 126$
	$12\ 47\ 113$	$48\ 90\ 123$	$50\ 63\ 131$	$3\ 55\ 94$	$42\ 49\ 98$	$97\ 99\ 111$
	$67\ 85\ 118$	$54\ 74\ 100$	$26\ 102\ 124$	$62\ 79\ 81$	$30\ 56\ 122$	$44\ 52\ 132$
	$14\ 38\ 84$	$89\ 106\ 119$	$1\ 80\ 109$	$10\ 36\ 91$	$40\ 110\ 129$	$27\ 77\ 112$
	$41\ 53\ 78$	$34\ 86\ 114$	$2\ 32\ 140$	$29\ 108\ 128$	$8\ 24\ 64$	$57\ 95\ 121$
	$83\ 88\ 107$	$15\ 19\ 136$	$20\ 28\ 43$	$72\ 75\ 120$
$P_{71}^{59}:$	$37\ 77\ 100$	$24\ 29\ 129$	$15\ 38\ 75$	$11\ 81\ 103$	$63\ 101\ 119$	$1\ 26\ 135$
	$19\ 25\ 28$	$3\ 31\ 91$	$89\ 102\ 118$	$82\ 97\ 121$	$67\ 79\ 120$	$47\ 50\ 107$
	$18\ 33\ 83$	$45\ 74\ 84$	$14\ 20\ 73$	$92\ 109\ 114$	$43\ 48\ 115$	$80\ 95\ 117$
	$64\ 87\ 104$	$9\ 113\ 136$	$27\ 36\ 123$	$46\ 105\ 131$	$61\ 110\ 111$	$2\ 35\ 49$
	$21\ 125\ 128$	$57\ 58\ 137$	$5\ 94\ 122$	$66\ 72\ 116$	$16\ 51\ 132$	$98\ 99\ 140$
	$6\ 8\ 139$	$22\ 23\ 39$	$4\ 44\ 90$	$62\ 65\ 108$	$70\ 106\ 126$	$32\ 42\ 134$
	$56\ 68\ 85$	$13\ 17\ 76$	$34\ 60\ 78$	$12\ 133\ 141$	$96\ 112\ 127$	$10\ 86\ 93$
	$7\ 53\ 55$	$30\ 52\ 138$	$40\ 54\ 124$	$41\ 69\ 88$

(5) $v=83,\alpha =3,k=41$

$\mathcal{B}_0:$	2 40 72 139	36 66 85 156	2 10 21 156	42 64 79 80	8 20 27 74
	3 8 38 46	31 44 60 142	39 52 56 82	35 46 54 58	15 40 44 100
	4 8 75 114	9 26 48 70	38 42 132 161	16 62 67 76	66 86 111 158
	0 19 44 148	9 42 60 76	4 10 68 124	6 23 136 164	2 58 74 154
	12 16 44 61	9 52 64 101	0 23 32 41	3 13 68 156	6 20 23 41
	21 54 60 81	0 6 13 41	7 18 79 136	23 54 112 127	21 67 132 148
	6 8 21 111	8 36 79 153	6 19 138 143	1 5 55 56	6 27 49 73
	5 17 21 32	21 45 56 61	31 55 147 164	23 101 111 160	1 32 45 69
	29 83 131 152	15 27 28 65	41 46 63 151	15 23 58 147	9 25 71 80
	57 62 69 75	18 39 59 65	42 69 75 163	1 17 34 35	34 81 133 145
	6 13 37 153	13 19 119 145	3 7 13 51	11 55 56 151

$P_{0}^{63}:$	$1\ 23\ 73$	$21\ 93\ 109$	$9\ 33\ 113$	$5\ 75\ 87$	$111\ 119\ 132$	$81\ 101\ 151$
	$11\ 35\ 147$	$13\ 25\ 133$	$39\ 153\ 163$	$3\ 19\ 159$	$30\ 131\ 157$	$29\ 103\ 120$
	$31\ 57\ 128$	$55\ 121\ 156$	$43\ 59\ 122$	$40\ 51\ 115$	$17\ 26\ 165$	$4\ 65\ 108$
	$36\ 69\ 88$	$27\ 60\ 124$	$44\ 78\ 123$	$14\ 37\ 64$	$2\ 41\ 136$	$22\ 77\ 98$
	$96\ 138\ 161$	$74\ 99\ 117$	$7\ 32\ 62$	$42\ 82\ 127$	$46\ 76\ 95$	$49\ 66\ 100$
	$6\ 58\ 61$	$140\ 152\ 155$	$20\ 24\ 70$	$54\ 126\ 158$	$68\ 90\ 145$	$52\ 56\ 86$
	$16\ 50\ 79$	$72\ 107\ 154$	$12\ 18\ 125$	$38\ 71\ 80$	$94\ 118\ 149$	$8\ 106\ 112$
	$10\ 137\ 160$	$134\ 135\ 144$	$53\ 85\ 148$	$15\ 104\ 150$	$97\ 141\ 162$	$45\ 143\ 164$
	$89\ 105\ 114$	$28\ 91\ 142$	$34\ 48\ 84$	$47\ 92\ 110$	$67\ 129\ 130$	$102\ 116\ 139$
$P_{0}^{133}:$	$1\ 82\ 112$	$6\ 30\ 108$	$58\ 89\ 134$	$14\ 26\ 93$	$4\ 52\ 161$	$98\ 100\ 126$
	$32\ 103\ 157$	$7\ 42\ 158$	$24\ 95\ 96$	$20\ 104\ 135$	$17\ 84\ 118$	$22\ 97\ 125$
	$107\ 120\ 162$	$46\ 48\ 90$	$8\ 19\ 154$	$12\ 68\ 111$	$2\ 74\ 151$	$27\ 86\ 132$
	$81\ 140\ 160$	$70\ 94\ 165$	$64\ 85\ 142$	$9\ 114\ 131$	$11\ 59\ 102$	$34\ 55\ 124$
	$101\ 130\ 148$	$44\ 109\ 146$	$79\ 138\ 150$	$37\ 92\ 136$	$69\ 78\ 106$	$10\ 15\ 88$
	$49\ 54\ 156$	$38\ 144\ 159$	$75\ 116\ 153$	$23\ 39\ 141$	$36\ 63\ 164$	$28\ 71\ 145$
	$77\ 122\ 139$	$33\ 127\ 155$	$16\ 123\ 147$	$61\ 80\ 99$	$3\ 35\ 137$	$18\ 60\ 149$
	$40\ 87\ 128$	$47\ 56\ 66$	$13\ 57\ 65$	$62\ 76\ 105$	$5\ 45\ 117$	$113\ 119\ 129$
	$41\ 51\ 53$	$29\ 31\ 115$	$21\ 73\ 163$	$43\ 72\ 91$	$110\ 121\ 152$	$25\ 67\ 143$

$P_{83}^{63}:$	$81\ 121\ 122$	$9\ 54\ 151$	$25\ 33\ 138$	$17\ 18\ 111$	$49\ 68\ 131$	$119\ 147\ 157$
	$11\ 125\ 161$	$51\ 92\ 113$	$59\ 61\ 134$	$41\ 64\ 93$	$75\ 86\ 112$	$23\ 78\ 108$
	$7\ 28\ 40$	$95\ 152\ 155$	$106\ 127\ 139$	$27\ 129\ 132$	$14\ 69\ 103$	$5\ 84\ 87$
	$57\ 117\ 123$	$1\ 71\ 162$	$91\ 130\ 153$	$3\ 39\ 58$	$42\ 53\ 109$	$32\ 98\ 99$
	$31\ 76\ 165$	$29\ 35\ 163$	$2\ 50\ 65$	$37\ 96\ 107$	$21\ 34\ 52$	$77\ 136\ 149$
	$66\ 80\ 101$	$97\ 100\ 124$	$44\ 82\ 102$	$94\ 128\ 148$	$13\ 48\ 154$	$46\ 116\ 126$
	$6\ 62\ 74$	$20\ 88\ 160$	$16\ 26\ 140$	$72\ 142\ 144$	$56\ 156\ 164$	$12\ 133\ 158$
	$15\ 90\ 115$	$8\ 70\ 150$	$22\ 24\ 79$	$36\ 55\ 114$	$4\ 85\ 159$	$10\ 47\ 141$
	$43\ 89\ 110$	$67\ 73\ 120$	$30\ 45\ 105$	$104\ 118\ 145$	$19\ 135\ 143$	$38\ 60\ 137$
$P_{83}^{133}:$	$33\ 75\ 142$	$3\ 11\ 21$	$2\ 59\ 91$	$4\ 102\ 123$	$87\ 89\ 140$	$92\ 95\ 131$
	$17\ 72\ 150$	$23\ 28\ 155$	$38\ 113\ 143$	$55\ 56\ 147$	$1\ 110\ 161$	$13\ 74\ 153$
	$27\ 81\ 100$	$51\ 119\ 120$	$65\ 68\ 124$	$19\ 111\ 127$	$69\ 135\ 164$	$9\ 14\ 149$
	$29\ 77\ 96$	$7\ 39\ 136$	$47\ 107\ 151$	$15\ 37\ 82$	$61\ 62\ 137$	$109\ 118\ 148$
	$25\ 36\ 105$	$115\ 139\ 146$	$10\ 18\ 63$	$126\ 144\ 165$	$24\ 93\ 157$	$5\ 49\ 52$
	$86\ 121\ 158$	$31\ 125\ 156$	$22\ 97\ 159$	$54\ 76\ 141$	$73\ 162\ 163$	$41\ 134\ 145$
	$6\ 16\ 152$	$43\ 101\ 160$	$57\ 66\ 85$	$84\ 103\ 114$	$58\ 70\ 88$	$67\ 129\ 138$
	$46\ 79\ 117$	$48\ 53\ 104$	$12\ 42\ 44$	$35\ 60\ 99$	$80\ 122\ 130$	$90\ 116\ 154$
	$40\ 45\ 71$	$32\ 94\ 112$	$64\ 98\ 132$	$8\ 20\ 78$	$26\ 34\ 108$	$30\ 106\ 128$