Embedding operators of Sobolev spaces with variable exponents and applications

Abstract

We introduce the vector-valued Sobolev spaces W ^m,p(x) (Ω;E ₀,E) with variable exponent associated with two Banach spaces E ₀ and E. The most regular space E _α is found such that the differential operator D ^α is bounded and compact from W ^m,p(x)(Ω;E ₀,E) to L ^q(x)(Ω;E _α ), where E _α are interpolation spaces between E ₀ and E is depending on α = (α ₁, α ₂,..., α _n ) and the positive integer m, where Ω ⊂ ℝⁿ is a region such that there exists a bounded linear extension operator from W ^m,p(x) (Ω;E ₀,E) to W ^m,p(x) (ℝⁿ;E (A), E). The function p(x) is Lipschitz continuous on Ω and q(x) is a measurable function such that $1 < p(x) \leqslant q(x) \leqslant \tfrac{{np(x)}} {{n - mp(x)}}$ for a.e. $x \in \bar \Omega$. Ehrling–Nirenberg–Gagilardo type sharp estimates for mixed derivatives are obtained. Then, by using this embedding result, the separability properties of abstract differential equations are established.

Резюме

Мы вводим векторнозначные пространства Соболева W ^m,p(x) (Ω;E ₀,E) с переменным показателем, связанные с двумя банаховыми пространствами E ₀ и E. Находится наибольшее регулярное пространство Е _α , такое что дифференциальный оператор D ^α ограничен и компактен из W ^m,p(x) (Ω;E ₀,E) в L ^q(x)(0; Е _α ), где Е _α являются интерполяционными пространствами между Е ₀ и Е, зависящими от α = (α ₁, α ₂,..., α _n ) и положительного целого m, a Ω ⊂ ℝⁿ является областью, такой что существует ограниченный линейный оператор продолжения из W ^m,p(x) (Ω;E ₀,E) в W ^m,p(x) (ℝⁿ; Е(А), Е). Функция p(x) непрерывна по Липшицу на Ω и q(x) — измеримая функция, такая что $1 < p(x) \leqslant q(x) \leqslant \tfrac{{np(x)}} {{n - mp(x)}}$ для п.в. $x \in \bar \Omega$. Получены точные оценки типа Эрлинга-Ниренберга-Гальярдо для смешанных производных. Затем с помощью этого результата о вложении устанавливаются свойства отделимости для абстрактных дифференциальных уравнений.