Ausgleichsrechnung mit Tschebyscheffpolynomen

Zusammenfassung

Es wird eine Methode vorgestellt um Datensätze mit Zusatzbedingungen in einem Intervall mittels Tschebyscheffpolynomen zu approximieren. Eine geeignete Segmentierung des Intervalls ermöglicht in einzelnen Teilintervallen eine Tschebyscheffapproximation von geringem Grad. Man kann dadurch insgesamt mit weniger Tschebyscheffkoeffizienten auskommen, als bei einer einzigen hochgradigen Approximation des Gesamtintervalls. An den inneren Segmentgrenzen fordern wir Stetigkeit sowie an den Intervallgrenzen der beiden äußeren Segmente die Annahme vorgegebener Werte bis zur zweiten Ableitung. Mit Hilfe von Lagrangefaktoren und der Methode der kleinsten Quadrate formulieren wir ein Minimumproblem mit Nebenbedingungen. Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösung die entsprechenden Tschebyscheffkoeffizienten liefert.

Abstract

A method is presented approximating a data set with additional conditions in an interval using Chebyshev polynomials. An appropriate segmentation of the interval allows in each interval a Chebyshev approximation of low degree and altogether less Chebyshev coefficients may be needed than in the case of a unique approximation of high degree for the whole interval. At the boundaries of the inner segments we demand continuity up to the second derivative as well as the fulfilment of given values at the border intervals. We use the least square method and introduce Lagrange factors to determine the Chebyshev coefficients. The result is a system of linear algebraic equations which has to be solved numerically.