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Dedekind’s and Frege’s views on logic

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Mathematische Semesterberichte Aims and scope Submit manuscript

Abstract

A contextual and comparative analysis shows that Dedekind and Frege do not understand the terms “logic” and “arithmetic” in the same way. More specifically the meaning and the scope of the corresponding concepts are essentially different for them. Consequently Dedekind and Frege have different conceptions of the relationship between arithmetic and logic.

Zusammenfassung

Eine vergleichende und Kontextgebundene Analyse zeigt, dass Dedekind und Frege die Ausdrücke „Logik“ und „Arithmetik“ sehr unterschiedlich verstehen. Sinn und Umfang der entsprechenden Begriffe sind jeweils wesentlich verschieden. Folglich Dedekind und Frege nicht dieselbe Auslegung der Beziehung zwischen Logik und Arithmetik geben.

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Notes

  1. For a much more detailed account one might read chapter I of Functions and generality of Logic. Reflections on Dedekind’s and Frege’s Logicisms, Springer, 2015. I developed there the ideas that I already put forward in the introductions and comments of my French translation of Stetigkeit und irrationale Zahlen and Was sind und was sollen die Zahlen? in Richard Dedekind : La création des nombres, Paris, Vrin, 2008 [8].

  2. Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (Gl), Breslau, Koebner, 1884 [11], §104: “Es wird zuletzt auch bei der Definition der Brüche, complexen Zahlen u.s.w. Alles darauf ankommen, einen beurtheilbaren Inhalt aufzusuchen, der in eine Gleichung verwandelt werden kann, deren Seiten dann eben die neuen Zahlen sind. Mit anderen Worten: wir müssen den Sinn eines Wiedererkennungsurtheils für solche Zahlen festsetzen. […], so werden uns die neue Zahlen als Umfänge von Begriffen gegeben” (emphasis added).

  3. The sign * introduces a brief reminder of the meaning of technical concepts.

  4. Posthumous Writings, Basil Blackwell, Oxford, 1979, [15, p. 183] (emphasis added). Original in Nachgelassene Schriften, Hermes H., Kambartel F. & Kaulbach F. eds., Felix Meiner Verlag Hamburg, 1969, [13, p. 199]: “Schon hieraus geht hervor, daß im Grunde ein Begriffsumfang von einem Aggregate ganz verschieden ist. Das Aggregat besteht aus seinen Teilen. Dagegen besteht der Begriffsumfang nicht aus den Gegenständen, die ihm angehören. Der Fall ist nämlich denkbar, daß ihm keine Gegenstände angehören. Der Begriffsumfang hat eben seinen Bestand im Begriffe, nicht in den Gegenständen, die ihm angehören; diese sind nicht seine Teile.”

  5. Ibidem : “So muß doch immer die Beziehung eines Teils zum Aggregate unterschieden werden von der des Gegenstandes zum Begriffsumfang, dem er angehört. Durch das Aggregat ist der Begriffsumfang auch in diesem Falle nicht bestimmt, wo sie scheinbar zusammenfallen.”.

  6. See Corps et modèles, Paris, Vrin [1], deuxième partie, chapitre II, where I described the “begriffliche Mathematik”, as B. van der Waerden and Pavel Alexandroff called it.

  7. See also “Logic in mathematics”, in Posthumous Writings, Basil Blackwell, Oxford, 1979, [15, p. 242 ff].

  8. To a certain extent this requirement is similar to Aristotle’s refusal of μετάβασις εἰς ἄλλο γένος.

  9. Stetigkeit und irrationale Zahlen, § 3: “[Ich] fordere, daß die Arithmetik sich aus sich selbst heraus entwickeln soll”.

  10. Such identifications are very usual in mathematical practice, but the philosophical question about how to conceive of, e. g., the identity of 2‑rational and 2‑real gives rise to subtle discussions.

  11. As I mentioned in the first chapter of Functions and generality of Logic [3], it’s not uncommon to argue for Dedekind’s logicism. See for instance José Ferreirós, The labyrinth of thought, Preface to the second revised edition, Birkhäuser Verlag, [9], and Michael Detlefsen, “Dedekind Against Intuition: Rigor, Scope and the Motives of his Logicism”, in Logic and Knowledge, C. Cellucci, E. Grosholz & E. Ippoliti (eds.), Cambridge Scholars Publishing, [4], 205–217.

  12. Vorwort zur ersten Auflage of Zahlen [6]: “Indem ich die Arithmetik (Algebra, Analysis) nur einen Teil der Logik nenne, spreche ich schon aus, daß ich den Zahlbegriff für gänzlich unabhängig von den Vorstellungen oder Anschauungen des Raumes und der Zeit, daß ich ihn vielmehr für einen unmittelbaren Ausfluß der reinen Denkgesetze halte”.

  13. This is exactly the perspective that Frege rejected in favour of a logical-ontological perspective.

  14. Indeed, numbers are prior to space and time (see footnote 12).

  15. Grundgesetze der Arithmetik (Gg) I , Jena 1893 [12], Preface, last sentence: “May my book, then, even if belatedly, contribute to a renewal of logic.” (“Und so möge denn dies Buch, wenn auch spät, zu einer Erneuerung der Logik beitragen.”)

  16. This locution is absent from Dedekind’s work.

  17. Later, in his essay “Function and concept”, Frege will define a function as an “unsaturated” [ungesättigt] expression and introduce the notion of a values range as referring to a set of pairings of arguments with values.

  18. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Verlag von Louis Nebert, Halle, 1879, [10], Vorwort, p. VII: “Insbesondere glaube ich, daß die Ersetzung der Begriffe Subject und Praedicat durch Argument und Function sich auf die Dauer bewähren wird. Man erkennt leicht, wie die Auffassung eines Inhalts als Function eines Argumentes begriffbildend wirkt.” (Frege’s emphasis).

  19. This specifically Fregean understanding of the term “concept” is totally outside the scope of Dedekind’s thinking.

  20. Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (Gl), [11], Einleitung, p. IV: “Man wird aus dieser Schrift ersehen können, daß auch ein scheinbar eigentümlich mathematischer Schluss wie der von n auf n + 1 auf den allgemeinen logischen Gesetzen beruht, daß es besondrer Gesetze des aggregativen Denkens nicht bedarf.”.

  21. In contemporary terminology, given a function φ: S → S, a φ-chain is a subset A of S such that φ(A) ⊆ A; given a subset A of S, the φ-chain A 0 generated by A is the intersection of all φ-chains containing A.

  22. For details see E. Reck paper “Dedekind’s structuralism: an interpretation and partial defense”, Synthese 137, [18], especially §§ 4–5; Wilfred Sieg and Dirk Schlimm, “Dedekind’s Analysis of Number: Systems and Axioms”, Synthese 147, [19], 121–170; W. Sieg & B. Morris, “Dedekind’s Structuralism: creating concepts and deriving theorems”, October 2015 [20], preprint of a paper forthcoming in Logic, Philosophy of Mathematics, and their History: Essays in Honor of W.W. Tait.

  23. “Die Bedeutung und teilweise Berechtigung dieser Zweifel [an der Sicherheit wichtiger Grundlagen meiner Auffassung] verkenne ich auch heute nicht. Aber mein Vertrauen in die innere Harmonie unserer Logik ist dadurch nicht erschüttert; ich glaube, daß eine strenge Untersuchung der Schöpferkraft des Geistes, aus bestimmten Elementen eine neues Bestimmtes, ihr System zu erschaffen, das notwendig von jeden dieser Elemente verschieden ist, gewiß dazu führen wird, die Grundlagen meiner Schrift einwandfrei zu gestalten.”.

  24. The term “internal” is a leitmotiv of Dedekind’s thinking. Already in “Über die Einführung neuer Funktionen in die Mathematik” (1854), Dedekind speaks of “the internal nature of science and of “the internal necessity” of the retroaction on the whole scientific organism of some local progress” [Gesammelte mathematische Werke III, p. 430]. In the correspondence with Keferstein (1890) Dedekind tells that he did not understand the “internal connection” [den inneren Zusammenhang] of Keferstein’s arguments, Revue d’histoire des sciences, 27/3, 1974, p. 261. The term “internal” comes again under Dedekind’s pen in a comment about Gauss’ preference for concepts as opposed to notation: as example Dedekind gives Riemann’s definition of a function by its “characteristic and internal properties” [innerliche charakteristische Eigenschaften], “Über die Begründung der Idealtheorie” (1895), Gesammelte mathematische Werke II, 54–55. All those passages suggest that here Dedekind means that the internal deductive structure of Zahlen is safe despite of the local flaw in the way of stating the creation of a system out of some given elements.

  25. Gl, first sentence of the introduction : “Auf die Frage, was die Zahl Eins sei, oder was das Zeichen 1 bedeute, wird man meistens die Antwort erhalten: nun, ein Ding. Und wenn man dann darauf aufmerksam macht, daß der Satz “die Zahl Eins ist ein Ding” keine Definition ist, weil auf der einen Seite der bestimmte Artikel, auf der anderen der unbestimmte steht, daß es nur besagt, die Zahl Eins gehöre zu den Dingen, aber nicht, welches Ding sie sei, so wird man vielleicht aufgefordert, sich irgendein Ding zu wählen, das man Eins nennen wolle. Wenn aber Jeder das Recht hätte, unter diesem Namen zu verstehe, was er will, so würde derselbe Satz von der Eins für Verschiedene Verschiedenes bedeuten; es gäbe keinen gemeinsamen Inhalt solcher Sätze.”.

  26. “Number”, in Posthumous Writings, p. 265 – Nachgelassene Schriften, p. 284: “Was ist denn nun die Zahl selbst? […] Aus der Gebrauchsweise der Zahlzeichen und Zahlwörter kann man etwas über die Zahl selbst zu erkennen suchen. Man gebraucht die Zahlzeichen und Zahlwörter wie Namen von Gegenständen als Eigennamen.” See also “Notes for Ludwig Darmstaedter”, Posthumous Writings, p. 256.

  27. “Wenn man bei der Betrachtung eines einfach unendlichen, durch eine Abbildung φ geordneten Systems N von der besonderen Beschaffenheit der Elemente gänzlich absieht, lediglich ihre Unterscheidbarkeit festhält und nur die Beziehungen auffaßt, in die sie durch die ordnende Abbildung φ zueinander gesetzt sind, so heißen diese Elemente natürliche Zahlen oder Ordinalzahlen oder auch schlechthin Zahlen, und das Grundelement 1 heißt die Grundzahl der Zahlenreihe N. In Rücksicht auf diese Befreiung der Elemente von jedem anderen Inhalt (Abstraktion) kann man die Zahlen mit Recht eine freie Schöpfung des menschlichen Geistes nennen.” (Dedekind’s emphasis).

  28. This is W. Tait’s opinion (“Some recent essays in the history of the philosophy of mathematics: a critical review”, Synthese 96 [23], 293–331, and “Frege versus Cantor and Dedekind: on the concept of number”, in Early Analytic Philosophy, Open Court, Chicago, [24], 213–248). W. Sieg and B. Morris defend a much more qualified view. They claim that the definition 73 of Zahlen does not determine a structure, it determines a “structure-mère”, in the sense of Bourbaki, and therefore constitutes a “higher-level concept”. Moreover, they think that Dedekind “was deeply influenced by Lotze’s views on concept formation, in particular on abstraction”, and that he considered mathematics to be rooted in logic. But Lotze’s abstraction is based on a close connection between logic, language, and metaphysics. In this respect, it is close to Aristotle’s abstraction [ἀφαíρεσις]. Dedekind dropped at least two ingredients: language and metaphysics.

  29. My answer is No: see “Facets and Levels of Mathematical Abstraction”, Philosophia Scientiæ, 18 (1), 2014, 81–112.

  30. Stetigkeit, § 3: “Die Annahme dieser Eigenschaft [Stetigkeit] der Linie ist nichts als ein Axiom, durch welches wir erst die Stetigkeit in die Linie hineindenken. Hat überhaupt der Raum eine reale Existenz, so braucht er doch nicht notwendig stetig zu sein; unzählige seiner Eigenschaften würden dieselben bleiben, wenn er auch unstetig wäre.”.

  31. “In science nothing capable of proof ought to be accepted without proof” (“Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden”), Zahlen, first sentence.

  32. “The word “true” indicates the aim of logic … All sciences have truth as their goal; but logic is also concerned with it in a quite different way from this. … To discover truths is the task of all sciences; it falls to logic to discern the laws of truth … Rules for asserting, thinking, judging, inferring, follow from the laws of truth.” English translation of “Der Gedanke. Eine logische Untersuchung”, Mind, 65, July [14], 289–311 (“Wie das Wort “schön” der Ästhetik und “gut” der Ethik, so weist “wahr” der Logik die Richtung. Zwar haben alle Wissenschaften Wahrheit als Ziel; aber die Logik beschäftigt sich noch in ganz anderer Weise mit ihr. Sie verhält sich zur Wahrheit etwa so wie die Physik zur Schwere oder zur Wärme. Wahrheiten zu entdecken, ist Aufgabe aller Wissenschaften: der Logik kommt es zu, die Gesetze des Wahrseins zu erkennen. […] Aus den Gesetzen des Wahrseins ergeben sich nun Vorschriften für das Fürwahrhalten, das Denken, Urteilen, Schließen. Und so spricht man wohl auch von Denkgesetzen.”).

  33. Zahlen, Preface to the first edition (emphasis added): “Verfolgt man genau, was wir bei dem Zählen der Menge oder Anzahl von Dingen tun, so wird man auf die Betrachtung der Fähigkeit des Geistes geführt, Dinge auf Dinge zu beziehen, einem Dinge ein Ding entsprechen zu lassen, oder ein Ding durch ein Ding abzubilden, ohne welche Fähigkeit überhaupt kein Denken möglich ist.” Let me stress again that “numbers” are not restricted to the natural numbers, they mean any kind of numbers.

  34. Let me recall that Dedekind explained to Keferstein that the definition of an infinite system S is not based on the identity (equality) [Identität (Gleichheit)] but on the similarity [Ähnlichkeit] between S and one of its proper parts A (German text in Revue d’histoire des sciences, 27/3, 1974, p. 261). Dedekind’s concept of “ähnliche Abbildung” (bijection) suffices to characterize the infinity of a system S, without appeal to the proper concept of number.

  35. Stein [22, p. 247] rightly points out that Dedekind’s work is “quite free of the preoccupations with “ontology” that so dominated Frege, and had so fascinated later philosophers” (“Logos, logic, and logistiké: Some philosophical remarks on nineteenth century transformation of mathematics”, in W. Aspray and P. Kitcher eds, University of Minnesota Press, [22]).

  36. Gg I, Vorwort: “Herr Dedekind ist der Meinung, dass die Lehre von den Zahlen ein Theil der Logik sei; aber seine Schrift trägt kaum dazu bei, diese Meinung zu erhärten, weil die von ihm angewendeten Ausdrücke “System”, “ein Ding gehört zu einem Dinge” in der Logik nicht üblich sind und nicht auf anerkannt Logisches zurückgeführt werden.”.

  37. Kitcher, “Frege, Dedekind, and the philosophy of mathematics”, in Haaparanta L. and Hintikka J. (eds.), Frege synthetized, D. Reidel, Dordrecht [16, pp. 299–343].

  38. Zahlen, Vorwort zur ersten Auflage : “Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit – the same word as used by Kant in Critique of pure reason B320 – der Dinge leichter und schärfer aufzufassen.”.

  39. This expression is borrowed from Charles Parsons, “Frege’s theory of number”, in Black M. (ed.), ed., Philosophy in America, Allen & Unwin, London, [17], §§VI, VII. Reprinted with Postscript in Mathematics in Philosophy: Selected Essays. Ithaca and London: Cornell University Press, [17]. Paperback edition 2005.

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  1. UMR 8590 IHPST – Institut d’Histoire et Philosophie des Sciences et des Techniques, Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne & CNRS, Paris, France

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Benis Sinaceur, H. Dedekind’s and Frege’s views on logic. Math Semesterber 64, 187–198 (2017). https://doi.org/10.1007/s00591-017-0198-z

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