1 Einleitung

Die Entwicklung und Fertigung einer maßgeschneiderten Hochfeldspule für magnetische Flussdichten weit über 20 Tesla gestaltet sich als sehr anspruchsvolle Ingenieursaufgabe. Das gilt nicht nur für die Spule selbst, sondern auch für den gesamten Aufbau. Dieser muss ebenfalls minutiös auf den Spulenbetrieb abgestimmt sein. Kleinste Abweichungen oder Probleme im Gesamtsystem bestehend aus Ansteuerung und Spule können gravierende Folgen haben, die im günstigsten Fall nur zu einer Fehlfunktion oder verminderten Leistung führen, aber im schlimmsten Fall sogar in der irreversiblen Zerstörung der Hochfeldspule münden können. Die Autoren dieser Arbeit mussten dies leider selbst erfahren. Denn trotz rigoroser Planung im Vorfeld, schlug der erste Spulenprototyp nach einer sehr vielversprechenden initialen Ramp-Up-Phase, begleitet durch einen extrem lauten Knall, elektrisch durch und wurde dadurch irreparabel zerstört. Bei der nachfolgenden Analyse zeigte sich, dass durch die Wucht des Durchschlags die betroffenen Wicklungsstellen ähnlich einer Punktverschweißung verschmolzen waren. Erst der zweite Prototyp der Hochfeldspule hat funktioniert. Erfreulicherweise konnten mit diesem die damaligen Rekordflussdichten im Labor des Instituts für Angewandte Physik der Technischen Universität Wien übertroffen werden und im gepulsten Betrieb kurzzeitig 38 Tesla erreicht werden [2]!

Der erste Teil dieses Fachartikels gibt eine kurze Übersicht über den Spulenaufbau, die Motivation und den angedachten Einsatzbereich, sowie zu beachtende Einschränkungen und Limitierungen beim Bau und Betrieb der Spule. Im zweiten Teil (Hauptteil) dieser Arbeit wird ein umfangreiches, analytisches, feldtheoretisches Modell der Hochfeldspule erstmalig präsentiert und ausgewertet. Manch lesende Person wird sich die Frage stellen, warum ein solch hoher mathematischer Aufwand betrieben wird, wenn man doch heutzutage eine Hochfeldspule dieses Typs mit Softwaretoolboxen wie COMSOL Multiphysics\({}^{\text{\textregistered}}\) oder ANSYS\({}^{\text{\textregistered}}\) relativ bequem simulieren könnte. Unser analytisches Modell besitzt gegenüber einem rein numerischen Simulationsmodell drei markante Vorteile: (i) Durch die geschlossen darstellbaren Lösungen sind komplexe feldtheoretische Zusammenhänge, weil explizit durch Formeln beschrieben, direkt ersichtlich und nicht in Zahlenbergen verschleiert. (ii) Die angegebenen analytischen Lösungen lassen sich innerhalb von Sekunden sehr schnell mit handelsüblichen Computern auswerten und liefern somit viel rascher Ergebnisse als rein computernumerische Modelle. (iii) Simulationsbasierte Geometrieoptimierungen können wesentlich effizienter durchgeführt werden. Während bei Finite Elemente Simulationen mit jedem Optimierungsschritt das Gitter neu adaptiert werden muss, was rechenintensiv und dadurch zeitaufwendig sein kann, ist bei analytischen Implementierungen kein erhöhter Zeitbedarf zu erwarten.

Die Grundidee für das präsentierte analytische Modell ist im Rahmen einer „Freitag-Nachmittags-Diskussion“ mit dem kürzlich verstorben Professor Fritz Paschke [7] entstanden, dem wir in diesem Zusammenhang zu Dank verpflichtet sind, und ihm diese Arbeit widmen möchten. Über das vorgestellte Modell können sämtliche elektromagnetische Feldgrößen im Spulenbereich, sowie entscheidende Spulenparameter und Spuleneigenschaften im Vorfeld effizient abgeschätzt werden. So wird etwa an Hand des Modells beispielhaft gezeigt, wie die Resonanzfrequenz der Hochfeldspule, welche eine ganz wesentliche Kenngröße für den sicheren Spulenbetrieb ist, berechnet werden kann.

2 Motivation und Umsetzung

Ein typisches System zur Generierung von hohen magnetischen Feldern besteht aus einer Energiequelle (z. B. Kondensatorbatterie oder Hochleistungsgenerator), welche für eine kurze Zeitspanne (im Sub-Sekundenbereich bis Sekundenbereich) ein Strom-Zeit-Profil liefert, das eine hochfeldkompatible Spule speist und in dieser ein sehr hohes Magnetfeld erzeugt. So eine Anordnung wurde entwickelt, gefertigt und am Institut für Allgemeine Physik der Technischen Universität Wien in Betrieb genommen, um in weiterer Folge damit verschiedenste hochfeldspezifische materialwissenschaftliche Experimente durchzuführen [2]. Abb. 1 zeigt ein Foto der etwa 56 kg schweren Zylinderspule. Bei der Planung, Konstruktion, Fertigung und Inbetriebnahme solch einer Spule ergeben sich folgende Herausforderungen, die gemeistert werden müssen um möglichst hohe Felder zu erreichen ohne dass dabei die Spule zerstört wird.

Abb. 1
figure 1

Foto der gefertigten Hochfeldspule

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2.1 Strom- und Windungszahllimitierung

Bei den angestrebten magnetischen Flussdichten jenseits von 20 Tesla befinden sich alle bekannten ferromagnetischen Materialien längst in Sättigung, wodurch deren Einsatz keinen Sinn macht, und auf reine Luftspulen zurückgegriffen werden muss. Durch diese Einschränkung lassen sich die hohen Magnetfelder nur durch hohe Ströme und/oder viele Windungen erzeugen bzw. präziser formuliert, einem hohen Produkt aus Stromstärke und Windungszahl.

2.2 Mechanische Spannungen

Auf die stromdurchflossenen Leiter im Inneren der Spule wirken im Magnetfeld Kräfte, die radial gerichtet sind. Sie sind proportional dem Spulenstrom \(I\) und der magnetischen Flussdichte \(B\). Kurzum, es entstehen Lorentzkräfte in der Spule, die näherungsweise proportional zu \(B^{2}\) sind [5]. Bei Hochfeldspulen ab zirka 20 Tesla muss deshalb besonderes Augenmerk auf diese mechanischen Kräfte gelegt werden, da sie die Spule mechanisch zerstören können. Materialien mit hoher Zugfestigkeit sind hier gefragt. In der vorliegenden Arbeit wurde die Spule mit einer hartgezogenen Kupferfolie (Zugfestigkeit im Bereich 360–410 MPa) gewickelt, da dies im Gegensatz zu drahtgewickelten Spulen besser in Hinblick auf die mechanische Festigkeit ist.

2.3 Thermische Verluste

Da supraleitende Leiter durch das begrenzende kritische Magnetfeld einerseits und ihre geringe mechanische Belastbarkeit andererseits bei den angestrebten hohen Feldern nicht verwendet werden können, verbleibt nur der Einsatz von resistiven Spulen, wodurch Joulsche Verluste und damit verbundene Erwärmungen problematisch werden können. Auf Grund der guten elektrischen Leitfähigkeit und des günstigen Preises wird oftmals Kupfer als Leitermaterial bevorzugt. Die spezifische elektrische Leitfähigkeit von reinem Kupfer (typisch 99,99 %) ist ein Parameter, der sowohl von der Temperatur, als auch von der Art der Herstellung abhängig ist. So ist weichgeglühtes Kupfer elektrisch besser leitfähig, aber mechanisch weniger zugfest als kaltgewalztes Kupfer. Hier ist eine Abwägung der gewünschten Parameter erforderlich. Wie im Unterkap. 2.2 erwähnt kam schlussendlich hartgezogenes Kupfer zum Einsatz. Der spezifische elektrische Widerstand von Kupfer kann durch Abkühlen der Spule vor Beginn des Experiments erheblich verringert werden. So ist sein Wert bei der Temperatur von siedendem Stickstoff (77 K) nur 10 % seines Wertes bei RaumtemperaturFootnote 1. Aus diesem Grund wurde in der vorliegenden Arbeit die Spule zuerst auf 77 K abgekühlt und anschließend in Betrieb genommen. Das schafft mehr Zeit um die angestrebte, hohe magnetische Endflussdichte zu erreichen. Limitierend ist letztlich (und das wurde als weiteres Designkriterium herangezogen), dass im Rahmen des Feldpulses die Endtemperatur nicht über die Raumtemperatur ansteigt. Darüber hinaus wären der spezifische Widerstand und die damit verbundenen thermischen Verluste zu hoch. Es würde keine signifikante Feldsteigerung mehr erzielt werden können, aber die Gefahr einer thermischen Zerstörung der Spule würde rapide ansteigen.

2.4 Thermische Expansion

Wird die Spule mit flüssigem Stickstoff abgekühlt, was gegenüber Raumtemperatur einer Temperaturdifferenz von etwa \(\Delta T=220\,\mathrm{K}\) entspricht, so kommt es zu erheblichen Längenänderungen. Damit dadurch keine zusätzlichen mechanischen Spannungen eingeprägt werden, muss die Panzereinfassung (aus Sicherheitsgründen unbedingt erforderlich!) in etwa den gleichen Ausdehnungskoeffizienten wie der Rest der Spule besitzen. Bei der realisierten Hochfeldspule kam eine mit Kohlefasern und Stycast 2850 FT verstärkte Panzerung zum Einsatz.

2.5 Induktivität

An sich wäre hier ein niedriger Wert der Selbstinduktivität wünschenswert, da sonst eine hohe Spannung für den Stromanstieg benötigt werden würde. Der Wert der Induktivität ergibt sich aber aus der Geometrie der Luftspule. Der Durchmesser der Spulenöffnung wird durch die Anwendung vorgegeben und Windungszahl und Strom bestimmen das erzielbare Feld. Der Durchmesser der Spule wird nun durch die Dicke der Leiter bestimmt und hier geht wieder der elektrische Widerstand des Drahtes bzw. in unserem Fall der Folie ein. Der Spulendurchmesser und damit die Induktivität wurden bei der vorliegenden Spule verkleinert, indem die Isolation zwischen den Windungen möglichst dünn und die Stromdichte möglichst groß gemacht wurden.

2.6 Energiegquelle

Um ein möglichst großes Feld zu erreichen muss die Spule an die Energiequelle angepasst werden. Die Spannung bestimmt die Stromanstiegsgeschwindigkeit, welche die erforderliche Dicke der Isolationsschicht bestimmt. Hohe Speisespannungen erlauben kurze Anstiegs- und Abfallzeiten des Stroms und führen damit zur Verringerung der Gesamtverlustleistung. Als Energiequelle wurde das sogenannte Austromag-System verwendet [2]. Dort wird die Stromversorgung über einen Transformator direkt aus dem Stromnetz gespeist, wodurch ein geregeltes Stromprofil mit einer Amplitude von bis zu 13,6 kA für eine maximale Zeit von 1 s zur Verfügung steht. Die maximale Spannung beträgt an die 1 kV und die maximale Leistung des Systems beträgt dabei 10 MW.

2.7 Elektrischer Durchschlag

Für das potentielle Auftreten eines elektrischen Durchschlags, der unweigerlich zur irreversiblen Zerstörung der Spule führt, sind zwei Mechanismen hauptsächlich verantwortlich: (i) Lufteinschlüsse im Material der Isolationsschicht zwischen den Windungen bewirken lokale ÜberhöhungenFootnote 2 der elektrischen Feldstärke. Wird dadurch die Durchbruchfeldstärke lokal überschritten, so schlägt die Spule durch. Um diesen Effekt zu verhindern wurde die Spule im Vakuum mit Paraffin getränkt und ausgegast. (ii) Der Stromfluss in der Spule setzt sich aus einer Leitungsstromkomponente entlang der Wicklung und einer dielektrischen Verschiebungstromkomponente (senkrecht) durch die Isolationsschicht zusammen. Überschreitet die Verschiebungsstromdichte einen Grenzwert, der durch die elektrische Durchschlagsfestigkeit der Isolationsschicht bestimmt wird, dann schlägt die Spule elektrisch durch, was naheliegend ist. Allerdings gibt es einen diffizileren und gefährlicheren Effekt, der wesentlich früher eintritt. Es zeigt sich nämlich, dass es durch elektromagnetische Feldverkopplungseffekte in der radialen elektrischen Feldstärke zu Resonanzüberhöhungen kommen kann, die bei Überschreitung der Durchbruchfeldstärke des Isolationsmaterials zur elektrischen Zerstörung der Spule führen können.

3 Spulenausführung

Abb. 2 zeigt den Querschnitt des Hochfeldspulenkonzepts. Tab. 1 fasst sämtliche Geometriewerte und Materialparameter zusammen. Die Wicklung besteht aus einer \(0{,}15\,\mathrm{mm}\) dicken, hartgezogenen Kupferfolie. Zwischen benachbarten Spulenlagen befindet sich zwei Lagen Isolationsfolie (Dicke pro Lage \(12\,\upmu\mathrm{m}\)) aus Hostaphan, wodurch sich eine Gesamtdicke des Isolationsmaterials von \(24\,\upmu\mathrm{m}\) ergibt. Beide sind nach der Form von zwei ineinandergreifenden archimedischen Spiralen von innen nach außen gewickelt. Am Wicklungsanfang und -ende sind die Spulenanschlussleitungen großflächig an die Kupferfolie verlötet. Die Spule ist mit dem Material Stycast 2850 FT und mit 15 mm dicker Kohlefaser (Tenax HTS5631) verstärkt. An der Ober- und Unterseite wurden eine Vielzahl von Kühlschlitzen in die Spulenpanzerung gebohrt.

Abb. 2
figure 2

Schematische Werkzeichnung des Hochfeldspulenkonzepts inklusive dem in Kap. 4 eingesetzten Kreiszylinderkoordinatensystem \(\{r,\alpha,z\}\)

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Tab. 1 Spulenkenngrößen und Materialparameter [3]
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4 Analytisches Spulenmodell

4.1 Allgemeines

Während die in den Unterkap. 2.1–2.6 genannten Herausforderungen beim Design und Betrieb der Spule sich relativ intuitiv erklären und zumindest teilweise meistern lassen, ist der in Kap. 2.7 beschriebene resonante Durchbruch ein wesentlich komplexerer Effekt und nicht so einfach vorhersehbar. Er wird im Folgenden mit einem analytischen Modell untersucht und quantifiziert, da bei der (pulsartigen) Ansteuerung der Spule tunlichst darauf geachtet werden muss, dass die Oberwellen des Spulenspeisestroms diese Resonanzen nicht merklich anregen, was umgehend zur irreparablen elektrischen Zerstörung der Hochfeldspule führen würde.

Bei der zu untersuchenden Hochfeldspule handelt es sich um eine mehrlagig gewickelte, in Achsenrichtung (näherungsweise) lange Zylinderspule. Unter diesen Voraussetzungen lässt sich das resultierende elektromagnetische Feldproblem vollständig durch die achsiale magnetische Feldstärke \(H_{z}\), die radiale elektrische Feldstärke \(E_{r}\) und die azimutale elektrische Feldstärke \(E_{\alpha}\) bezogen auf das in Abb. 2 eingezeichnete Zylinderkoordinatensystem \(\{r,\alpha,z\}\) beschreiben, mit \(r\) als Radial-, \(\alpha\) als Azimutal- und \(z\) als Achsenkoordinate [6]. Die \(z\)-Koordinate liegt in Spulenachsenrichtung und die \(\alpha\)-Koordinate in Spulenazimutalrichtung. Die Annahme einer langen Spule bedingt \(\partial/\partial z=0\). Alle Feldgrößen der nachfolgenden Auswertung werden als zeitharmonische Vorgänge betrachtet und die übliche komplexe Notation zu ihrer Beschreibung angewendet [1].

Die Wicklung besteht aus einer Kupferbandfolie (Dicke \(d_{\text{cu}}\)) mit der elektrischen Leitfähigkeit \(\gamma\). Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Windungslagen befindet sich eine dünne Isolationsschicht (Dicke \(d_{\varepsilon}\)) mit der relativen Permittivität \(\varepsilon_{\mathrm{r}}\). Abb. 3 zeigt einen Querschnitt in Achsenrichtung der Spule, bestehend aus zwei Windungsbandschichten und der eingeschlossenen Isolationsschicht. Die Spule ist von innen nach außen in der Form einer archimedischen Spirale gewickelt. Dadurch ergibt sich von innen nach außen eine im Abstand \(d=d_{\text{cu}}+d_{\varepsilon}\) wiederkehrende Abfolge der in Abb. 3 skizzierten Schichtstruktur.

Abb. 3
figure 3

Darstellung der Wicklungslagen, die als geschichtete und voneinander isolierte leitfähige Bänder ausgeführt sind, und des Spannungsabfalls quer zur Wicklungslage infolge eines Verschiebungsstromanteils

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4.2 Effektive Materialparameter

Die Schichtstruktur aus Abb. 3 wird in weiterer Folge durch ein anisotropes Medium modelliert, welches nur in der Ebene des Wicklungsbandes leitfähig ist, jedoch senkrecht dazu einen Verschiebungsstrom zulässt. Für die Modellierung des dielektrischen Verschiebungsstromes durch diese Schichtstruktur wird eine effektive (i. A. komplexwertige) Dielektrizitätskonstante berücksichtigt, da der Strom senkrecht zu den Bändern abschnittsweise auch durch leitfähiges Material fließt. Auf Grund der elementaren elektromagnetischen Sprungbedingungen an Grenzflächen [6], muss die Normalkomponente der elektrischen Stromdichte stetig verlaufen. Über die Windungslagenperiode \(d\) fällt somit die elektrische Spannung

$$\begin{aligned}U_{\varepsilon}=\frac{J_{\varepsilon}}{\gamma}\frac{d-d_{\varepsilon}}{2}+\frac{J_{\varepsilon}}{\text{j}\omega\varepsilon_{\mathrm{0}}\varepsilon_{\mathrm{r}}}d_{\varepsilon}+\frac{J_{\varepsilon}}{\gamma}\frac{d-d_{\varepsilon}}{2}\end{aligned}$$
(1)

ab, mit \(\text{j}=\sqrt{-1}\), \(\omega\) als Kreisfrequenz, \(\varepsilon_{\mathrm{0}}=8{,}854\cdot 10^{-12}\,\mathrm{As/(Vm)}\) als dielektrischer Feldkonstante und \(J_{\varepsilon}\) als Verschiebungsstromdichte. Formt man diese Gleichung nach \(J_{\varepsilon}\) um, dann folgt

$$\begin{aligned}J_{\varepsilon}=\text{j}\omega\frac{\varepsilon_{\mathrm{0}}\varepsilon_{\mathrm{r}}\gamma}{d_{\varepsilon}\gamma/d+\text{j}\omega\varepsilon_{\mathrm{0}}\varepsilon_{\mathrm{r}}(1-d_{\varepsilon}/d)}\frac{U_{\varepsilon}}{d}.\end{aligned}$$
(2)

Gl. (2) legt Nahe, dass der Zusammenhang zwischen dem elektrischen Verschiebungsstrom \(J_{\varepsilon}\) durch das geschichtete Medium und der übers Medium gemittelten transversalen elektrischen Feldstärke \(E_{\varepsilon}\) durch

$$\begin{aligned}J_{\varepsilon}=\text{j}\omega\varepsilon E_{\varepsilon}=\text{j}\omega\varepsilon U_{\varepsilon}/d\end{aligned}$$
(3)

näherungsweise modelliert werden kann. Koeffizientenvergleich von Gl. (2) und (3) führt im vorliegenden Fall wegen \(d_{\varepsilon}\gamma\gg\omega\varepsilon_{\mathrm{0}}\varepsilon_{\mathrm{r}}(d-d_{\varepsilon})\) zur effektiv wirkenden Dielektrizitätskonstante

$$\begin{aligned}\varepsilon\approx\varepsilon_{\mathrm{0}}\varepsilon_{\mathrm{r}}\frac{d}{d_{\varepsilon}}.\end{aligned}$$
(4)

Mit den Werten aus Tab. 1 ergibt sich \(\varepsilon_{\mathrm{r}}d/d_{\varepsilon}\approx 23{,}93\). Bei der Berechnung der effektiv wirkenden elektrischen Leitfähigkeit geht man analog vor. Auf ihre explizite Angabe wird hier aus Platzgründen verzichtet. Die elektromagnetischen Sprungbedingungen fordern, dass die tangentiale elektrische Feldstärke an der Grenzfläche stetig sein muss. Diese tangentiale Feldstärke bewirkt in der Wicklung eine Leitungsstromkomponente und in der Isolationsschicht eine Verschiebungsstromkomponente. Gemittelt über die Schichtstruktur wirkt für die effektive elektrische Leitfähigkeit \(\gamma_{\mathrm{eff}}\) ein gegenüber \(\gamma\) reduzierter Wert von

$$\begin{aligned}\gamma_{\mathrm{eff}}\approx\gamma\left(1-\frac{d_{\varepsilon}}{d}\right).\end{aligned}$$
(5)

Durch Einsetzen der Werte aus Tab. 1 zeigt sich aber, dass der Reduktionsfaktor nur unwesentlich unter 1 liegt, weshalb dieser Effekt vernachlässigt werden darf, d. h. es wird im Folgenden \(\gamma_{\mathrm{eff}}\approx\gamma\) gesetzt.

4.3 Elektromagnetische Feldgleichungen für die zylinderförmige Spiralspule

Ausgehend von den effektiven Materialkenngrößen aus Unterkap. 4.2 können nun die elektromagnetischen Feldgleichungen formuliert werden. In Abb. 4a ist ein Schnitt (\(z=\text{const.}\)) durch die Wicklung schematisch skizziert. Die Wicklung startet beim Innenradius \(r_{0}\) und endet beim Außenradius \(r_{\mathrm{a}}\). Dazwischen verläuft sie nach Form einer archimedischen Spirale. Wie in Abb. 4b veranschaulicht schließen in den Schnittpunkten der Spirale mit den konzentrischen Koordinatenlinien (\(r=\text{const.}\)) die Tangente an die Spirale und die Tangente an die Koordinatenlinie lokal einen Winkel \(\beta\) ein. Für die Steigung der archimedischen Spirale gilt [8]

$$\begin{aligned}\tan(\beta)\approx\beta=\frac{d}{2\pi r}.\end{aligned}$$
(6)

Die Leitungsstromdichtekomponente \(J\) fließt entlang der Spirale und zeigt lokal in Richtung der Tangente an die Spirale. Die Verschiebungsstromdichtekomponente \(J_{\varepsilon}\) fließt senkrecht zur Spirale und damit normal zur Spiraltangente. Über elementare trigonometrische Überlegungen lassen sich mit Hilfe von Abb. 4c die Komponenten \(J\) und \(J_{\varepsilon}\) in die Komponenten

$$\begin{aligned}J_{r} & =J\sin(\beta)+J_{\varepsilon}\cos(\beta)\end{aligned}$$
(7a)
$$\begin{aligned}J_{\alpha} & =J\cos(\beta)-J_{\varepsilon}\sin(\beta)\end{aligned}$$
(7b)

des Zylinderkoordinatensystems umrechnen.

Abb. 4
figure 4

a Schematische Darstellung der Wicklung von innen nach außen als archimedische Spirale in Referenz zur Zylinderkoordinatenfläche (bei \(z=\text{const.}\)) aufgespannt durch \(r\) und \(\alpha\). b Vergrößerter Ausschnitt an einem Schnittpunkt der Koordinatenlinie für den Azimutalwinkel \(\alpha\) (grau, strichliert) mit der archimedischen Spirale (blau, durchgezogen). Die zugehörigen Tangenten schließen dort einen Winkel \(\beta\) ein. c Veranschaulichung der trigonometrischen Beziehung zwischen den einzelnen Stromdichtekomponenten

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Aus Gl. (7) folgt für die Rotorgleichung des magnetischen Durchflutungssatzes

$$\begin{aligned}\frac{1}{r}\frac{\partial H_z}{\partial\alpha} & =J\sin(\beta)+J_{\varepsilon}\cos(\beta),\end{aligned}$$
(8a)
$$\begin{aligned}-\frac{\partial H_z}{\partial r} & =J\cos(\beta)-J_{\varepsilon}\sin(\beta)\end{aligned}$$
(8b)

und für die Rotorgleichung des Induktionsgesetzes

$$\begin{aligned}\frac{\partial E_{\alpha}}{\partial r}+\frac{E_{\alpha}}{r}-\frac{1}{r}\frac{\partial E_{r}}{\partial\alpha} & =-\text{j}\omega\mu_{\mathrm{0}}H_{z},\end{aligned}$$
(9)

mit \(\mu_{\mathrm{0}}=4\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{Vs/(Am)}\) als magnetischer Feldkonstante [6]. Die zugehörigen Stromdichten sind über das lokale Ohmsche Gesetz mit den Feldstärkekomponenten

$$\begin{aligned}J & =\gamma\big[E_{r}\sin(\beta)+E_{\alpha}\cos(\beta)\big],\end{aligned}$$
(10a)
$$\begin{aligned}J_{\varepsilon} & =\text{j}\omega\varepsilon\big[E_{r}\cos(\beta)-E_{\alpha}\sin(\beta)\big]\end{aligned}$$
(10b)

verknüpft, wobei in Gl. (10a) die im leitenden Band liegende und in Gl. (10b) die dazu orthogonale elektrische Feldkomponente eingeht (wie in Unterkap. 4.2 beschrieben). Die Quellenfreiheit des Magnetfeldes, d. h. der Satz vom magnetischen Hüllenfluss, ist wegen \(\partial/\partial z=0\) identisch erfüllt. Die Quellen des elektrischen Feldes werden im vorliegenden Modell notgedrungen offengelassen. Das Modell lässt also elektrische Aufladung gemäß der Divergenzgleichung des Satzes vom elektrischen Hüllenfluss zu. Diese kann nachträglich aus der Lösung der Feldgleichungen berechnet werden. Wie aus den obigen Gleichungen ersichtlich ist, werden die elektromagnetischen Feldgrößen durch einen Satz von partiellen Differentialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten beschrieben. Vor allem die Winkelfunktionsterme, welche nach Gl. (6) von \(r\) abhängen, bereiten hierbei beachtliche mathematische Schwierigkeiten, wodurch die Existenz einer exakten, geschlossen darstellbaren Lösung sehr unwahrscheinlich erscheint und höchstwahrscheinlich auch nicht möglich ist. Aus diesem Grund wird das allgemeine Feldmodell näherungsweise in zwei Schritten analysiert. Zuerst wird in Unterkap. 4.4 ein reduziertes Modell unter Vernachlässigung des Verschiebungsstromes untersucht. Basierend auf diesen Erkenntnissen und Ergebnissen werden in Unterkap. 4.5 die Verschiebungstromeffekte in einem Folgeschritt hinzugefügt.

4.4 Näherungslösungen bei Vernachlässigung der Verschiebungsströme

Wird \(J_{\varepsilon}\equiv 0\) gesetzt, dann reduzieren sich die Gln. (8) nach Multiplikation von Gl. (8a) mit \(\cos(\beta)\) und Gl. (8b) mit \(\sin(\beta)\), sowie Subtraktion auf

$$\begin{aligned}\frac{1}{r}\frac{\partial H_z}{\partial\alpha}\cos(\beta)+\frac{\partial H_z}{\partial r}\sin(\beta)=0.\end{aligned}$$
(11)

In Verbindung mit Gl. (6) ergibt sich dann die partielle Differentialgleichung

$$\begin{aligned}\frac{\partial H_z}{\partial\alpha}+\frac{d}{2\pi}\frac{\partial H_z}{\partial r}=0\end{aligned}$$
(12)

zur Bestimmung der magnetischen Feldstärke. Gl. (12) besitzt die allgemeine Lösung

$$\begin{aligned}H_{z}=f\!\left(r-\frac{d\alpha}{2\pi}\right),\end{aligned}$$
(13)

mit einer beliebigen Funktion \(f(\cdot)\). Die zugehörige Stromdichte folgt aus den Gln. (6) und (8)

$$\begin{aligned}J & =\frac{1}{r}\frac{\partial H_z}{\partial\alpha}\sin(\beta)-\frac{\partial H_z}{\partial r}\cos(\beta),\end{aligned}$$
(14a)
$$\begin{aligned}J & =-\left[1+\left(\frac{d}{2\pi r}\right)^{2}\right]f^{\prime}\approx-f^{\prime}.\end{aligned}$$
(14b)

Die Näherung in Gl. (14b) ist zulässig, da im Allgemeinen \(d/(2\pi r)\ll 1\) ist. Auf Grund der Vernachlässigung (lange Spule) der äußeren magnetischen Streufelder muss am äußeren Spulenrand \(r=r_{\mathrm{a}}\)

$$\begin{aligned}H_{z}(r_{\mathrm{a}})=0\end{aligned}$$
(15)

gelten. Die naheliegende Lösung weist eine konstante Stromdichte \(J_{0}\) auf

$$\begin{aligned}H_{z}=J_{0}\!\left(r_{\mathrm{a}}-r+\frac{d\alpha}{2\pi}\right).\end{aligned}$$
(16)

Offensichtlich ist das \(\alpha\)-abhängige Glied wegen \(d\alpha/(2\pi)\ll 1\) vernachlässigbar. Für den inneren Rand \(r=r_{0}\), innerhalb dessen das Magnetfeld konstant und gleich \(H_{0}=NI/l\) ist, gilt die einfache Solenoidformel

$$\begin{aligned}J_{0}(r_{\mathrm{a}}-r_{0})=\frac{NI}{l}=H_{0},\end{aligned}$$
(17)

mit \(I\) als Spulenstrom, \(N\) als Windungszahl, und \(l\) als achsiale Länge der Spule (siehe Abb. 2). Die zugehörige magnetische Feldstärke innerhalb der Wicklung ist demnach

$$\begin{aligned}H_{z}=\frac{NI}{l}\frac{\displaystyle r_{\mathrm{a}}-r+\frac{d\alpha}{2\pi}}{\displaystyle r_{\mathrm{a}}-r_{0}}.\end{aligned}$$
(18)

Hier wird die \(\alpha\)-Abhängigkeit noch mitgeschleppt und zwar solange bis das elektrische Feld berechnet ist. Aus der Lösung der Gln. (6), (9), (10a) und Gl. (10b) nach \(E_{r}\) erhält man

$$\begin{aligned}E_{r}=\frac{2\pi}{d}\frac{NI}{l(r_{\mathrm{a}}-r_{0})}\left[\frac{r}{\gamma}+\text{j}\omega\mu_{\mathrm{0}}\frac{r^{2}}{2}\left(r_{\mathrm{a}}-r+\frac{d\alpha}{2\pi}\right)\right]+g\!\left(r-\frac{d\alpha}{2\pi}\right),\end{aligned}$$
(19)

mit einer vorerst noch allgemeinen Funktion \(g(\cdot)\), die aus den Randbedingungen so bestimmt wird, dass die integrale Form des Induktionsgesetzes erfüllt ist. Nach Vernachlässigung der \(\alpha\)-Abhängigkeit erhält man die rein radiusabhängigen Feldstärkekomponenten

$$\begin{aligned}E_{\alpha} & =-\frac{\text{j}\omega\mu_{\mathrm{0}}NI}{2l(r_{\mathrm{a}}-r_{0})}\left[r\left(r_{\mathrm{a}}-\frac{2}{3}r\right)-\frac{r_{0}^{3}}{3r}\right],\end{aligned}$$
(20a)
$$\begin{aligned}E_{r} & =\frac{2\pi}{d}\frac{NI}{l(r_{\mathrm{a}}-r_{0})}\left[\frac{r}{\gamma}+\frac{\text{j}\omega\mu_{\mathrm{0}}}{2}\left(r^{2}\left(r_{\mathrm{a}}-\frac{2}{3}r\right)-\frac{r_{0}^{3}}{3}\right)\right].\end{aligned}$$
(20b)

Aus der Klemmenspannung

$$\begin{aligned}U=\int\limits_{r_{0}}^{r_{\mathrm{a}}}E_{r}\,\text{d}r=I(R+\text{j}\omega L)\end{aligned}$$
(21)

können die Ersatzwerte für den elektrischen Widerstand \(R\) und die Selbstinduktivität \(L\) der Hochfeldspule errechnet werden. Unter Berücksichtigung von \(Nd=r_{\mathrm{a}}-r_{0}\) folgt

$$\begin{aligned}R=\frac{N\pi(r_{\mathrm{a}}+r_{0})}{d\gamma l},\end{aligned}$$
(22a)
$$\begin{aligned}L=\frac{\mu_{\mathrm{0}}N^{2}\pi}{6l}\left(r_{\mathrm{a}}^{2}+2r_{\mathrm{a}}r_{0}+3r_{0}^{2}\right).\end{aligned}$$
(22b)

Die Gln. (22) halten den üblichen Plausibilitätsüberprüfungen stand. Gl. (22a) ergäbe sich auch aus einer Längenberechnung der archimedischen Spirale bei Berücksichtigung der Windungsdichte \(N/(r_{\mathrm{a}}-r_{0})\), da zwischen \(r\) und \(r+\text{d}r\) genau \(N\text{d}r/(r_{\mathrm{a}}-r_{0})\) Windungen der Länge \(2\pi r\) liegen. Die Gesamtlänge beträgt daher

$$\begin{aligned}\frac{N}{r_{\mathrm{a}}-r_{0}}\int\limits_{r_{0}}^{r_{\mathrm{a}}}2\pi r\text{d}r=\pi N(r_{\mathrm{a}}+r_{0}),\end{aligned}$$
(23)

was direkt zu Gl. (22a) führt. Gl. (22b) ergibt für \(r_{\mathrm{a}}=r_{0}\) die bekannte Solenoidformel [6]. Wegen der Nähe zum Soleniodmodell, bei der kein Streufeld berücksichtigt wird, ist zu erwarten, dass mit dieser vereinfachten Theorie die Induktivität überschätzt wird. In der vorliegenden Konstruktion ergibt sich mit den Zahlenwerten aus Tab. 1 eine Selbstinduktivität von etwa \(14{,}9\,{\mathrm{mH}}\). Der im Labor gemessene Wert lag bei etwa \(12\,{\mathrm{mH}}\) [2].

4.5 Näherungslösungen für geringe Spulenverluste

Wegen des vernachlässigten Verschiebungsstromes ist in obigem, reduziertem Modell kein Wirbelstromverlust zu erwarten, denn die Wirbelströme müssten über die Isolationsschicht hinweg auftreten. Der nächste Schritt der Theorie muss daher die Verschiebungsströme berücksichtigen.

Die aus den Gln. (4)–(10) folgende Differentialgleichung für \(H_{z}\) lautet

$$\begin{aligned}\omega^{2}\epsilon\mu_{\mathrm{0}}rH_{z}+\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial\alpha^{2}}+\frac{d}{\pi r}\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial r\partial\alpha}+\left(\frac{d}{2\pi}\right)^{2}\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial r^{2}}-\frac{d}{2\pi}\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial H_z}{\partial\alpha}-\left(\frac{d}{2\pi r}\right)^{2}\frac{\partial H_z}{\partial r}+\frac{\text{j}\omega\varepsilon}{\gamma}\left[\left(\frac{d}{2\pi r}\right)^{2}\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial\alpha^{2}}-\frac{d}{\pi r}\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial r\partial\alpha}+r\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial r^{2}}+\frac{d}{2\pi}\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial H_z}{\partial\alpha}+\frac{\partial H_z}{\partial r}\right]=0.\end{aligned}$$
(24)

Wie bereits zuvor erwähnt ist auf Grund der Komplexität dieser Gleichung eine geschlossen darstellbare Lösung sehr unwahrscheinlich und nach bestem Wissen der Autoren nicht bekannt. Sind die zu erwartenden Verluste gering, dann darf in erster Näherung der Grenzübergang \(\gamma\to\infty\) gebildet werden, wodurch die Glieder in der eckigen Klammer verschwinden. Dadurch ergibt sich zwar ein Näherungsmodell, das aber dennoch Verschiebungs- und Wirbelströme berücksichtigt. Laut Gl. (13) ist diese reduzierte Differentialgleichung dem modifizierten Separationsansatz

$$\begin{aligned}H_{z}=g(r)f\left(r-\frac{d\alpha}{2\pi}\right)\end{aligned}$$
(25)

zugänglich. Während \(f(\cdot)\) eine willkürliche Funktion bleibt, muss \(g(\cdot)\) der Humbert’schen Differentialgleichung [4]

$$\begin{aligned}r\frac{\text{d}^{2}{g}}{\text{d}{r}^{2}}-\frac{\text{d}{g}}{\text{d}{r}}+\omega^{2}\varepsilon\mu_{\mathrm{0}}\left(\frac{2\pi}{d}\right)^{2}r^{3}g=0\end{aligned}$$
(26)

genügen. Mit der Abkürzung

$$\begin{aligned}k^{2}=\omega^{2}\varepsilon\mu_{\mathrm{0}}\left(\frac{2\pi}{d}\right)^{2}\end{aligned}$$
(27)

lässt sich die allgemeine Lösung von Gl. (26) als

$$\begin{aligned}g=C_{1}\sin\!\left(\frac{kr^{2}}{2}\right)+C_{2}\cos\!\left(\frac{kr^{2}}{2}\right)\end{aligned}$$
(28)

angeben. \(C_{1}\) und \(C_{2}\) sind vorerst noch beliebige Integrationskonstanten. Nun erweist es sich als zweckmäßig für die Funktion \(f(\cdot)\) die quasistationäre Lösung Gl. (18) aus Unterkap. 4.4 zu verwenden. Um den RandbedingungenFootnote 3 der magnetischen Feldstärke zu genügen, die in Gl. (18) bereits berücksichtigt sind, nämlich dass \(H_{z}(r_{\mathrm{a}})\approx 0\) und \(-(\partial H_{z}/\partial r)|_{r=r_{\mathrm{a}}}=-(\partial H_{z}/\partial r)|_{r=r_{0}}=J_{0}\), muss \(g(\cdot)\) die Bedingungen

$$\begin{aligned}\left.\frac{\partial(gf)}{\partial r}\right|_{r=r_{0},r_{\mathrm{a}}}=\left.\left(g^{\prime}f+f^{\prime}g\right)\right|_{r=r_{0},r_{\mathrm{a}}}=\left.f^{\prime}\right|_{r=r_{0},r_{\mathrm{a}}}\end{aligned}$$
(29)

erfüllen. Für \(r=r_{\mathrm{a}}\) bedeutet dies wegen \(f(r_{\mathrm{a}})\approx 0\) die Vorschrift

$$\begin{aligned}g(r_{\mathrm{a}})=1\end{aligned}$$
(30)

und für \(r=r_{0}\) die Eigenschaft

$$\begin{aligned}\left.\frac{\text{d}{g}}{\text{d}{r}}\right|_{r=r_{0}}=\frac{1}{f(r_{0})}\left.\frac{\text{d}{f}}{\text{d}{r}}\right|_{r=r0}\big[1-g(r_{0})\big],\end{aligned}$$
(31)

und mit Gl. (18), sowie unter Vernachlässigung des kleinen \(\alpha\)-abhängigen Terms,

$$\begin{aligned}(r_{\mathrm{a}}-r_{0})\left.\frac{\text{d}{g}}{\text{d}{r}}\right|_{r=r_{0}}=g(r_{0})-1.\end{aligned}$$
(32)

Über die Gln. (30) und Gl. (32) sind die Integrationskonstanten aus Gl. (28) bestimmt

$$\begin{aligned}C_{1} & =\frac{r_{0}(r_{\mathrm{a}}-r_{0})k\sin\left(\frac{kr_{0}^{2}}{2}\right)}{\sin\!\left[\frac{k(r_{\mathrm{a}}^{2}-r_{0}^{2})}{2}\right]+r_{0}(r_{\mathrm{a}}-r_{0})k\cos\left[\frac{k(r_{\mathrm{a}}^{2}-r_{0}^{2})}{2}\right]},\end{aligned}$$
(33a)
$$\begin{aligned}C_{2} & =\frac{\sin\!\left(\frac{kr_{\mathrm{a}}^{2}}{2}\right)-\sin\!\left(\frac{kr_{0}^{2}}{2}\right)+r_{0}(r_{\mathrm{a}}-r_{0})k\cos\!\left(\frac{kr_{0}^{2}}{2}\right)}{\sin\left[\frac{k(r_{\mathrm{a}}^{2}-r_{0}^{2})}{2}\right]+r_{0}(r_{\mathrm{a}}-r_{0})k\cos\!\left[\frac{k(r_{\mathrm{a}}^{2}-r_{0}^{2})}{2}\right]}.\end{aligned}$$
(33b)

Jetzt ist

$$\begin{aligned}H_{z}\approx\frac{NI}{l}\frac{\displaystyle r_{\mathrm{a}}-r+\frac{d\alpha}{\displaystyle 2\pi}}{r_{\mathrm{a}}-r_{0}}\left[C_{1}\sin\!\left(\frac{kr^{2}}{2}\right)+C_{2}\cos\!\left(\frac{kr^{2}}{2}\right)\right]\end{aligned}$$
(34)

und aus den Gln. (8)–(10)

$$\begin{aligned}E_{r}=-\text{j}\frac{NI}{l}\sqrt{\frac{\mu_{\mathrm{0}}}{\varepsilon}}\frac{\displaystyle r_{\mathrm{a}}-r+\frac{d\alpha}{2\pi}}{r_{\mathrm{a}}-r_{0}}\left[C_{1}\cos\!\left(\frac{kr^{2}}{2}\right)-C_{2}\sin\!\left(\frac{kr^{2}}{2}\right)\right].\end{aligned}$$
(35)

Es sei darauf hingewiesen, dass auf Grund der Wirbelstromanteile kein universelles elektrisches Ersatzschaltbild mit konzentrierten Bauelementen wie nach Gl. (22) angegeben werden kann.

4.6 Auswertung und Diskussion

Mit den Gln. (33)–(35) ist aus feldtheoretischer Sicht das Verhalten der Hochfeldspule vollständig beschrieben. Zum Abschluss dieses Artikels werden diese an Hand der Zahlenwerte aus Tab. 1 beispielhaft ausgewertet. Die Abb. 5 und 6 zeigen bezogene VerläufeFootnote 4

$$\begin{aligned}\mathcal{E}_{r}(f,r)=|E(f,r)|\frac{l}{NI}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu_{\mathrm{0}}}}\end{aligned}$$
(36)

des Betrags der radialen elektrischen Feldstärkekomponente. In Abb. 5 ist Gl. (36) als Funktion der Speisefrequenz \(f\) mit \(r\) als Parameter dargestellt. Hier ist der bereits erwähnte Resonanzeffekt deutlich erkennbar. Die zugehörigen Resonanzfrequenzen lassen sich aus der Nullstelle des Nenners von Gl. (33a) bzw. Gl. (33b) berechnen. Sie sind durch die Lösung der transzendenten Gleichung

$$\begin{aligned}\frac{\displaystyle\tan\!\left[\frac{k(r_{\mathrm{a}}^{2}-r_{0}^{2})}{2}\right]}{\displaystyle\frac{k(r_{\mathrm{a}}^{2}-r_{0}^{2})}{2}}=-\frac{\displaystyle 2\frac{r_{0}}{r_{\mathrm{a}}}}{\displaystyle 1+\frac{r_{0}}{r_{\mathrm{a}}}}\end{aligned}$$
(37)

bestimmt. Für die untersuchte Testspule ergibt sich als niedrigste Resonanzfrequenz \(130{,}6\,{\mathrm{kHz}}\). Im Modell nach Gl. (35) wird bei dieser Frequenz die radiale elektrische Feldstärkekomponente unendlich groß, was natürlich unphysikalisch ist, und auf die Annahme \(\gamma\to\infty\) bei der Untersuchung von Gl. (24) zurückzuführen ist. In der physikalischen Realität wird die Resonanzamplitude durch das Produkt aus Anregungsamplitude und Resonanzüberhöhungsfaktor (entspricht näherungsweise der Güte der Resonanzkurve, welche durch die Spulenverluste begrenzt ist) bestimmt. Beim praktischen Betrieb der Spule ist deshalb darauf zu achten, dass die Resonanzfrequenz entweder gar nicht erst angeregt wird, oder zumindest nur so schwach, dass die maximale Amplitude bei Resonanz unterhalb der Durchbruchfeldstärke der Isolationsschicht bleibt, da dies sonst unweigerlich zur elektrischen Zerstörung der Spule führen würde.

Abb. 5
figure 5

Normierte, radiale elektrische Feldstärkekomponente \(\mathcal{E}_{r}\) als Funktion der Speisefrequenz \(f=\omega/(2\pi)\) im Abstand \(r=r_{0}+\xi(r_{\mathrm{a}}-r_{0})\) von der Spulenachse an den vier Stellen \(\xi=\{0,1/3,2/3,1\}\). Beim vorliegenden Spulendesign tritt bei der Frequenz \(f_{\mathrm{r1}}\approx 130{,}6\,{\mathrm{kHz}}\) eine Resonanzüberhöhung auf

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Abb. 6 illustriert den normierten Feldstärkeverlauf \(\mathcal{E}_{r}(f,r)\) als Funktion der Radialkoordinate \(r\) bei verschiedenen Speisefrequenzen \(f\). Die radiale elektrische Feldstärkeamplitude steigt beginnend bei \(r=r_{0}\) bis zu einem lokalen Maximum an, das in erster Näherung etwa in der Mitte zwischen Wicklungsinnen- und Wicklungsaußenradius liegt, um anschließend wieder abzufallen und bei \(r=r_{\mathrm{a}}\) schließlich zu verschwindenFootnote 5. Demnach ist der Mittenbereich der Wicklung besonders von elektrischen Durchschlägen gefährdet.

Abb. 6
figure 6

Verlauf der normierten Radialkomponente der elektrischen Feldstärke \(\mathcal{E}_{r}\) als Funktion der Radialkoordinate \(r_{0}\leq r\leq r_{\mathrm{a}}\) bei vier verschiedenen Speisefrequenzen. Die Kreissymbole markieren die lokalen Maxima der radialen Feldstärkekomponente. Im Fall \(f=f_{\mathrm{r1}}/1.1\) liegt dieses Maximum beispielsweise bei \(r=6{,}3\,\text{cm}\)

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5 Zusammenfassung

In dieser Arbeit wurde über mechanische, thermische und elektrische Herausforderungen bzw. Limitierungen berichtet, die sich beim Bau einer Hochfeldspule für magnetische Flussdichten bis zu 40 Tesla ergeben, und wie diesen entgegnet werden kann. Besonderes Augenmerk wurde dabei auf die Entwicklung eines analytischen elektromagnetischen Feldmodells gelegt. Dieses zeigt, dass es zu Resonanzüberhöhungen der elektrischen Feldstärke innerhalb der Spule kommen kann. Dieser Effekt ist besonders gefährlich, da er nicht unmittelbar ersichtlich bzw. erwartbar ist, und bei Anregung durch die Spulenspeisung zum elektrischen Durchbruch und damit zur irreparablen Zerstörung der Spule führen kann.