Abstract
The article investigates the different conceptions of stability found in qualitative studies on the solutions of differential equations. We start from the definitions proposed by Poincaré and criticized by Birkhoff for not being fully qualitative, and show that the clarification of the criterion for stating that a property is qualitative comes precisely with Birkhoff. In addition, we note that the stability conceptions of Lyapunov and Levi-Civita are also important in this transition from the appearance of the first qualitative tools in the study of differential equations to the definition of stability in use in dynamical systems theory. The history of stability can help to explain the meaning of the word “qualitative” in this context.
Article PDF
Similar content being viewed by others
Avoid common mistakes on your manuscript.
References
Anderson K.G. (1994) Poincaré’s discovery of homoclinic points. Archive for History of Exact Sciences 48(2): 133–147
Barrow-Green J. (1994) Oscar II’s prize competition and the error in Poincaré’s memoir on the three body problem. Archive for History of Exact Sciences 48: 107–131
Barrow-Green J. (1997) Poincaré and the Three Body Problem. Providence, American Mathematical Society, London Mathematical Society
Barrow-Green J. (2010) The dramatic episode of Sundman. Historia Mathematica 37: 164–203
Birkhoff G.D. 1912 Quelques théorèmes sur le mouvement des systèmes dynamiques. Bulletin de la Société mathématique de France 40:305–323. In Birkhoff (1950), t. 1, 654–672.
Birkhoff, G.D. 1913. Proof of Poincaré’s geometric theorem. Transactions of the American Mathematical Society 14:14–22. In Birkhoff (1950), t. 1, 673–681.
Birkhoff G.D. (1915) The restricted problem of three bodies. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 39: 1–70
Birkhoff, G.D. 1917. Dynamical systems with two degrees of freedom. Transactions of the American Mathematical Society 18:199–300. In Birkhoff (1950), t. 2, 1–102.
Birkhoff, G.D. 1920a. Recent advances in dynamics. Science (N.S.) 51(1307):51–55. In Birkhoff (1950), t. 2, 106–110.
Birkhoff, G.D. 1920b. Surface transformations and their dynamical applications. Acta Mathematica 43:1–119. In Birkhoff (1950), t. 2, 111–129.
Birkhoff, G.D. 1925. An extension of Poincaré’s last geometric theorem. Acta Mathematica 47:297–311. In Birkhoff (1950), t. 2, 252–266.
Birkhoff, G.D. 1926a. Sur la signification des équations canoniques de la dynamique. Comptes rendus de l’Académie des Sciences 183:516–519. In Birkhoff (1950), t. 2, 279–282.
Birkhoff, G.D. 1926b. Über gewisse zentralbewegungen dynamischer systeme. Ges. d. Wiss. Nachrichten. In Birkhoff (1950), t. 2, 283–294.
Birkhoff, G.D. 1927a. Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. Reprinted in 1966 with additional references by Jurgen Moser.
Birkhoff, G.D. 1927b. Stability and the equations of dynamics. American Journal of Mathematics 49:1–38. In Birkhoff (1950), t. 2, 295-332.
Birkhoff, G.D. 1934. The work of Poincaré on differential equations. American Mathematical Society Bulletin 40:363–366. In Birkhoff (1950), t. 3, 544–547.
Birkhoff, G.D. 1935. Nouvelles recherches sur les systèmes dynamiques. Memoriae Pont. Acad. Sci. Novi Lyncaei 1(3):65–216. In Birkhoff (1950), t. 2, 530–661.
Birkhoff, G.D. 1950. Collected Mathematical Papers. Providence: American Mathematical Society. Reprinted in 1968, New York: Dover.
Brechenmacher, F. 2007. L’identité algébrique d’une pratique portée par la discussion sur l’équation à l’aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes (1766–1874). Sciences et Techniques en Perspective 1:5–85.
Cesari L. (1959) Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential Equations. Springer, Berlin-Göttingen
Chabert J.-L., Dahan-Dalmedico A. 1992 Les idées nouvelles de Poincaré. In Dahan-Dalmedico et al. (1992), 274–305.
Chenciner, A. 2007. De la mécanique céleste à la théorie des systèmes dynamiques, aller et retour: Poincaré et la géométrisation de l’espace des phases. In Franceschelli et al. (2007), 13–36.
Dahan-Dalmedico, A. 1996. Le difficile héritage de Henri Poincaré en systèmes dynamiques. In Greffe et al. (1996), 13–33.
Dahan-Dalmedico, A., Chabert, J.-L., Chemla, K. (eds) (1992) Chaos et déterminisme. Seuil, Paris
Darrigol O. (2002) Stability and instability in nineteenth-century fluid mechanics. Revue d’histoire des mathématiques 8: 5–65
Dell’Aglio L. (1993) Tradizioni di ricerca nella meccanica celeste classica: il problema dei tre corpi in Levi-Civita e Sundman. Physis. Rivista Internazionale di Storia della Scienza 30(1): 105–144
Dell’Aglio, L., and G. Israel. 1987. I temi della stabilità e dell’analisi qualitativa nell’opera di Levi-civita et di Volterra. In La Matematica tra le Due guerre mondiali, ed. A. Guerraggio, 125–142. Bologna: Pitagora.
Dell’Aglio L., Israel G. (1989) La théorie de la stabilité et l’analyse qualitative des équations différentielle ordinaires dans les mathématiques italliennes: le point de vue de Tullio Levi-Civita. Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques 10: 283–321
Franceschelli, , S., , Paty, M., Roque, T. (eds) (2007) Chaos et Systèmes Dynamiques. éléments pour une épistémologie. Hermann, Paris
Gilain, C. 1977. La théorie géométrique des équations différentielles de Poincaré et l’histoire de l’analyse. Thèse de doctorat, Université de Paris7.
Gilain, C. 1991. La théorie qualitative de Poincaré et le problème de l’intégration des équations différentielles. In La France mathématique. La Société Mathématique de France (1872–1914), ed. H. Gispert, 215–242. Paris: Société Française d’Histoire des Sciences et des Techniques et Société Mathématique de France.
Grattan-Guinness I. (1997) The Norton History of the Mathematical Sciences. W.W. Norton & Company, New York
Grattan-Guinness, I., Cooke, R. (eds) (2005) Landmark Writings in Western Mathematics (1640–1940). Elsevier, Amsterdam
Gray, J. 1992. Poincaré, topological dynamics, and the stability of the solar system. In Harman and Shapiro (1992), 502–524.
Greffe, J.-L., Heinzmann, G., Lorenz, K. (eds) (1996) Henri Poincaré: Science et Philosophie. Blanchard Akademie Verlag, Paris
Gutzwiller M.C. (1998) Moon-Earth-Sun: The oldest three-body problem. Reviews of Modern Physics 70(2): 589–639
Hadamard J. (1901) Sur l’itération et les solutions asymptotiques des équations différentielles. Bulletin de la Société mathématique de France 29: 224–228
Harman, P.M., and A.E. Shapiro. 1992. The investigation of difficult things: Essays on Newton and the history of exact sciences in honour of D. T. Whiteside. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
Hill G.W. (1878) Researches in the lunar theory. American Journal of Mathematics 1(5): 129–145
La Salle J., Lefschetz S. (1961) Stability of Lyapunov’s Direct Method. Academic Press, New York
Lagrange, J.L. 1774. Recherches sur les équations séculaires des mouvements des noeuds et des inclinaisons des orbites des planètes. Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Paris. In Lagrange (1867–1892), t. 6, 635–709.
Lagrange, J.L. 1781–1782. Théorie des variations séculaires des éléments des planètes. Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin. In Lagrange (1867–1892), t. 5, 127–207, 208–344.
Lagrange, J.L. 1867–1892. Œuvres de Lagrange. Paris: Gauthier-Villars.
Lagrange J.L. (1788). Mécanique analytique Paris: La Veuve Desaint. Reprinted in 1989. Paris: Jacques Gabay
Laplace, P.-S. 1796. Exposition du système du monde. Paris: Impr. du Cercle-Social. In Laplace (1878–1912), t. 6.
Laplace, P.-S. 1878–1912. Œuvres complètes de Laplace. Paris: Gauthier-Villars.
Laplace, P.-S. 1891–1904. Traité de Mécanique Céleste. Paris: Gauthier-Villars. In Laplace (1878-1912), t. 1–5.
Laskar, J. 1992. La stabilité du système solaire. In Dahan-Dalmedico et al. (1992), 170–211.
Lattès S. (1906) Sur les équations fonctionnelles qui définissent une courbe ou une surface invariante par une transformation. Annali di Matematica Pura i Applicata 13: 1–138
Le Verrier U.-J. (1856) Annales de l’Observatoire de Paris vol 2. Mallet Bachelet, Paris
Leine R. (2010) The historical development of classical stability concepts: Lagrange, Poisson and Lyapunov stability. Nonlinear Dynamics 59: 173–182
Lejeune-Dirichlet J.P.G. (1846) Über die stabilität des gleichgewichts. Journal für die reine und angewandte Mathematik 32: 85–88
Levi-Civita T. (1901) Sopra alcuni criteri di instabilità. Annali di Matematica Pura i Applicata 5: 221–308
Levi-Civita T. (1920) Sur la régularisation du problème des trois corps. Acta Mathematica 42: 99–144
Lützen J. (1984) Joseph Liouville’s work on the figures of equilibrium of a rotating mass of fluid. Archive for History of Exact Sciences 30(2): 113–166
Lyapunov A.M. (1897) Sur l’instabilité de l’équilibre dans certains cas où la fonction de forces n’est pas un maximum. Journal des Mathématiques Pures et Appliquées (5e série): III: 81–94
Lyapunov A.M. (1904) Sur la stabilité des figures ellipsoïdales d’équilibre d’un liquide animé d’un mouvement de rotation. Annales de la Faculté des Sciences de l’Université de Toulouse (2) 6: 5–116
Lyapunov, A.M. 1907. Problème général de la stabilité du mouvement (translated by E. Davaux). Annales de la Faculté des Sciences de l’Université de Toulouse (2) 9: 203–474. Reprinted in 1988, Paris: Jacques Gabay.
Lyapunov A.M. (1992) The General Problem of the Stability of Motion. Taylor & Francis, Washington
Mawhin J. (1994) The centennial legacy of Poincaré and Lyapunov in ordinary differential equations. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (II) 34: 9–46
Mawhin J. (1996) The early reception in france of the work of Poincaré and Lyapunov in the qualitative theory of differential equations. Philosophia Scientiæ 1(4): 119–133
Mawhin, J. 2005. Aleksandr Mikhailovich Lyapunov thesis on the stability of motion (1892). In Grattan-Guinness and Cooke (2005), (eds.) 664–676.
Morse M. (1925) Relations between the critical points of a function of n independent variables. Transactions of the AMS 27: 345–396
Nabonnand P. (2000) Les recherches sur l’œuvre de Poincaré. SMF-Gazette 85: 33–54
Nastasi, P., and R. Tazzioli. eds. 2000. Aspetti scientifici e umani nella corrispondenza di Tullio Levi-Civita (1873–1941), n. 12. Palermo: Quaderno PRISTEM.
Poincaré, H., and G. Mittag-Leffler. 1999. La correspondance entre Henri Poincaré and Gösta Mittag-Leffler, avec en annexe les lettres échangées par Poincaré avec Fredholm, Gyldèn et Phragmén. Basel: Birkhaüser. Published by P. Nabonnand.
Poincaré, H. 1881. Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (1re partie). Journal de Mathématiques (3e série) 7:375–422. In Poincaré (1951–1956), t. I, 3–44.
Poincaré, H. 1882. Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (2e partie). Journal de Mathématiques (3e série) 8:251–296. In Poincaré (1951-1956), t. I, 44–84.
Poincaré, H. 1885a. Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (3e partie). Journal de Mathématiques (4e série) 1:167–244. In Poincaré (1951-1956), t. I, 90–158.
Poincaré, H. 1885b. Sur l’équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation. Acta Mathematica 7:159–380. In Poincaré (1951–1956), t. 7, 40–140.
Poincaré, H. 1886. Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (4e partie). Journal de Mathématiques (4e série) 2:151–217. In Poincaré (1951–1956), t. I, 167–222.
Poincaré, H. 1889. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique avec des notes par l’auteur—Mémoire couronné du prix de S.M. le Roi Oscar II. Not published.
Poincaré, H. 1890. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Acta Mathematica 13:1–270. In Poincaré (1951–1956), t. 7, 262–479.
Poincaré, H. 1892–1899. Méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Paris: Gauthier-Villars.
Poincaré, H. 1912. Sur un théorème de géométrie. Rendiconti dei circolo matematico di Palermo 33:375–407. In Poincaré (1951–1956), t. 6, 499–538.
Poincaré, H. 1951–1956. Œuvres d’Henri Poincaré. Ed. Paul Appel et al. Paris: Gauthier-Villars.
Poisson S.D. (1808) Mémoire sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes. Journal de l’école Polytechnique 15(1): 1–56
Robadey, A. 2006. Différentes modalités de travail sur le général dans les recherches de Poincaré sur les systèmes dynamiques. Thèse de doctorat, Université Paris7.
Roque, T. 2007. Les enjeux du qualitatif dans la définition d’un système dynamique. In Franceschelli et al. (2007), 37–66.
Smirnov, V.I., and A.P. Youchkevitch. 1987. Correspondence de A. M. Liapunov avec H. Poincaré. Cahiers du Séminaire d’Histoire des Mathématiques 8:1–18. http://www.numdam.org.
Sundman K.F. (1907) Recherches sur le problème des trois corps. Acta Societatis Scientiarum Fennicae 34: 1–43
Sundman K.F. (1909) Nouvelles recherches sur le problème des trois corps. Acta Societatis Scientiarum Fennicae 35: 1–27
Sundman K.F. (1912) Mémoire sur le problème des trois corps. Acta Mathematica 36: 105–179
Taton R., Wilson C., Hoskin M. (2009) The general history of astronomy, vol. 2: Planetary astronomy from the renaissance to the rise of astrophysics. Cambridge University Press, Cambridge
Thomson, W., and P.G. Tait. 1879–1883. Treatise on Natural Philosophy (2nd ed). Cambridge: Cambridge University Press.
Tisserand, F. 1889–1896. Traité de Mécanique Céleste. Paris: Gauthier-Villars et fils. Reprinted in 1990, Paris: Jacques Gabay.
Whittaker E.T. (1917) A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies, 2nd edn. Cambridge University Press, Cambridge
Wise, N. 2005. William Thomson and Peter Guthrie Tait, Treatise on natural philosophy, 1st edn (1867). In Grattan-Guinness and Cooke (2005), 521–533.
Yoccoz, J.C. 2007. Hyperbolicité et quasipériodicité. In Franceschelli et al. (2007), 145–156.
Acknowledgments
I am grateful to Frédéric Brechenmacher, José Ferreiròs, and Marco Panza for having read the first version of this article and made valuable suggestions. Any remaining problems are of my full responsibility. The author was partially supported with grants received from FAPERJ (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro) by means of the program Jovem Cientista do Nosso Estado.
Open Access
This article is distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Noncommercial License which permits any noncommercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author(s) and source are credited.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Additional information
Communicated by : Jeremy Gray.
Rights and permissions
Open Access This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Noncommercial License (https://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0), which permits any noncommercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author(s) and source are credited.
About this article
Cite this article
Roque, T. Stability of trajectories from Poincaré to Birkhoff: approaching a qualitative definition. Arch. Hist. Exact Sci. 65, 295–342 (2011). https://doi.org/10.1007/s00407-011-0079-0
Received:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/s00407-011-0079-0