Quelques propriétés de stabilité des variétés spéciales

Résumé

Nous montrons que les fibres du morphisme d’Albanese d’une variété complexe projective spéciale sont spéciales, répondant ainsi positivement à une question posée dans [Campana in Ann Inst Fourier (Grenoble) 54(3):499–630, 2004]. L’ingrédient principal de la preuve est un cas particulier de la version orbifolde, conjecturée dans loc.cit., de la conjecture $C_{n,m}$ d’Iitaka, établi par Birkar and Chen (Adv Math 270:206–222, 2015). Nous donnons également quelques applications (groupe fondamental et revêtement universel des variétés spéciales).

Annexe A. Résumé orbifolde

Dans cet appendice, nous présentons quelques définitions et propriétés des morphismes orbifoldes utilisées ci-dessus. Nous renvoyons à [4, 6] pour une étude plus détaillée de ces notions.

1.1 La catégorie des orbifoldes : objets et morphismes

Définition A.1

Une orbifolde est la donnée d’un couple $(X,\Delta _X)$ où X est une variété complexe et $\Delta _X$ un $\mathbb {Q}$-diviseur dont les coefficients sont compris entre 0 et 1. Les multiplicités de $\Delta _X$ sont définies par:

$$\begin{aligned} \Delta _X=\sum _{D\subset X}(1-\frac{1}{m(D)})\cdot D=\sum _{D\subset X}c(D)\cdot D \end{aligned}$$

où la somme (localement finie) porte sur tous les diviseurs premiers de X. En particulier, $m(D)\ge 1$ et $m(D)=1$ pour (localement) presque tout D.

Nous dirons que l’orbifolde $(X,\Delta _X)$ est lisse si X l’est et si le support de $\Delta _X$ est à croisements normaux simples.

Le fait de considérer une telle structure additionnelle est motivée par l’introduction de la base orbifolde d’une fibration (qui tient compte des fibres multiples de cette dernière).

Définition A.2

Soient $f:X\longrightarrow Y$ une application holomorphe et $E\subset X$ un diviseur premier de X. Nous définissons m(f, E) la multiplicité de f le long de E de la façon suivante :

• (i) si E est f-exceptionnel (c’est-à-dire si $codim_Y(f(E))\ge 2$) ou si $f(E)=Y$, alors $m(f,E)=1$.

• (ii) sinon $f(E)=D$ est un diviseur premier de Y et nous pouvons écrire

  $$\begin{aligned} f^*(D)=m(f,E)E+F \end{aligned}$$

  où F est un diviseur effectif de X ne contenant pas E dans son support.

Plus généralement:

Définition A.3

Soit $f:X\longrightarrow Y$ une application holomorphe et supposons X munie d’une structure orbifolde $\Delta _X$. Pour tout diviseur premier $D\subset Y$, nous pouvons écrire :

$$\begin{aligned} f^*(D)=\sum _{E\subset X\vert f(E)=D} m(f,E)E+R \end{aligned}$$

où R est f-exceptionnel. Le diviseur

$$\begin{aligned} \Delta (f,\Delta _X):=\sum _{D\subset Y}(1-\frac{1}{m_f(D)})D \end{aligned}$$

est appelé diviseur orbifolde de f (induit par $\Delta _X$) avec :

$$\begin{aligned} m_f(D):=\mathrm {inf}\{m(f,E).m_X(E)\vert f(E)=D\}. \end{aligned}$$

Les morphismes pour la catégorie des orbifoldes lisses sont les applications holomorphes entre les variétés sous-jacentes aux orbifoldes et qui respectent les structures additionnelles.

Définition A.4

Soit $f:X\longrightarrow Y$ une application holomorphe et supposons X et Y munies de structures orbifoldes $\Delta _X$ et $\Delta _Y$ respectivement telles que $(X,\Delta _X)$ et $(Y,\Delta _Y)$ soient lisses. Nous dirons que f est un morphisme orbifolde entre $(X,\Delta _X)$ et $(Y,\Delta _Y)$ si, pour tout diviseur premier $D\subset Y$, nous avons :

$$\begin{aligned} m_i .m_X(E_i)\ge m_Y(D) \end{aligned}$$

où nous avons écrit la décomposition irréductible de $f^*(D)$ sous la forme :

$$\begin{aligned} f^*(D)=\sum _i m_iE_i. \end{aligned}$$

Si de plus f est biméromorphe et si $f_*(\Delta _X)=\Delta _Y$, f sera alors appelé un morphisme biméromorphe orbifolde.

Remarque A.5

Si $f:X\longrightarrow Y$ est une application holomorphe et si $\Delta _X$ est une structure orbifolde sur X, le morphisme $f:(X,\Delta _X)\longrightarrow (Y,\Delta (f,\Delta _X))$ n’est en général pas un morphisme orbifolde puisque les diviseurs f-exceptionnels ne sont pas pris en compte dans la définition de $\Delta (f,\Delta _X)$.

1.2 Différentielles symétriques orbifoldes et fibrations nettes

On se place dans la situation d’une orbifolde lisse $(X,\Delta _X)$. Les différentielles symétriques adaptées à la structure orbifolde se définissent de la manière suivante :

Définition A.6

Soit $(x_1,\dots ,x_n)$ un système de coordonnées locales dans lequel le diviseur orbifolde a pour équation (symbolique) :

$$\begin{aligned} \Delta _X=\left( \prod _{i=1}^n x_i^{\big (1-\dfrac{1}{m_i}\big )}=0\right) . \end{aligned}$$

Le faisceau $\mathbf {S}^m_q(X,\Delta _X)$ est le faisceau de $\mathcal {O}_X$-modules localement libre engendré par les éléments suivants :

$$\begin{aligned} \bigotimes _{j=1}^m x_j^{\lceil -k_ja_j\rceil }\mathrm {d}x_{J_j}. \end{aligned}$$

Dans l’écriture ci-dessus, $\lceil a\rceil$ désigne sa partie entière supérieure et on a de plus :

• (1) $a_j=1-\frac{1}{m_j}$ est le coefficient de $(x_j=0)$ dans $\Delta _X$.

• (2) $J_1,\dots ,J_m$ est une suite de parties ordonnées à q éléments de l’ensemble des indices $\{1,\dots ,n\}$.

• (3) pour tout $j=1\dots n$, on note $k_j$ le nombre d’occurrences de l’indice j dans la suite $J_1,\dots ,J_m$.

Remarque A.7

Lorsque $q=n=\dim (X)$, nous avons bien entendu

$$\begin{aligned} \mathbf {S}^m_n(X,\Delta _X)=\lfloor m(K_X+\Delta _X)\rfloor , \end{aligned}$$

et dans le cas logarithmique (où tous les $c_j=1$, ou encore : $m_j=+\infty$), nous retrouvons les différentielles logarithmiques usuelles et leurs puissances symétriques.

Les différentielles ci-dessus définies sont fonctorielles pour les morphismes orbifoldes :

Proposition A.8

([6], prop. 2.11, p. 823) Soit $f:(X,\Delta _X)\longrightarrow (Y,\Delta _Y)$ un morphisme orbifolde (entre orbifoldes lisses). L’image réciproque par f des différentielles orbifoldes est bien définie :

$$\begin{aligned} f^*:\mathbf {S}^m_q(Y,\Delta _Y)\longrightarrow \mathbf {S}^m_q(X,\Delta _X). \end{aligned}$$

Bien que la base orbifolde d’un morphisme ne suffise pas à rendre ce morphisme un morphisme orbifolde (cf. remarque A.5), il est cependant possible de prolonger les images réciproques des tenseurs holomorphes dont les pôles sont contrôlés par la base orbifolde, une fois choisi un bon modèle de la fibration initiale.

Définition A.9

Une fibration $f:(X,\Delta _X)\longrightarrow Y$ (avec $(X,\Delta _X)$ lisse) est dite nette si il existe $(Z,\Delta _Z)$ une orbifolde lisse et $u:(X,\Delta _X)\longrightarrow (Z,\Delta _Z)$ un morphisme biméromorphe orbifolde tels que tout diviseur f-exceptionnel soit également u-exceptionnel.

Proposition A.10

([6], prop. 4.10, p. 843) Soit $g:(Z,\Delta _Z)\longrightarrow W$ une fibration avec $(Z,\Delta _Z)$ lisse. Il existe alors un diagramme

dans lequel u et v sont biméromorphes (au sens orbifolde pour u) et f est nette.

Les formes différentielles orbifoldes sont fonctorielles pour les fibrations nettes. Il s’agit essentiellement d’une conséquence du théorème de Hartogs et le lecteur pourra se référer à [6, § 5.2] pour une discussion plus détaillée.

Proposition A.11

Soit $f:(X,\Delta _X)\longrightarrow Y$ une fibration nette et considérons $\Delta _Y:=\Delta (f,\Delta _X)$ la base orbifolde de la fibration f. Il existe un morphisme de faisceaux bien défini pour $m\ge 1$ suffisamment divisible (avec $q=\dim (Y)$) :

$$\begin{aligned} f^*:\mathcal {O}_Y\left( m(K_Y+\Delta _Y)\right) \longrightarrow \mathbf {S}^m_q(X,\Delta _X). \end{aligned}$$

En particulier, au niveau des sections globales, nous en déduisons l’injection :

$$\begin{aligned} f^*:H^0\left( Y,\mathcal {O}_Y(m(K_Y+\Delta _Y))\right) \hookrightarrow H^0\left( X,\mathbf {S}^m_q(X,\Delta _X)\right) . \end{aligned}$$

Si de plus $g:Z\longrightarrow X$ est une fibration nette telle que $\Delta (g)\ge \Delta _X$, alors on a même :

$$\begin{aligned} (f\circ g)^*:H^0\left( Y,\mathcal {O}_Y(m(K_Y+\Delta _Y))\right) \hookrightarrow H^0\left( Z,\mathbf {S}^m\Omega ^q_Z\right) . \end{aligned}$$

1.3 Orbifoldes spéciales

Les orbifoldes spéciales sont celles qui n’admettent pas de fibrations nettes sur une base de type général. Plus précisément :

Définition A.12

Une orbifolde $(X,\Delta _X)$ est dite spéciale si, pour tout $u:(X',\Delta ')\longrightarrow (X,\Delta _X)$ biméromorphe (au sens de la définition A.4) et tout fibration nette $f:(X',\Delta ')\longrightarrow Y$ avec $\dim (Y)>0$, l’inégalité suivante est satisfaite :

$$\begin{aligned} \kappa (Y,K_Y+\Delta (f,\Delta '))<\dim (Y). \end{aligned}$$

Il est également possible de caractériser les orbifoldes spéciales par leurs faisceaux de formes différentielles. Nous renvoyons à [6] pour le cas $\Delta \ne 0$ de la caractérisation ci-dessous et nous nous contentons d’énoncer le cas des variétés.

Proposition A.13

([4], th. 2.27, p. 536) Une variété X est spéciale si et seulement si pour tout sous faisceau cohérent de rang un $\mathcal {L}\subset \Omega ^p_X$ (pour $1\le p\le \dim (X)$), l’inégalité suivante est vérifiée :

$$\begin{aligned} \kappa (X,\mathcal {L})<p. \end{aligned}$$