La filtration canonique des ${{\mathcal {O}}}$-modules p-divisibles

Abstract

In this article we associate to G, a truncated p-divisible ${{\mathcal {O}}}$-module of given signature, where ${{\mathcal {O}}}$ is a finite unramified extension of $\mathbb {Z}_p$, a filtration of G by sub-${{\mathcal {O}}}$-modules under the condition that its Hasse $\mu$-invariant is smaller than an explicit bound. This filtration generalise the one given when G is $\mu$-ordinary. The construction of the filtration relies on a precise study of the crystalline periods of a p-divisible ${{\mathcal {O}}}$-module. We then apply this result to families of such groups, in particular to strict neighbourhoods of the $\mu$-ordinary locus inside some PEL Shimura varieties.

Résumé

Dans cet article, à G un groupe p-divisible tronqué muni d’une action d’une extension finie non ramifiée ${{\mathcal {O}}}$ de $\mathbb {Z}_p$, et de signature donnée, on associe sous une condition explicite sur son $\mu$-invariant de Hasse, une filtration de G par des sous-${{\mathcal {O}}}$-modules qui étend la filtration canonique lorsque G est $\mu$-ordinaire. La construction se fait en étudiant les périodes cristallines des groupes p-divisibles avec action de ${{\mathcal {O}}}$. On applique ensuite cela aux familles de tels groupes, en particulier des voisinages stricts du lieu $\mu$-ordinaire dans des variétés de Shimura PEL.

Appendice A. Quelques calculs

Lemme A.1

Soit p un nombre premier, et $n,f \in \mathbb {N}^*$. Alors on a l’égalité,

$$\begin{aligned} \frac{p^{(n-1)f}-1}{p^f-1}\frac{1}{2p^{n-1}f} + 2 \frac{p^{nf}-1}{p^f-1}\frac{1}{2p^{n-1}f} - \frac{1}{f} \leqslant 1 \end{aligned}$$

Démonstration

Cela revient à l’équation,

$$\begin{aligned} p^{(n-1)f} - 1 + 2(p^{nf}-1) - \frac{f+1}{f}2p^{(n-1)f}(p^f-1) \leqslant 0, \end{aligned}$$

donc,

$$\begin{aligned} 2p^{nf}\left( \frac{f+1}{f}-1\right) - p^{(n-1)f}\left( 1 + 2\frac{f+1}{f}\right) + 3 \geqslant 0, \end{aligned}$$

c’est à dire,

$$\begin{aligned} p^{(n-1)f}\left( \frac{2p^f - 3f-1}{f}\right) + 3 \geqslant 0, \end{aligned}$$

mais comme $2p^f \geqslant 3f+1$, on a bien la majoration voulue.

Proposition A.2

(Bijakowski [6] proposition 1.25) Soit $D,C \subset G[p^n]$ deux sous-${{\mathcal {O}}}$-modules de ${{\mathcal {O}}}$-hauteurs respectives $d \leqslant c$. Supposons que

$$\begin{aligned} \deg D + \deg C > \sum _{\tau '} \left( \min (np_{\tau '},d) + \min (np_{\tau '},c)\right) - |\{\tau ' : d-1\leqslant np_{\tau '} \leqslant c\}|, \end{aligned}$$

alors $D \subset C$.

Démonstration

Notons $h = {{\,\mathrm{ht}\,}}_{{\mathcal {O}}}(D\cap C)$. La ${{\mathcal {O}}}$-hauteur de $D+C$ est alors $d + c - h \geqslant h$. On a alors,

$$\begin{aligned}&\deg (D+C) \leqslant \sum _{\tau '} \min (np_{\tau '},d + c - h), \quad \text {et}\quad \deg (D\cap C)\\&\quad \leqslant \sum _{\tau '} \min (np_{\tau '},h). \end{aligned}$$

On peut alors écrire,

$$\begin{aligned}&\deg D + \deg C \leqslant \deg (D+C) + \deg (D \cap C) \leqslant \sum _{\tau ' \in A} 2np_{\tau '}\\&\quad + \sum _{\tau '\in B} \left( np_{\tau '} + h\right) + \sum _{\tau '\in C} \left( c + d\right) , \end{aligned}$$

où $A = \{ \tau ' : np_{\tau '}< h\}, B = \{ \tau ' : h \leqslant np_{\tau '} < d + c - h\},$ et $C = \{ \tau ' : np_{\tau '} \geqslant d + c - h\}$. Mais si $D \not \subset C$, alors $h \leqslant d - 1$, et on en déduit donc,

$$\begin{aligned} \deg D + \deg C \leqslant \sum _{\tau '} \left( \min (np_{\tau '},d) + \min (np_{\tau '},c)\right) - |\{\tau ' : d-1 \leqslant np_{\tau '} \leqslant c \}|. \end{aligned}$$

Ce qui contredit l’hypothèse de l’énoncé. $\square$