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Sur le spectre et la topologie des variétés hyperboliques de congruence: les cas complexe et quaternionien

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Mathematische Annalen Aims and scope Submit manuscript

Résumé

En nous basant sur les résultats d’Arthur et de Mok, nous étendons aux variétés hyperboliques de volume fini complexes et quaternioniennes les résultats de (Bergeron and Clozel, Invent Math 192(3):505–532, 2013). Dans le cas du spectre sur les fonctions, nous montrons que nos résultats de quantification des valeurs propres sont optimaux. En guise d’application, on démontre enfin une propriété de Lefschetz  pour l’application de restriction en cohomologie d’un quotient arithmétique non compact d’une boule vers un quotient d’une boule de dimension plus petite. Nous donnons une démonstration très différente d’un résultat récent de Nair (Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2015, Manuscr Math, 2016). [Les résultats de (Nair, Manuscr Math, 2016) sont plus complets.]

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Notes

  1. Les résultats de Pedon [27] montrent que ceci est déjà très difficile pour le spectre tempéré.

  2. N.B. : dans tous les calculs relatifs aux laplaciens, il s’agit du laplacien positif : celui (normalisé de la façon indiquée) dont les valeurs propres sont positives.

  3. Tel quel le corollaire 6.2.7 de [8] est incorrect : il ne donne que les valeurs propres discrètes et omet le spectre continu donné par (iii) du théorème 2.1, qui apparaît évidemment même sous la conjecture de Ramanujan.

  4. Après une première version de cet article, Nair [24] a donné une démonstration différente. En contrôlant la restriction au bord, il obtient un résultat plus fort pour \(i=m\). Voir la remarque qui suit la démonstration du théorème 3.1.

  5. Merci encore au rapporteur de nous avoir signalé cet exemple.

  6. Valable elle aussi seulement lorsque l’une des deux classes est une classe de cohomologie intérieure. Le cas où les deux classes sont des classes “à l’infini” est encore élémentaire, le lecteur intéressé par plus de détails est renvoyé à [24].

  7. Faraut [15] note \(\pi _{\rho + 2r}\) cette représentation, avec \(\rho = 2n+1\) et \(0< \rho + 2r < \rho \); de sorte que \(a=n+r+1\) et \(\lambda _\pi = \rho ^2 - (\rho +2r)^2= (2n+1)^2 - (2a-1)^2\).

  8. Le morphisme \(\eta \) est non trivial si \(a=1\).

  9. L’argument relatif à la surjectivité de la norme était omis dans [9, Lemme 3.4]. Pour ce cas voir Kottwitz-Shelstad [19, §3.2–3.3]. Plus précisément, ceux-ci démontrent la surjectivité si toute classe de conjugaison tordue, fortement régulière, et rationnelle, de \(\mathrm {GL}(N)\) contient un élément réel. Le seul cas utilisé dans [9] et non traité par Waldspurger [32] est celui où \(G=\mathrm {SO}^*(2n)\), \(\widehat{G}= \mathrm {SO}(2n,\mathbf C)\). Mais l’assertion résulte alors de la construction par Waldspurger de la norme pour \(G=\mathrm {SO}^*(2n+1)\), \(\widehat{G}= \mathrm {Sp}(n,\mathbf C)\).

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Authors and Affiliations

  1. Sorbonne Universités, UPMC Univ Paris 06, Institut de Mathématiques de Jussieu–Paris Rive Gauche, UMR 7586, CNRS, Univ Paris Diderot, Sorbonne Paris Cité, F-75005, Paris, France

    Nicolas Bergeron

  2. Laboratoire de Mathématiques, Unité Mixte de Recherche 8628 du CNRS, Université Paris Sud, Bât. 425, 91405, Orsay cedex, France

    Laurent Clozel

Authors
  1. Nicolas Bergeron
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  2. Laurent Clozel
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Communicated by A. Venkatesh.

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Bergeron, N., Clozel, L. Sur le spectre et la topologie des variétés hyperboliques de congruence: les cas complexe et quaternionien. Math. Ann. 368, 1333–1358 (2017). https://doi.org/10.1007/s00208-016-1492-0

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