Résumé
On évoquera très informellement l’énoncé de quelques résultats récents d’incomplétude des formalismes. Les preuves de ces théorèmes, très importants pour toute l’épistémologie contemporaine des mathématiques, utilisent une variété d’outils conceptuels qui vont démonstrativement au-delà des axiomatisations finitaires. Ces outils ne requièrent aucune ontologie mathématique, mais constituent des constructions humaines particulièrement solides, des formes d’intelligence de l’infini et de l’espace enracinées dans différentes formes de connaissance. On parlera également, mais très brièvement, tant de l’intelligence mathématique du Bon Dieu que de l’intelligence mathématique des ordinateurs digitaux.
Abstract
Informal mention will be made of the terms in which some recent results have shown the incompleteness of formalism. The proofs of these theorems, which are of great consequence for every aspect of a modern epistemology of Omathematics, employ a variety of conceptual tools which take us conclusively further than finite axiomatisation. These tools require no mathematical ontology, and are notably solid human constructs, ways of comprehending infinity and space which are rooted in different forms of knowledge. Discussion will also include, albeit very briefly, the mathematical intelligence of God, as well as the mathematical intelligence of digital computers.
Zusammenfassung
Auf sehr informelle Weise werden einige neuere Resultate vorgestellt, die die Unvollständigkeit der Formalismen betreffen. Beim Beweis dieser Theoreme, die für jede zeitgenössische Epistemologie von großer Bedeutung sind, wird eine Reihe konzeptueller Hilfsmittel benutzt, die auf demonstrative Weise über die finitären Axiomatisationen hinausgehen. Diese Hilfsmittel erfordern keine mathematische Ontologie, sondern stellen besonders stabile menschliche Konstruktionen dar. Es sind Formen der Wahrnehmung des Unendlichen und des Raumes, die in unterschiedlichen Erkenntnisformen verwurzelt sind. Sehr kurz wird auch auf die mathematische Intelligenz des lieben Gottes und auf die mathematische Intelligenz von Digitalrechnern eingegangen.
Riassunto
Questa nota introduce, in modo del tutto informale, alcuni risultati recenti di incompletezza dei formalismi. Le dimostrazioni di questi teoremi, di grande rilievo per l’epistemologia contemporanea della matematica, utilizzano una varietà di strumenti matematici che vanno al di là (e lo si dimostra) delle assiomatizzazioni finitarie. Questi strumenti non richiedono alcuna ontologia matematica, e costituiscono delle costruzioni concettuali umane particolarmente solide, delle forme di intelligenza dell’infinito e dello spazio radicate in differenti forme di conoscenza. Si parlerà pure, ma brevemente, dell’intelligenza matematica del Buon Dio e di quella dei calcolatori digitali.
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Références
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Pour FFF, voirH. Friedman’s Research on the foundations of mathematics, éd.L. Harrington et al., New York, North-Holland, 1985,
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J’emploie ici la notion de métaphore dans un sens quelque peu dual par rapport à l’usage qui en est fait parLakoff etNunez, dans leur article «The metaphorical structure of mathematics. Sketching out cognitive foundations for a mind-based mathematics», inMathematical Reasoning. Analogies, metaphors and images, éd.L. English, Hillsdale, NJ, Erlbaum, 1998, p. 21–89.
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The Rediscovery of the mind, Cambridge, M.I.T. Press, 1982. (février 1999)
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Texte traduit de l’italien par Charles Alunni
GiuseppeLongo a fait ses études de mathématiques à l’université de Pise (Italie), et il occupe actuellement un poste de chercheur CNRS à l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, dans le département de Mathématiques et d’Informatique. Il dirige par ailleurs la revueMathematical Structures in computer science chez Cambridge University Press.
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Longo, G. L’intelligence mathématique, l’infini et les machines. Rev synth 120, 111–138 (1999). https://doi.org/10.1007/BF03182081
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF03182081